Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 21 августа 2016 г.

Урок 10. Линейные уравнения с параметрами

Что такое параметр ?

С понятием параметра мы сталкивались и раньше, не употребляя этого термина. Например, линейную функцию определяли как функцию, которую можно задать формулой вида  у = kх + b, где буквы  k  и  b  обозначают параметры. Разглядывая линейное уравнение с двумя переменными как уравнение вида  ах + bу = с, буквами  а, b  и  с  обозначали параметры – коэффициенты линейного уравнения. 

Пусть дано равенство с переменными  х, а:

f(х; а) = 0.

Если ставится задача для каждого действительного значения  а  решить это уравнение относительно  х, то уравнение  f(х; а) = 0  называют уравнением с переменной  х  и параметром  а.

Параметр – это условная буква, вместо которой можно подставить число. То есть параметр – это ещё одна переменная, которая может принять несколько значений.

Как решать уравнения с параметром, если у нас целых две (а то и больше) неизвестных переменных ?

Нужен иной подход, чем при решении обычного уравнения.

Решить уравнение с параметром  а – значит, для каждого значения  а,  найти значения  х, удовлетворяющие этому уравнению.

Мы ищем не единственное значение параметра, а все возможные его значения для заданного условия.

ЗАДАЧА:

Утром на термометре было некоторое количество градусов, которое мы обозначим за  х. В обед температура воздуха изменилась в несколько раз. Во сколько раз должна была измениться температура воздуха, чтобы на термометре было  20 градусов ?

РЕШЕНИЕ:

Такие задачи достаточно легко решаются. Если бы изначально было пять градусов, то искомое число было бы равно  20 : 5 = 4. А если было  10 градусов, то искомое число было бы равно  20 : 10 = 2.

Но мы не знаем, какой изначально была температура. Так же не знаем, во сколько раз она изменилась. То есть получили уравнение с двумя неизвестными переменными.

Обозначим вторую переменную  а, у нас получилось уравнение вида

ах = 20.

Только что введённая переменная  а  является параметр.

Поскольку параметр – переменная в уравнении, которая является коэффициентом, его значение задаёт и корни уравнения. То есть переменные  а  и  х  зависят друг от друга так же, как и зависят корни обычного уравнения от его коэффициентов.

Как найти, сколько градусов было изначально ? Разделить всё уравнение на число  а:

х = 20 : а.

При  а = 2,  х = 10.

При  а = 40,  х = 0,5.

Что, если  а = 0 ? Мы получаем уравнение  х = 20 : 0, у которого нет решения, поскольку на  0  делить нельзя.

Если мы не будем преобразовывать изначальное уравнение, то получится  0 х = 20, то есть уравнение не будет выполняться: какое бы число мы ни умножили на  0, получится  0.

Получается, решение есть при любых значениях  а, кроме  0. Таким образом, мы  и нашли ответ:

при  а = 0  решений нет,

при  а 0, х = 20 : а.

ПРИМЕР:

Дано уравнение относительно  х:

mx – 8 = х.

РЕШЕНИЕ:

Приведём данное уравнение к виду  ax = b:

mx – x = 8;

(m – 1)x = 8.

Если  m – 1 = 0, то уравнение приобретает вид  0x = 8. Очевидно, оно не имеет корней.

Если  m – 1 0, то можем переменную  х  выразить через  m:
ОТВЕТ:

Уравнение имеет один корень
Уравнение не имеет корней, если  m = 1.

ПРИМЕР:

Дано уравнение относительно  х:

nx = 5n.

РЕШЕНИЕ:

Если  n 0, то,
Если  n = 0, то уравнение имеет вид  0x = 0. В этом случае любое значение  х  решение уравнения.

ОТВЕТ:

Уравнение имеет один корень  5, если  n 0.
Уравнение имеет бесконечное множество корней (любое число – корень уравнения), если  n = 0.

ПРИМЕР:

Решить уравнение с параметром  а:
РЕШЕНИЕ:


Приведём данное уравнение к виду
3y + a – 6 = 0,
2 – y 0,
3y = 6 – a,
Мы выразили переменную  у  через  а. Теперь нам необходимо проверить, при каких значениях  а  выражение:
превращается в истинное выражение, иначе говоря, необходимо узнать, при каких значениях  а  выражение
превращается в неправильное решение.
Решим уравнение:
а = 0.

Следовательно, выражение
превращается в истинное высказывание при всех значениях параметра  а, которые не равняются нулю.

ОТВЕТ:

Уравнение имеет один корень
Уравнение не имеет корней, если  а = 0.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2а(а – 2)х = а – 2.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при  х  (при этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при  х, а при остальных значениях параметра такое деление возможно). Такими значениями являются  а = 0, а = 2.

При  а = 0  уравнение принимает вид

0 х = –2.

Это уравнение не имеет корней.

При  а = 2  данное уравнение принимает вид

0 х = 0,

корнем его служит любое действительное число.

При  а и  а уравнение можно преобразовать к виду
откуда находим
Таким образом:

если  а = 0, то уравнение не имеет корней;

если  а = 2, то корнем служит любое действительное число;

если  а и  а то
Задания к уроку 10
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий