Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 15 февраля 2015 г.

Урок 31. Правильный многоугольник

ВИДЕОУРОК
Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Сумма углов правильного многоугольника, как и произвольного многоугольника, равна  180° (n – 2).

 Величина угла  αn  правильного  n – угольника равна:
Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Многоугольник называют описанным вокруг окружности, если все его стороны касаются окружности.

 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, к тому же центры вписанной и описанной окружности совпадают.
где  R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, a – сторона правильного n-угольника.

 Формулы для нахождения стороны  an  радиуса  R  описанной и радиуса  r  вписанной окружности для правильных  n-угольников.

Общий центр описанной и вписанной окружности называют центром правильного многоугольника.
Апофемою правильного многоугольника называется перпендикуляр, проведенный с центра правильного многоугольника до его стороны.

Апофема – это радиус вписанной окружности.

Центральным углом правильного многоугольника называют угол, образованный двумя радиусами, проведенными до соседних вершин. 

Центральный угол правильного  n – угольника вычисляют по формуле:

ЗАДАЧА:

Найдите внешний угол при вершине правильного шестиугольника.
РЕШЕНИЕ:

Внутренний угол правильного шестиугольника равен  120°. Поэтому внешний его угол равен

180° – 120° = 60°.

ЗАДАЧА:

Определите количество сторон правильного многоугольника, внутренний угол которого равен  150°.

РЕШЕНИЕ:

180°n – 360° = 150°n,

30°n = 360°,

n = 360° : 30°,

n = 12.

ЗАДАЧА:

Центральный угол правильного многоугольника равен  30°. Определите количество сторон многоугольника.

РЕШЕНИЕ:

Центральный угол
откуда
ЗАДАЧА:

Как найти диагонали правильного шестиугольника, если известна длина его стороны ?

РЕШЕНИЕ:

СЕ – одна из коротких диагоналей шестиугольника, ВЕ – одна из длинных диагоналей.
Учитывая, что углы правильного шестиугольника равны  120°, легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол  30°, и воспользоваться соотношениями в этом треугольнике.
ОТВЕТ:  а√͞͞͞͞͞3,  2а.

ЗАДАЧА:

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен  2√͞͞͞͞͞3 см, а радиус окружности, описанной вокруг него  4 см. Найдите периметр многоугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть n – количество сторон правильного многоугольника. По известной формуле имеем:
Учитывая
n ϵ N, n ≥ 3,  имеем
Поэтому, имеем шестиугольник

а6 = R = 4 см.

Периметр

Р = 6 × а6 =
6 × 4 = 24 см.

ОТВЕТ:  24 см

ЗАДАЧА:

Найти радиус окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника, сторона которого равна  а.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCDNKMF – правильный восьмиугольник, вписанный в окружность, АС – сторона квадрата, вписанного в эту окружность.
АС = R√͞͞͞͞͞2,

где  R – искомый радиус.
Угол правильного n-угольника равен:
Тогда
Из треугольника  АВС  по теореме косинусов

AC2 = AB2 + BC2 – 2AB × BC × cos ∠B.
AC2 = a2 + a2 – 2a × a × cos 135°;
ОТВЕТ:
Задания к уроку 31
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий