Урок 8. Линейные уравнения с двумя неизвестными

Уравнение с двумя переменными – это решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с парой чисел  (х, у). Если подставить эти числа в уравнение системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решение уравнения с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными  f(х; у) = 0. Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения. Если дано уравнение с двумя переменными  х  и  у, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной  х, а на второе – значение  у.

Так пары  (10; 0), (16; 2), (–2; –4)  являются решениями уравнения 

х – 3у = 10.

В тоже время пара  (1; 5)  решением уравнения не является.

Это уравнение имеет и другие решения. Для их отыскания удобно выразить одну переменную через другую, например  х  через  у, получив уравнение

х = 10 + 3у.

Выбрав произвольное значение  у, можно вычислить соответствующее значение  х. Например, если  у = 7, то

х = 10 + 3 ∙ 7 = 31,

значит, пара  (31; 7)  является решением уравнения, если  у = –2, то

х = 10 + 3 ∙ (–2) = 4,

значит, пара  (4; –2)  также является решением заданного уравнения.

Уравнения с двумя переменными называют равносильными, если они имеют одни и те же решения (или оба не имеют решений).

Линейное уравнение с двумя переменными.

Уравнение  с двумя переменными, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов приобретает вид 

                                    аx + by = c,

где  a  и  b – числа, которые не равны нулю, называется линейным уравнением первой степени с двумя переменными.

a  и  b  называют коэффициентами при переменных, с – свободным членом.

Примеры линейных уравнений с двумя переменными.

5х – 2у + 3 = 2х + у – 1;

8х – 1,3у = 15;

0,4х + 0,7у = 3,4;

у = 4х – 9.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных  (х, у), обращающая это уравнение в тождество.

Любая пара допустимых значений  х  и  у, которая удовлетворяет уравнение, называется решением этого уравнения.

ПРИМЕР:

Значения  х = 1, у = 14 – одно решение уравнения:

х + у = 15.

Одно уравнение с двумя переменными первой степени в множестве действительных чисел имеет бесконечное множество решений. Так, в уравнении  переменная  х  может приобретать любое значение и для каждого из них есть соответственное значение  у, например:

 х₁ = 1, у₁ = 14;

х₂ = 2, у₂ = 13;

х₃ = 100, у₃ = –85  и т. д.

Такое уравнение может не иметь решений

(0х + 0у = 5).

Свойства уравнения с двумя переменными.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, так же считаются равносильными.

Уравнения первой степени с двумя переменными имеют те же самые свойства, что и уравнения с одной переменной.

Две части уравнения с двумя неизвестными можно умножить или разделить на одно и тоже отличное от  0  число, то получится уравнение равносильное данному.

Любой член такого уравнения можно перенести с одной части уравнения в другую, заменив его знак на противоположный. В результате получим уравнение, равносильное данному.

Используя их, каждое такое уравнение можно свести до стандартного вида (то есть до вида  аx + by = c).

ПРИМЕР:

Свести до стандартного вида следующее уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Чтобы избавиться от дробей в уравнении, умножим обе его части на  12.

84 + 3(х – 3у) = 24х – 4(у + 5).

Раскроем скобки и сведём подобные члены.

84 + 3х – 9у = 24х – 4у – 20,

3х – 9у – 24х + 4у = – 20 – 84,

–21х – 5у = –104,  21х + 5у = 104.

ПРИМЕР:

Дано уравнение

3х + 4у = 20,

решением которого является пара чисел  (4; у). Найдите значение  у.

РЕШЕНИЕ:

Поскольку решением уравнения является пара чисел  (4; у), это означает, что  х = 4. Подставим значение  х  в уравнение:

3 ∙ 4 + 4у = 20,

12 + 4у = 20,

4у = 20 – 12,

4у = 8,  у = 2.

ПРИМЕР:

Решением какого из уравнений будет пара чисел  (–1; –1) ?

х² + у² = 2,

0х – 0у = 15,

2х – 5у = 1,

7х + 0у = 2.

РЕШЕНИЕ:

Подставим в каждое уравнение значения  х = –1  и  у = –1.

(–1)² + (–1)² = 1 + 1 = 2,

0 ∙ (–1) – 0 ∙ (–1) = 0 + 0 ≠ 15,

2 ∙ (–1) – 5 ∙ (–1) = –2 + 5 ≠ 1,

7 ∙ (–1) + 0 ∙ (–1) = –7 + 0 ≠ 2.

ОТВЕТ:  пара чисел  (–1; –1)  будет решением уравнения  х² + у² = 2

ПРИМЕР:

Какая пара чисел

 (2; 1),  (14; –9),  (4; –3),  (6; 5)

будет решением уравнения

2х – 3у = 1 ?

РЕШЕНИЕ:

Подставим каждую пару чисел в данное уравнение:

2 ∙ 2 – 3 ∙ 1 = 4 – 3 = 1,

2 ∙ 14 – 3 ∙ (–9) = 28 + 18 ≠ 1,

2 ∙ 4 – 3 ∙ (–3) = 8 + 9 ≠ 1,

2 ∙ 6 – 3 ∙ 5 = 12 – 15 ≠ 1.

ОТВЕТ:  пара чисел  (2; 1)  будет решением уравнения  2х – 3у = 1

ПРИМЕР:

Какая пара чисел

(2; 1),  (2; –2),  (–1; 2),  (1; 0)

будет решением уравнения

5х + 3у = 5 ?

РЕШЕНИЕ:

Подставим каждую пару чисел в данное уравнение:

5 ∙ 2 – 3 ∙ 1 = 10 – 3 ≠ 5,

5 ∙ 2 – 3 ∙ (–2) = 10 + 6 ≠ 5,

5 ∙ (–1) – 3 ∙ 2 = –5 – 6 ≠ 5,

5 ∙ 1 – 3 ∙ 0 = 5 – 0 = 5.

ОТВЕТ:  пара чисел  (1; 0)  будет решением уравнения  5х + 3у = 5

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

ху – 2 = 2х – у.

РЕШЕНИЕ:

Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(ху + у) – (2х + 2) = 0.

Из каждой скобки вынесем общий множитель:

у(х + 1) – 2(х + 1) = 0,

(х + 1)(у – 2) = 0.

Имеем:

у = 2, х – любое действительное число,

х = –1, у – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида

(х; 2), х ∈ R   и  (–1; у), у ∈ R.

ПРИМЕР:

Рассмотрим уравнение

3х + 5у = 11.

Используя свойства уравнений, выразим из него одну переменную через другую, например  у  через  х. Для этого перенесём член  3х  из левой части в правую, изменив его знак. Получим равносильное уравнение

5у = –3х + 11.

Разделим обе части этого уравнения на число  5 (оно не равно нулю). Получаем уравнение, равносильное данному:

у = –³/₅ х + ¹¹/₅.

Пользуясь этим равенством, для любого  х  можно вычислить соответствующее значение  у. Например, если  х = 2, то

у = –³/₅  ∙ 2 + ¹¹/₅ =

= –⁶/₅ + ¹¹/₅ = ⁵/₅ = 1.

Если  х = 7, то

у = –³/₅  ∙ 7 + ¹¹/₅ =

= –²¹/₅ + ¹¹/₅ = –¹⁰/₅ = –2.

Пары чисел  (2; 1), (7; –2) – решения данного уравнения. Таким образом, это уравнение имеет бесконечно много решений.

Из данного уравнения

3х + 5у = 11

можно выразить и переменную  х  через переменную  у.

 Для этого перенесём член  5у  из левой части в правую, изменив его знак. Получим равносильное уравнение:

3х = –5у + 11.

Разделим обе части этого уравнения на число  3 (оно не равно нулю). Получаем уравнение, равносильное данному:

х = –⁵/₃ у + ¹¹/₃.

Пользуясь этим равенством, для любого  у  можно вычислить соответствующее значение  х. Например, если  у = 2, то

х = –⁵/₃  ∙ 2 + ¹¹/₃ =

= –¹⁰/₃ + ¹¹/₃ = ¹/₃,

и так далее.

Пара чисел  (¹/₃; 2)  также является решением данного уравнения.

ПРИМЕР:

Рассмотрим уравнение:

В это уравнение переменные  х  и  у  входят в первой степени, поэтому оно является линейным. Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел  3  и  5 – число  15. Получим равносильное уравнение:

или

10х + 5 = 3у – 9.

Изменив знак, перенесём член  3у  в левую часть, а член  5 – в правую. Вновь получаем уравнение, равносильное данному:

10х – 3у = –5 – 9,

или

10х – 3у = –14.

Достаточно часто при решении задач необходимо найти или все пары целых чисел, или все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению (в том числе и линейному) с двумя переменными. Тогда говорят, что надо решить уравнение в целых числах или решить уравнение в натуральных числах.

ЗАДАЧА:

Мальчик купил ластики по  3 руб  и карандаши по  5 руб. Сколько ластиков и карандашей купил мальчик, если известно, что за всю покупку он заплатил  49 руб ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть мальчик купил  х  ластиков и  у  карандашей. Запишем стоимость покупки и получим линейное уравнение с двумя переменными:

3х + 5у = 49.

Выразим из этого равенства, например, переменную  у. Получим:

у = –³/₅ х + ⁴⁹/₅.

Очевидно, что уравнение

3х + 5у = 49

имеет бесконечное множество решений, которые являются действительными числами. Для любого действительного числа  х  по формуле

у = –³/₅ х + ⁴⁹/₅

всегда можно найти единственное действительное число  у.

Однако по смыслу задачи числа  х  и  у  должны быть натуральными. Будем в формулу

у = –³/₅ х + ⁴⁹/₅

последовательно подставлять натуральные числа

х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,  15.

у = –³/₅ ∙ 1 + ⁴⁹/₅ = ⁴⁶/₅,

у = –³/₅ ∙ 2 + ⁴⁹/₅ = ⁴³/₅,

у = –³/₅ ∙ 3 + ⁴⁹/₅ = 8,

у = –³/₅ ∙ 4 + ⁴⁹/₅ = ³⁷/₅,

у = –³/₅ ∙ 5 + ⁴⁹/₅ = ³⁴/₅,

у = –³/₅ ∙ 6 + ⁴⁹/₅ = ³¹/₅,

у = –³/₅ ∙ 7 + ⁴⁹/₅ = ²⁸/₅,

у = –³/₅ ∙ 8 + ⁴⁹/₅ = 5,

у = –³/₅ ∙ 9 + ⁴⁹/₅ = ²²/₅,

у = –³/₅ ∙ 10 + ⁴⁹/₅ = ¹⁹/₅,

у = –³/₅ ∙ 11 + ⁴⁹/₅ = ¹⁶/₅,

у = –³/₅ ∙ 12 + ⁴⁹/₅ = ⁴³/₅,

у = –³/₅ ∙ 13 + ⁴⁹/₅ = 2,

у = –³/₅ ∙ 14 + ⁴⁹/₅ = ⁷/₅,

у = –³/₅ ∙ 15 + ⁴⁹/₅ = ⁴/₅,

Найдём, при каких натуральных значениях  х  число  у  также будет натуральным. Получим лишь три натуральных решения уравнения:

х = 3,  у = 8,

х = 8,  у = 5,

х = 13,  у = 2.

При всех остальных натуральных значениях  х  число  у  будет или дробным положительным числом, или отрицательным числом.

Задания к уроку 8

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем