Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе

Рассмотрим уравнение вида:

Решение этого уравнения основано на следующем утверждении:

дробь  ^m/_n  равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на  0  делить нельзя).

Записывается это так:

m = 0,  n ≠ 0.

В соответствии со сказанным, решение уравнения

проводится в два этапа: сначала нужно решить уравнение  р(х) = 0, а затем для каждого его корня выяснить, обращается ли при найденном значении переменной  х  знаменатель  q(x)  в нуль.
Если  q(x) ≠ 0, то найденный корень уравнения  р(х) = 0  является и корнем уравнения

Если  q(x) = 0, то полученный корень уравнения  р(х) = 0  не является корнем уравнения

Таким образом, уравнение  р(х) = 0  является следствием уравнения

При переходе от уравнения

к уравнению  р(х) = 0  (освобождение от знаменателя) могут появиться посторонние корни. Отсеять их можно с помощью условия  q(x) ≠ 0  (или с помощью непосредственной подстановки каждого корня уравнения  р(х) = 0  в уравнение

Область определения уравнения (ОДЗ).

Областью определения уравнения  f(х) = q(x)  называют множество всех тех значений переменной  х, при которых выражения  f(х)  и  q(x)  имеют смысл (одновременно).

ПРИМЕР:

Найти область определения уравнения:

х² – 5х = 1 + 2х.

РЕШЕНИЕ:   

Выражения   х² – 5х  и  1 + 2х  определены при всех  х. Значит, область определения уравнения – вся числовая прямая.

ПРИМЕР:

Найти область определения уравнения:

РЕШЕНИЕ:

Выражение

не определено при  х = 1, а выражение

не определено при  х = 2. Значит, область определения уравнения можно задать условиями  х ≠ 1, х ≠ 2. 

ПРИМЕР:

Найти область определения уравнения:

РЕШЕНИЕ:

Корень чётной степени имеет смысл лишь при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, одновременно должны выполняться условия:

х ≥ 0, х – 1 ≥ 0, х – 2 ≥ 0.

Все эти неравенства справедливы при  х ≥ 2, то есть

 [2; +∞) – область определения уравнения.

Вместо термина <<область определения уравнения>> часто используют термин <<область допустимых>> значений переменной  (ОДЗ).

Ясно, что корни уравнения  f(х) = q(x)  должны принадлежать его области определения (его ОДЗ). Но иногда бывает так, что в процессе преобразований уравнения его область определения меняется (чаще всего она расширяется) и из найденных значений переменной одни принадлежат области определения уравнения  f(х) = q(x), а другие не принадлежат. Тогда первые являются корнями уравнения, а вторые – нет (это посторонние корни).

Так при решении уравнения

область определения которого задаётся условием  х² – х – 2 ≠ 0, мы перешли к уравнению  3х – 6 = 0, областью определения которого является вся числовая прямая (область определения расширилась). Уравнение  3х – 6 = 0  имеет корень  х = 2, который не принадлежит области определения исходного уравнения и, следовательно, является посторонним корнем.

Общий вывод таков:

если в процессе преобразования уравнения его область определения расширилась, то могут появиться посторонние корни.

Поэтому все найденные значения переменной надо проверить подстановкой в исходное уравнение или с помощью области определения (ОДЗ) исходного уравнения.

Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе.

– перенести все элементы из правой части уравнения в левую часть;

– для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные;

– если в левой части получится выражение с разными знаменателями, то их надо привести к общему знаменателю, используя основное свойство дроби;

– выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь, равную  0;

– приравнять числитель к  0  и найти корни получившегося уравнения;

– провести выборку корней, то есть найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в  0.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Перенесём дробь из правой части уравнения в левую, поменяв знак перед дробью на противоположный.

Получили разность дробей. Так как у дробей разные знаменатели, то необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей:

(2х – 1)(х + 3).

Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен  (х + 3), а второй на многочлен  (2х – 1).

Выполним преобразование в числителе первой дроби – произведём умножение многочленов. Для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить. Затем привести подобные слагаемые в полученном выражении.

(2х + 3)(х + 3) =

= 2х ∙ х + 2х ∙ 3 + 3 ∙ х + 3 ∙ 3 =

= 2х² + 6х + 3х + 9 = 2х² + 9х + 9.

Выполним аналогичные преобразования в числителе второй дроби:

(х – 5)(2х – 1) =

= х ∙ 2х – х ∙ 1 – 5 ∙ 2х + 5 ∙ 1 =

= 2х² – х – 10х + 5 = 2х² – 11х + 5.

Тогда уравнение примет вид:

Теперь дроби с одинаковыми знаменателями, значит можно производить вычитание. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставит прежним.

Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак  <<–>>  надо изменить все знаки перед слагаемыми, стоящими в скобках, на противоположные

Приведём подобные слагаемые.

Дробь равна  0, если её числитель равен  0. Поэтому приравняем числитель дроби к нулю:

20х + 4 = 0.

Решим линейное уравнение:

20х = –4,  х = –0,2.

Проведём выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в  0  при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны  0.

2х – 1 ≠ 0,  х ≠ 0,5.

х + 3 ≠ 0.  х ≠ –3.

Значит, допустимы все значения переменных, кроме  –3  и  0,5.

Найденный корень является допустимым значением, значит, он является корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и, конечно, не был бы включён в ответ.

ОТВЕТ:  –0,2

Использование основного свойства пропорции при решении уравнений.

Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Используем данное свойство для решения предыдущего решения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Найдём и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции:

(2х + 3) ∙ (х + 3) = (х – 5) ∙ (2х – 1),

2х² + 6х + 3х + 9 = 2х² – х – 10х + 5,

 9х + 11х = 5 – 9,  20х = –4,  х = –0,2.

Из предыдущего решения мы нашли, что допустимы любые значения, кроме  –3  и  0,5. Тогда, установив, что найденный корень является допустимым значением, выяснили, что  –0,2  будет являться корнем.

ОТВЕТ:  –0,2

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

Приведём выражения в левой и правой части к общему знаменателю:

Так как знаменатели этих дробей одинаковые, то дроби будут равны при тех и только тех значениях  х, при которых числители равны между собой и знаменатели отличны от нуля, то есть равенство справедливо тогда и только тогда, когда выполняется условие:

Решая уравнение, получим:

6х² = 6х² + х – 1;

х – 1 = 0;

х = 1.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

Представим уравнение в виде:

и заменим выражение в левой части дробью:

Выполнив условие равенства дроби нулю, имеем:

3х² + х + х² – 8х + 15 – 4х² + 12х = 0;

5х + 15 = 0;

х = –3.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

Приведём выражения в левой и правой частях данного уравнения к общему знаменателю:

5у = 15;

у = 3.

Уравнение не имеет корней.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Полученное уравнение равносильно данному. А решить его легко, учитывая, что

дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.

Приравняем числитель к нулю:  

8х – 4 = 0,  8х = 4,

х = 0,5.

Если  х = 0,5, знаменатель  х² – 4  не равен  0.

Поэтому, х = 0,5 – корень данного уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х(х – 2) = 0, если  х = 0  или  х = 2.

Когда  х = 0, знаменатель 

(х – 2)(х + 3) 

не равен  0. Поэтому,

х = 0 – корень данного уравнения.

Когда  х = 2, то

(х – 2)(х + 3) = 0.

Поэтому, х = 2 – не будет корнем данного уравнения.

ОТВЕТ:  х = 0.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  х ∈ ∅

Задания к уроку 6

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем