Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 2 февраля 2015 г.

Урок 28. Четырёхугольник и окружность (1)

ВИДЕОУРОК
Четырёхугольник, все вершины которого касаются окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность называют описанной вокруг четырёхугольника.
Вокруг четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна  180°.
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна  180°, то около него можно описать окружность.

Четырёхугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность называют вписанной в этот четырёхугольник.

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
AB = a, BC = b, 
CD = c, DA = d. 
a + c = b + d                

Если сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна сумме двух других его сторон, то такой четырёхугольник можно описать вокруг окружности.
Не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность и не вокруг каждого четырёхугольника можно описать окружность.

ЗАДАЧА:

Найдите угол  АDС  четырёхугольника  ABCD, вписанного в окружность, если

∠ АСD = 32°,

∠ СВD = 56°.
РЕШЕНИЕ:

∠ 1 = ∠ СВD = 56° 

(опираются на одну дугу  DС). Из  ∆ АСD:

56° + 32° + ∠ АDС = 180°,

∠ АDС = 180° – 88° = 92°.

ЗАДАЧА:

Вокруг окружности описан четырёхугольник  АВСD, у которого

АВ = 14 см,

ВС = 16 см,

АD = 18 см.

Найдите длину стороны  СD.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
AB + CD = AD + ВC,

CD = AD + ВC – AВ =

=18 + 16 – 14 = 20 (см).

ЗАДАЧА:

Четырёхугольник  АВСD  вписан в окружность. Диагональ  АС  данного четырёхугольника является диаметром окружности. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, который лежит против стороны  AD, если 

∠ ВАС = 23°,

∠ DАС = 52°.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCD – данный четырёхугольник, вписанный в окружность, АС – диаметр окружности. Поэтому,

∠ B =∠ D = 90°.

Пусть  К – точка пересечения диагоналей четырёхугольника, тогда искомый угол – АКD. Углы  ВАС  и  ВDС  опираются на одну и ту же дугу и лежат с одной стороны от хорды  ВС. Поэтому,

∠ BDC =∠ DAC = 23°.

Поскольку  ∠ D = 90°, то

∠ ADK = 90° – ∠ BDC =

= 90° – 23° = 67°.

В треугольнику AKD

∠ AKD = 180° – (∠ KAD + ∠ ADK)

= 180° – (52° + 67°) = 61°.

ОТВЕТ:  61°

ЗАДАЧА:

Центр окружности, описанной вокруг четырёхугольника  АВСD, принадлежит его стороне  СD. Найдите углы данного четырёхугольника, если

∠ АВD = 34°, ∠ ВАС = 41°.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∠ ВDС = ∠ ВАС = 41°

как вписанные углы, которые опираются на одну дугу.

Из прямоугольного треугольника  DВС (∠ В = 90°):

∠ С = 90° – 41° = 49°.

Аналогично

∠ АСD = ∠ АВD = 34°,

∠ D = 90° – 34° = 56°,

∠ А = ∠ DАС + ∠ САВ =

= 90° + 41° = 131°,

∠ В = ∠ АВD + ∠ DВС =

= 34° + 90° = 124°.

ОТВЕТ:

56°, 49°, 131°, 124°.

ЗАДАЧА:

Диагональ  ВD  четырёхугольника  АВСD  является диаметром его описанной окружности, М – точка пересечения его диагоналей,

∠ АВD = 32°, ∠ СВD = 64°.

Найдите угол  ВМС.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∠ А = 90°,

∠ 1= 90°– 32°= 58°,

∠ 2 = ∠ 1 = 58°,

∠ 3 = 180°– 64° – ∠ 2 =

= 180°– 64° – 58° = 58°

Прямоугольник и окружность.

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной вокруг прямоугольника, будет точка пересечения его диагоналей.
ЗАДАЧА:

В окружность вписан прямоугольник со сторонами  32  и  24. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Диагональ  Д  этого прямоугольника является диаметром окружности, тогда, по теореме Пифагора:
Радиус равен  40 : 2 = 20.

ОТВЕТ:  20

Квадрат и окружность.

В любой квадрат можно вписать окружность и вокруг любого квадрата можно описать окружность.


Центром вписанной и описанной окружности будет точка пересечения диагоналей квадрата.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности.
Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности.
ЗАДАЧА:

Найдите радиус окружности, описанной вокруг квадрата со стороной  8√͞͞͞͞͞2 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Воспользуемся формулой:
ЗАДАЧА:

Найдите длину окружности, вписанной в квадрат со стороною  10 см ?

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
r = 1/2 OE = 1/2 AB =

= 1/2 ∙ 10 = 5 (см),

l = 2πr = 2π ∙ 5 = 10π (см).

ЗАДАЧА:

Диагональ квадрата равна   6√͞͞͞͞͞2 см. Найдите радиус вписанной в этот квадрат окружности.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Рассмотрим треугольник  ОЕС. Он прямоугольный и равнобедренный. ОЕ – радиус вписанной окружности. Обозначим его через  х  и воспользуемся теоремой Пифагора:

х2 + х2 = (6√͞͞͞͞͞2 : 2)2,

2х2 = (3√͞͞͞͞͞2 )2,

х2 = 18 : 2 = 9,

х = 3 (см).

Задания к уроку 28
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий