Урок 19. Теорема Виета

Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Между коэффициентами и корнями приведённого квадратного уравнения

х² + px + q = 0 

существуют такие зависимости:

Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.

Эта зависимость известна под названием формул Виета.

Если 

р²– 4q = 0,

то уравнение 

х²  + px + q = 0  

имеет один корень.

Поэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета правильна и для этого случая, поскольку

Каждое квадратное уравнение виду 

aх² + bx + c = 0  

(а ≠ 0) равносильно приведённому квадратному уравнению:

Поэтому если такое уравнение имеет корни  х₁  и  х₂ , то

ПРИМЕР:

Уравнение:

х² + 2х – 80 = 0

имеет корни 

х₁ = 8,  х₂ = –10,

поэтому  

х₁ + х₂ = 8 – 10 = –2;

х₁ ×  х₂ = 8 × (– 10)

= –80.

ПРИМЕР:

Уравнение:

х² + 9х + 14 = 0

имеет корни 

х₁ = –2,  х₂ = –7, поэтому  

х₁ + х₂ =

–2 + (–7) = –9;

х₁ ×  х₂ =

(– 2) × (–7) = 14.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x² + 12x + 11 = 0.

Если уравнение имеет целые корни, то их произведение равно  11. Это могут быть числа  1  и  11  или  –1  и  –11. Второй коэффициент уравнения положительный, поэтому корни отрицательные.

ОТВЕТ:

х₁ = –1,  х₂ = –11.  

Теорема, обратная теореме Виета.

Если сумма и произведение чисел  m  и  n   равно соответственно  –p  и  q, то  m  и  n –  корни уравнения   

х²  + px + q = 0.

Из теоремы Виета выходит, что целые решения уравнения 

х² + px + q = 0 

будут делителями числа  q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, будет та или другая пара чисел корнями приведённого квадратного уравнения, или нет. Это даёт возможность устно решать много таких уравнений.

ПРИМЕР:

Составить квадратное уравнение, которое имеет корни  5  и  –6. Тут

х₁ + х₂ = 5 + (–6) = –1;

х₁× х₂ = 5 × (–6) = –30.

Поэтому, p = 1, q = –30. Получим уравнение:

x² + x – 30 = 0.

Для квадратного уравнения 

ax² + bx + c = 0 

существует зависимость:

ПРИМЕР:

Уравнение:

4x² + 25x – 21 = 0

имеет корни:

ПРИМЕР:

Составить квадратное уравнение, корни которого были б обратными корням уравнения:

ax² + bx + c = 0.

Перепишем данное уравнение так:

Пусть его корнями будут   х₁  и  х₂. Тогда

По условию, корнями искомого уравнения будут:

Чтобы  определить его коэффициенты, вычислим:

Уравнение будет иметь вид:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x² – 9x + 14 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Попробуем найти два числа  х₁  и  х₂  такие, что

х₁ + х₂ = 9,

х₁∙ х₂ = 14.

Такими числами являются  2  и  7, они и служат корнями заданного уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x² + 3x – 28 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Попробуем найти два числа  х₁  и  х₂, чтобы выполнялись равенства:

х₁ + х₂ = 9,

х₁∙ х₂ = 14.

Такими числами являются  4  и  –7, они и служат корнями заданного уравнения.

ПРИМЕР:

Найдите сумму корней уравнения:

2х² + 18x – 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

2х² + 18x – 5 = 0,

х² + 9x – 2,5 = 0,

D = 9² + 10 > 0,

Согласно теореме Виета

х₁ + х₂ = –9.

ПРИМЕР:

Найдите сумму корней уравнения:

х⁴ – 3x² – 4 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  t = х², тогда

t² – 3t – 4 = 0.

По теореме, обратной до теоремы Виета, имеем:

 t₁ = 4, t₂ = –1 – не подходит.

Поэтому, х² = 4, откуда

х₁ = –2, х₂ = 2.

Сумма корней

х₁ + х₂ = –2 + 2 = 0.

ОТВЕТ:  0

ПРИМЕР:

Составьте квадратное уравнение, корни которого больше корней уравнения

х² + 3x – 7 = 0

на единицу.

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х₁ + х₂ = –3,

х₁х₂ = –7.

Пусть  t₁  и  t₂ – корни уравнения, которое надо составить.

х² + bx + c = 0,

тогда 

t₁ = х₁ + 1, t₂ = х₂ + 1, а

t₁ + t₂ = –b,

b = –(х₁ + 1 + х₂ + 1) =

= –(х₁ + х₂ + 2) = –(–3 + 2) = 1,

t₁ t₂ = с, с = (х₁ + 1)(х₂ + 1) =

= х₁х₂ + (х₁ + х₂) + 1 =

= –7 – 3 + 1 = –9.

Уравнение, которое надо составить будет следующим:

х² + x – 9 = 0.

ОТВЕТ:  х² + x – 9 = 0

ПРИМЕР:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на  4  больше, чем корни уравнения

х² – 2x – 4 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х₁ + х₂ = 2,

х₁х₂ = –4.

Пусть  t₁  и  t₂ – корни уравнения, которое надо составить

х² + bx + c = 0,

тогда

t₁ = х₁ + 4,

t₂ = х₂ + 4, а

t₁ + t₂ = –b,

b = –(х₁ + 4 + х₂ + 4) =

= –(х₁ + х₂ + 8) = –(2 + 8) = –10,

t₁ t₂ = с, с = (х₁ + 4)(х₂ + 4) =

= х₁х₂ + 4(х₁ + х₂) + 16 =

= –4 + 4 ∙ 2 + 16 = 20.

Искомое уравнение:

х² – 10x + 20 = 0.

ОТВЕТ:  х² – 10x + 20 = 0

ПРИМЕР:

Известно, что  х₁  и  х₂ – корни уравнения

х² – 10x + 12 = 0.

Не решая это уравнение, найдите значение выражения:

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х₁ + х₂ = 10,

х₁х₂ = 12.

Так как

х₁² + х₂² = х₁² + х₂² + 2х₁х₂ – 2х₁х₂ =

= (х₁ + х₂)² – 2х₁х₂ = 100 – 24 = 76,

ПРИМЕР:

Известно, что  х₁  и  х₂ – корни уравнения

х² + 5x – 13 = 0.

Не решая уравнение, найдите значение выражения:

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х₁ + х₂ = –5,

х₁х₂ = –13.

(х₁ + х₂)² = (–5)²,

х₁² + х₂² + 2х₁х₂ = 25,

х₁² + х₂² = 25 – 2х₁х₂,

= 25 – 2 ∙ (–13) = 51,

ПРИМЕР:

Известно, что  х₁  и  х₂ – корни уравнения

х² + 6x – 14 = 0.

Найдите значение выражения

5х₁ + 5х₂ – 3х₁х₂.

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х₁ + х₂ = –6,

х₁х₂ = –14.

5х₁ + 5х₂ – 3х₁х₂ =

= 5(х₁ + х₂) – 3х₁х₂ =

= 5(–6) – 3(–14) =

= –30 + 42 = 12.

ПРИМЕР:

Найдите корни квадратного уравнения:

х² – 8x + 7 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Попробуем найти два числа  х₁  и  х₂  такие, что

Решим эту систему уравнений:

х₁ = 8 – х₂,

(8 – х₂)∙ х₂ = 7,

–х₂² + 8х₂ – 7 = 0,

х₂² – 8х₂ + 7 = 0,

х₁ = 7,  х₂ = 1, 
Такими числами являются  1  и  7, они и служат корнями заданного уравнения.

Задания к уроку 19

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем