Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 17 марта 2015 г.

Урок 30. Многоугольник

ВИДЕОУРОК
Многоугольник – геометрическая фигура, составленная из отрезков 

А1А2,  А2А3,  А3А4, …,  Аn-1Аn,  АnА1 

таким образом, что смежные отрезки (отрезки, имеющие общие концы) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. 

Вершины многоугольника – точки  

 А1, А2, …, Аn-1Аn.

Стороны многоугольника – отрезки 

А1А2,  А2А3,  А3А4, …,  Аn-1Аn,  АnА1.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон. Периметр многоугольника обозначают буквой  Р. Если каждая сторона  n-угольника равна  а, то его периметр можно вычислить по формуле:
Соседние вершины многоугольника – две вершины, принадлежащие одной стороне.

Диагональ многоугольника – отрезок, который соединяет любые две не соседние вершины многоугольника.

 n – угольник – многоугольник с  n  вершинами, имеющий  n  сторон.
Многоугольник обозначают названиями его вершин. При этом  буквы, что стоят в названии многоугольника рядом, будут названиями соседних вершин.
Например, восьмиугольник 

ABCDEFGQ  

 нельзя назвать 

ACBDEFGQ.

Длина каждой стороны многоугольника меньше чем сумма длин всех других сторон.

Выпуклый многоугольник – многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

ABCDE – выпуклый многоугольник.
FKLMN – невыпуклый многоугольник.
Свойства выпуклого  n – угольника.

–  сумма внешних углов выпуклого  n – угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна  360°;
–  из одной вершины выпуклого многоугольника выходит  (n – 3)  диагоналей, которые разбивают его на  (n – 2)  треугольника;
– в выпуклом многоугольнике будет
диагоналей;
– выпуклый многоугольник существует, если сумма его углов
кратна  180°.

Сумма углов выпуклого  n – угольника равна

ПРИМЕР:

Многоугольник  ABCDE.
Углы выпуклого  5 – угольника – углы 

EAB, ABC, BCD, CDE, DEА
Вершины   

 A, B, C, D, E.       

 Стороны  

 AB, BC, CD, DE, EА.

Периметр   

 Р = AB + BC + CD + DE + EА.

ПРИМЕР:

ABCD – не является многоугольником, так как  
АС  и  ВD – несмежные отрезки – имеют общую точку.
ПРИМЕР:

ABC – треугольник, 

 n = 3.
ABCD – четырёхугольник,  

 n = 4.
ABCDEF – шестиугольник, 

 n = 6.
ЗАДАЧА:

Сколько сторон имеет выпуклый  n–угольник, каждый угол которого равен  120° ?

РЕШЕНИЕ:

Выпуклый  n-угольник имеет  n  углов и  n  сторон. Сумма углов  n-угольника равна

(n – 2) × 180°,

Или  n × 120°  по условию.
Следовательно,

120n = 180n – 360,
60n = 360, n = 6.

 ОТВЕТ:  6 сторон.

 Окружность, вписанная в многоугольник – окружность, которая касается всех его сторон.

Многоугольник, описанный около окружности – многоугольник, в который вписана окружность.
Окружность, описанная около многоугольника – окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

Многоугольник, вписанный в окружность – многоугольник, около которого описана окружность.
ЗАДАЧА:

Многоугольник  ABCDE  вписан в окружность с центром в точке  О, градусная мера дуги  АВ  равна  100°. Найдите угол между диагоналями  BD  и  AD.

РЕШЕНИЕ:

Проведём диагонали  BD  и  AD. Тогда угол  BАD – вписанный в окружность, а его градусная мера равна половине центрального, на который он опирается. Данный центральный угол  АОВ  опирается на дугу  АВ, поэтому его градусная мера равна градусной мере дуги  АВ  и равна  100°. Поэтому, угол  BDА  равен  50°.

ОТВЕТ:  50°

 Задания к уроку 30
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий