Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 9 декабря 2018 г.

Урок 26. Равнобедренная трапеция

ВИДЕОУРОК
Равнобедренной называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

– в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны;
– сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна  180°;
– диагонали равнобедренной трапеции равны;
– если  BK  и  CM – высоты равнобедренной трапеции  ABCD, то:
∆ABK = ∆DCM;
AK = DM = 1/2 (AD – BC);
KD = MA = 1/2 (AD + BC).

ЗАДАЧА:

Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки  7 см  и  22 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
ВС = АD – 2АК =
= (22 + 7) – 2 ∙ 7 = 15 (см).

ЗАДАЧА:

Высота равнобедренной трапеции в два раза меньше чем боковая сторона. Определите углы трапеции.

РЕШЕНИЕ:

В трапеции  АВСD  проводим из точки  В  высоту  ВF ⊥ AD,  
AB = 2BF; 
∆ ABF – прямоугольный; поэтому, гипотенуза его в два раза больше чем катет.

ОТВЕТ:

∠ А = ∠ С = 30°; 
∠ B = ∠ D = 150°.

ЗАДАЧА:

Определите углы равнобедренной трапеции, в которой верхнее основание равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярная боковой стороне.
РЕШЕНИЕ:

По условию 

AB = CD = BC, AC ⊥ CD.

В таком случае  ∆ ABC – равнобедренный; поэтому,

∠ BCA = ∠ CAB.

Но  ∆ ABC углы которого  при основании равнобедренной трапеции, а  ∠ CAD = ∠ BCA  как внутренний разносторонний угол при  BC ∥ AD  и секущей  AC. Поэтому, 

∠ A = 2∠ CAD.

Дальше, по условию  ∆ ACD – прямоугольный, так що 

∠ CAD + ∠ D = 90°;

Но так как

∠ D = ∠ A, то  90° = 3∠ CAD;

поэтому,

∠ CAD = 30°  и тогда 
∠ D = ∠ A = 60°, 
∠ C = ∠ B = 120°.

ОТВЕТ:

∠ А = ∠ D = 60°;  
∠ B = ∠ C = 120°.

ЗАДАЧА:

Найти среднюю линию равнобедренной трапеции, диагональ которой является биссектрисой острого угла, боковая сторона  5, а одно из оснований в  2  раза больше другого.
РЕШЕНИЕ:

Поскольку основания трапеции параллельны, то угол  ADВ  равен углу  DВС, как внутренние накрест лежащие углы. Так как по условию диагональ является биссектрисой, то углы  ADВ  и  ВDС  равны. Откуда следует, что углы  CВD  и  CDВ  равны.
Из сказанного выше следует, что треугольник ВСD – равнобедренный. Таким образом, поскольку боковая сторона равна  5 см, то основание  ВС  также равно  5 см. 
Согласно условию, второе основание больше в два раза, то есть равно  10 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Откуда средняя линия трапеции равна:

(5 + 10) : 2 = 7,5 (см).

ОТВЕТ:  7,5 см.

ЗАДАЧА:

Боковые стороны равнобедренной трапеции равны меньшему основанию и образуют с большим основанием углы по  60°. Найдите большее основание трапеции, если меньшее основание равно  5 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD (АВ ∥ СD) – заданная трапеция,
∠ ВАЕ = ∠ СDА = 60°,

АВ = ВС = СD = 5 см.

Проведем  ВЕ ∥ СD,

ВСDЕ – параллелограмм.

ЕD = ВС = 5 см,

ВЕ = СD = 5 см.

В треугольнику АВЕ, АВ = ВЕ, поэтому 

∠ Е = ∠ А = 60°

и треугольник равносторонний. Значит,

АЕ = АВ = 5 см. Поэому 

АD = АЕ + ЕD =

= 5 + 5 = 10 (см).

ОТВЕТ:  10 см

Задания к уроку 26
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий