Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 26 августа 2016 г.

Урок 19. Теорема Виета

Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Между коэффициентами и корнями приведённого квадратного уравнения

х2 + px + q = 0 

существуют такие зависимости:

Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.
Эта зависимость известна под названием формул Виета.
Если 

р24q = 0,

то уравнение 

х2  + px + q = 0  

имеет один корень.
Поэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета правильна и для этого случая, поскольку
Каждое квадратное уравнение виду 

2 + bx + c = 0  

(а 0) равносильно приведённому квадратному уравнению:
Поэтому если такое уравнение имеет корни  х1  и  х2 , то
ПРИМЕР:

Уравнение:

х2 + 2х – 80 = 0

имеет корни 

х1 = 8,  х2 = –10,

поэтому  

х1 + х2 = 8 – 10 = –2;
х1 ×  х2 = 8 × (– 10)
= –80.

ПРИМЕР:

Уравнение:

х2 + 9х + 14 = 0

имеет корни 

х1 = –2,  х2 = –7, поэтому  
х1 + х2 =
2 + (–7) = –9;
х1 ×  х2 =
(– 2) × (–7) = 14.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x2 + 12x + 11 = 0.

Если уравнение имеет целые корни, то их произведение равно  11. Это могут быть числа  1  и  11  или  –1  и  –11. Второй коэффициент уравнения положительный, поэтому корни отрицательные.

ОТВЕТ:

х1 = –1,  х2 = –11.  

Теорема, обратная теореме Виета.

Если сумма и произведение чисел  m  и  n   равно соответственно  –p  и  q, то  m  и  n –  корни уравнения   

х2  + px + q = 0.

Из теоремы Виета выходит, что целые решения уравнения 

х2 + px + q = 0 

будут делителями числа  q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, будет та или другая пара чисел корнями приведённого квадратного уравнения, или нет. Это даёт возможность устно решать много таких уравнений.

ПРИМЕР:

Составить квадратное уравнение, которое имеет корни  5  и  –6. Тут

х1 + х2 = 5 + (–6) = –1;
х1× х2 = 5 × (–6) = –30.

Поэтому, p = 1, q = –30. Получим уравнение:

x2 + x 30 = 0.

Для квадратного уравнения 

ax2 + bx + c = 0 

существует зависимость:
ПРИМЕР:

Уравнение:

4x2 + 25x 21 = 0

имеет корни:
ПРИМЕР:

Составить квадратное уравнение, корни которого были б обратными корням уравнения:

ax2 + bx + c = 0.

Перепишем данное уравнение так:
Пусть его корнями будут   х1  и  х2. Тогда
По условию, корнями искомого уравнения будут:
Чтобы  определить его коэффициенты, вычислим:
Уравнение будет иметь вид:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x2 9x + 14 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Попробуем найти два числа  х1  и  х2  такие, что

х1 + х2 = 9,

х1 х2 = 14.

Такими числами являются  2  и  7, они и служат корнями заданного уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x2 + 3x 28 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Попробуем найти два числа  х1  и  х2, чтобы выполнялись равенства:

х1 + х2 = 9,

х1 х2 = 14.

Такими числами являются  4  и  –7, они и служат корнями заданного уравнения.

ПРИМЕР:

Найдите сумму корней уравнения:

2х2 + 18x – 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

2х2 + 18x – 5 = 0,

х2 + 9x – 2,5 = 0,

D = 92 + 10 > 0,

Согласно теореме Виета

х1 + х2 = –9.

ПРИМЕР:

Найдите сумму корней уравнения:

х4 – 3x24 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  t = х2, тогда

t23t4 = 0.

По теореме, обратной до теоремы Виета, имеем:

 t1 = 4, t2 = –1 – не подходит.

Поэтому, х2 = 4, откуда

х1 = –2, х2 = 2.

Сумма корней

х1 + х2 = –2 + 2 = 0.

ОТВЕТ:  0

ПРИМЕР:

Составьте квадратное уравнение, корни которого больше корней уравнения

х2 + 3x – 7 = 0

на единицу.

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х1 + х2 = –3,

х1х2 = –7.

Пусть  t1  и  t2 – корни уравнения, которое надо составить.

х2 + bx + c = 0,

тогда 

t1 = х1 + 1, t2 = х2 + 1, а

t1 + t2 = –b,

b = –(х1 + 1 + х2 + 1) =

= –(х1 + х2 + 2) = (–3 + 2) = 1,

t1 t2 = с, с = (х1 + 1)(х2 + 1) =

= х1х2 + (х1 + х2) + 1 =

= –7 – 3 + 1 = –9.

Уравнение, которое надо составить будет следующим:

х2 + x – 9 = 0.

ОТВЕТ:  х2 + x – 9 = 0

ПРИМЕР:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на  4  больше, чем корни уравнения

х2 – 2x – 4 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х1 + х2 = 2,

х1х2 = –4.

Пусть  t1  и  t2 – корни уравнения, которое надо составить

х2 + bx + c = 0,

тогда

t1 = х1 + 4,

t2 = х2 + 4, а

t1 + t2 = –b,

b = –(х1 + 4 + х2 + 4) =

= –(х1 + х2 + 8) = (2 + 8) = –10,

t1 t2 = с, с = (х1 + 4)(х2 + 4) =

= х1х2 + 4(х1 + х2) + 16 =

= –4 + 4 2 + 16 = 20.

Искомое уравнение:

х2 – 10x + 20 = 0.

ОТВЕТ:  х2 – 10x + 20 = 0

ПРИМЕР:

Известно, что  х1  и  х2корни уравнения

х2 – 10x + 12 = 0.

Не решая это уравнение, найдите значение выражения:

РЕШЕНИЕ:
Согласно теореме Виета

х1 + х2 = 10,

х1х2 = 12.

Так как

х12 + х22 = х12 + х22 + 2х1х2 – 2х1х2 =

= (х1 + х2)2 – 2х1х2 = 100 – 24 = 76,
ПРИМЕР:

Известно, что  х1  и  х2корни уравнения

х2 + 5x – 13 = 0.

Не решая уравнение, найдите значение выражения:
РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х1 + х2 = –5,

х1х2 = –13.

(х1 + х2)2 = (–5)2,

х12 + х22 + 2х1х2 = 25,

х12 + х22 = 25 – 2х1х2,

= 25 – 2 (–13) = 51,

ПРИМЕР:

Известно, что  х1  и  х2корни уравнения

х2 + 6x – 14 = 0.

Найдите значение выражения

5х1 + 5х2 – 3х1х2.

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме Виета

х1 + х2 = –6,

х1х2 = –14.

5х1 + 5х2 – 3х1х2 =

= 5(х1 + х2) – 3х1х2 =

= 5(–6) – 3(–14) =

= –30 + 42 = 12.

ПРИМЕР:

Найдите корни квадратного уравнения:

х2 – 8x + 7 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Попробуем найти два числа  х1  и  х2  такие, что
Решим эту систему уравнений:

х1 = 8 – х2,

(8 – х2) х2 = 7,

х22 + 8х2 – 7 = 0,

х22 – 8х2 + 7 = 0,
х1 = 7,  х2 = 1, 
Такими числами являются  1  и  7, они и служат корнями заданного уравнения.

Задания к уроку 19
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий