Урок 10. Линейные уравнения с параметрами

Что такое параметр ?

С понятием параметра мы сталкивались и раньше, не употребляя этого термина. Например, линейную функцию определяли как функцию, которую можно задать формулой вида  у = kх + b, где буквы  k  и  b  обозначают параметры. Разглядывая линейное уравнение с двумя переменными как уравнение вида  ах + bу = с, буквами  а, b  и  с  обозначали параметры – коэффициенты линейного уравнения. 

Пусть дано равенство с переменными  х, а:

f(х; а) = 0.

Если ставится задача для каждого действительного значения  а  решить это уравнение относительно  х, то уравнение  f(х; а) = 0  называют уравнением с переменной  х  и параметром  а.

Параметр – это условная буква, вместо которой можно подставить число. То есть параметр – это ещё одна переменная, которая может принять несколько значений.

Как решать уравнения с параметром, если у нас целых две (а то и больше) неизвестных переменных ?

Нужен иной подход, чем при решении обычного уравнения.

Решить уравнение с параметром  а – значит, для каждого значения  а,  найти значения  х, удовлетворяющие этому уравнению.

Мы ищем не единственное значение параметра, а все возможные его значения для заданного условия.

ЗАДАЧА:

Утром на термометре было некоторое количество градусов, которое мы обозначим за  х. В обед температура воздуха изменилась в несколько раз. Во сколько раз должна была измениться температура воздуха, чтобы на термометре было  20 градусов ?

РЕШЕНИЕ:

Такие задачи достаточно легко решаются. Если бы изначально было пять градусов, то искомое число было бы равно  20 : 5 = 4. А если было  10 градусов, то искомое число было бы равно  20 : 10 = 2.

Но мы не знаем, какой изначально была температура. Так же не знаем, во сколько раз она изменилась. То есть получили уравнение с двумя неизвестными переменными.

Обозначим вторую переменную  а, у нас получилось уравнение вида

ах = 20.

Только что введённая переменная  а  является параметр.

Поскольку параметр – переменная в уравнении, которая является коэффициентом, его значение задаёт и корни уравнения. То есть переменные  а  и  х  зависят друг от друга так же, как и зависят корни обычного уравнения от его коэффициентов.

Как найти, сколько градусов было изначально ? Разделить всё уравнение на число  а:

х = 20 : а.

При  а = 2,  х = 10.

При  а = 40,  х = 0,5.

Что, если  а = 0 ? Мы получаем уравнение  х = 20 : 0, у которого нет решения, поскольку на  0  делить нельзя.

Если мы не будем преобразовывать изначальное уравнение, то получится  0∙ х = 20, то есть уравнение не будет выполняться: какое бы число мы ни умножили на  0, получится  0.

Получается, решение есть при любых значениях  а, кроме  0. Таким образом, мы  и нашли ответ:

при  а = 0  решений нет,

при  а ≠ 0, х = 20 : а.

ПРИМЕР:

Дано уравнение относительно  х:

mx – 8 = х.

РЕШЕНИЕ:

Приведём данное уравнение к виду  ax = b:

mx – x = 8;

(m – 1)x = 8.

Если  m – 1 = 0, то уравнение приобретает вид  0x = 8. Очевидно, оно не имеет корней.

Если  m – 1 ≠ 0, то можем переменную  х  выразить через  m:

ОТВЕТ:

Уравнение имеет один корень

Уравнение не имеет корней, если  m = 1.

ПРИМЕР:

Дано уравнение относительно  х:

nx = 5n.

РЕШЕНИЕ:

Если  n ≠ 0, то,

Если  n = 0, то уравнение имеет вид  0x = 0. В этом случае любое значение  х  решение уравнения.

ОТВЕТ:

Уравнение имеет один корень  5, если  n ≠ 0.

Уравнение имеет бесконечное множество корней (любое число – корень уравнения), если  n = 0.

ПРИМЕР:

Решить уравнение с параметром  а:

РЕШЕНИЕ:

Приведём данное уравнение к виду

3y + a – 6 = 0,

2 – y ≠ 0,

3y = 6 – a,

Мы выразили переменную  у  через  а. Теперь нам необходимо проверить, при каких значениях  а  выражение:

превращается в истинное выражение, иначе говоря, необходимо узнать, при каких значениях  а  выражение

превращается в неправильное решение.

Решим уравнение:

а = 0.

Следовательно, выражение

превращается в истинное высказывание при всех значениях параметра  а, которые не равняются нулю.

ОТВЕТ:

Уравнение имеет один корень

Уравнение не имеет корней, если  а = 0.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2а(а – 2)х = а – 2.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при  х  (при этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при  х, а при остальных значениях параметра такое деление возможно). Такими значениями являются  а = 0, а = 2.

При  а = 0  уравнение принимает вид

0 ∙ х = –2.

Это уравнение не имеет корней.

При  а = 2  данное уравнение принимает вид

0 ∙ х = 0,

корнем его служит любое действительное число.

При  а ≠ 0  и  а ≠ 2  уравнение можно преобразовать к виду

откуда находим

Таким образом:

если  а = 0, то уравнение не имеет корней;

если  а = 2, то корнем служит любое действительное число;

если  а ≠ 0  и  а ≠ 2  то

Задания к уроку 10

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем