Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

четверг, 22 января 2015 г.

Урок 8. Прямоугольный треугольник (1)

ВИДЕОУРОК
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой  (90°). 

Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, – называется гипотенузой, а две других стороны – катетами. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого катета.
Два прямоугольных треугольника равны, если: 

– катеты одного из них равны соответственно катетам другого;
– катет и прилегающий острый угол одного треугольника равен соответственно катету и прилегающему острому углу другого;
– гипотенуза и прилегающий угол одного треугольника равны соответственно гипотенузе и прилегающему углу другого;
– катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого.
Если  АNМ – прямоугольный треугольник с прямым углом  N, то его катет  АN – перпендикуляр, проведённый из точки  А  на прямую  NМ. Гипотенузу  АМ  называют также наклонной, проведённой из точки  А  до прямой  NМ, а катет  NМ – проекцией этой наклонной на прямую  NМ. Любой треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, а для каждого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора.
Если в треугольнике  АNМ   угол  N – прямой, то

NМ2 + АN2 = АМ2.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным.
Если в треугольнике со сторонами  а, b  і  с  справедливо неравенство

а2 + b2 < с2,

то угол лежащий против стороны  с – тупой.

В прямоугольном треугольнике против угла  30°, лежит катет равный половине гипотенузы.

 Пифагоровы треугольники – прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами.

Например, треугольники со сторонами 

5, 12  и  13;  8, 15  и  17;  7,  24  и  25 

являются пифагоровыми.

 Египетский треугольник – прямоугольный треугольник со сторонами  3, 4, 5. 

ЗАДАЧА:

Определите вид треугольника  АВС, если

∠ А = 37°, ∠ В = 53°.

РЕШЕНИЕ:

∠ С = 180° – (37° + 53°) =

= 180° – 90° = 90°,

поэтому треугольник  АВС – прямоугольный.

ЗАДАЧА:

Определите вид треугольника, стороны которого равны

26 см, 24 см, 10 см.

РЕШЕНИЕ:

Так как

242 + 102 = 576 + 100 =

= 676 = 262,

то треугольник прямоугольный.

ЗАДАЧА:

Дано:  ∆ АВС, 
∠ С = 90°, 
АС = 3 см, 
ВС = 5 см.
Найти:  АВ.

РЕШЕНИЕ:

 АВ2 = АС2 + ВС2,
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Дано:  ∆ АВС, 
∠ С = 90°, 
АВ = 10 см, 
ВС = 5 см.
Найти:  АС.

РЕШЕНИЕ:

 АВ2 = АС2 + ВС2,
ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его другой катет и гипотенуза соответственно равны 

1 см, √͞͞͞͞͞17 см.

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

С точки до прямой проведены две наклонные, длины проекций которых на эту прямую равны  6 см  и  15 см. Найдите длины наклонных, если они относятся как  10 : 17.

РЕШЕНИЕ:

Нарисуем чертёж.
Составим пропорцию
Пусть  АВ = 10х,

тогда  АС = 17х.

З  ∆ АОС (∠ О = 90°),

АО2 = АС2 – ОС2 =

= 289х2 – 225.

З  ∆ АОВ (∠ О = 90°),

АО2 = АВ2 – ВО2 =

= 100х2 – 36.

Откуда:

289х2 – 225 = 100х2 – 36,

289х2 = 289, х2 = 1, х = 1.

Поэтому,

АВ = 10 ∙ 1 = 10 (см),

АС = 17 ∙ 1 = 17 (см).

ЗАДАЧА:

Из точки до прямой проведено две наклонных линии длиной  13 см  и  15 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если разность проекций этих наклонных на прямую равна  4 см.

РЕШЕНИЕ:

Нарисуем чертёж.
КС – ВК = 4 см.

Пусть  ВК = х,

тогда  КС = х + 4.

З  ∆ АКВ (∠ К = 90°),

АК2 = АС2 – КС2 =

= 225 – (х + 4)2.

Откуда:

169 – х2 = 225 – х2 – 8х – 16,

8х = 40, х = 5 (см)

Поэтому, ВК = 5 см,
Задания к уроку 8
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий