Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 6 декабря 2016 г.

Урок 33. Уравнения высших степеней

Уравнением высшей степени называют каждое алгебраическое уравнение степени выше второй, т. е. уравнение вида

a0хn + a1xn-1 + …+ an-1x + an = 0.

Свойства уравнений высших степеней.  

– всякое алгебраическое уравнение n-й степени в множестве чисел имеет  n  корней, среди которых могут быть и равные друг другу
– всякий многочлен n-й степени в множестве чисел может быть представлен, и притом единственным способом, в виде произведения двучленов первой степени;
– если все коэффициенты уравнения целые и коэффициент при  хn  равен  1, то рациональными корнями могут быть только целые числа;
– целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

В некоторых случаях, используя приведённые свойства, можно легко решить уравнения высших степеней с целыми коэффициентами.

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

аx3 + bx2 + cx + d = 0,

где  x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причём  а ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более трёх корней.

Уравнение четвёртой степени.

Уравнение четвёртой степени можно привести к виду:

аx4 + bx3 + cx2 + dх + e = 0,

где  x – переменная, a, b, c, d, e  – некоторые числа, причём  а ≠ 0.
Уравнение четвёртой степени может иметь не более четырёх корней.
Уравнение пятой, шестой и т. д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведённой выше схеме.
Уравнение  n – й степени может иметь не более  n  корней.
Рассмотрим основные методы решения уравнений:

Вынесение общего множителя.

Если все члены многочлена имеют общий множитель, то вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители;

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x3 – 3x2 + 4x = 0.

РЕШЕНИЕ:

 Все слагаемые в левой части уравнения содержат общий множитель  х. вынося его за скобки, получим

х(x2 – 3x + 4) = 0.

Значит,  х = 0  или 

x2 – 3x + 4 = 0.

Квадратное уравнение действительных корней не имеет, поэтому исходное уравнение имеет единственное решение  х = 0.

ОТВЕТ:    

х = 0.
ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x3 – 5x2 + 6x = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х(x2 – 5x + 6) = 0.

Отсюда,  х = 0  или 

x2 – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получим:

х1 = 2;  х2 = 3

 ОТВЕТ:  0;  2;  3.

Способ группировки.

Этот способ применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя, суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене таким образом, чтобы после вынесения общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем уже для каждой группы;

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х3 + х2 – 5х – 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

 Объединяя в одну группу первое и второе слагаемое, а в другую – третье и четвёртое слагаемые, получим:

х3 + х2 – 5х – 5
= (х3 – 5х) + (х2 – 5)
= х(х2 – 5) + (х2 – 5)
= (х2 – 5)(х + 1).

Поэтому данное уравнение равносильно следующим уравнениям:

х2 – 5 = 0,  
х + 1 = 0.

Откуда следует, что

х1,2  = ±√͞͞͞͞͞5,    
х3 = –1.        

Применение формул сокращённого умножения.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

(х2 + 2х)2 – (х + 1)2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

 Применяя формулу   

а2 – b2 = (a – b)(a + b),

имеем:

(х2 + 2х)2 – (х + 1)2
= (х2 + 2х – х – 1)(х2 + 2х + х +1)
= (х2 + х – 1)(х2 + 3х +1).

Тогда данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

х2 + х – 1 = 0,       
х2 + 3х + 1 = 0,

откуда получаем:
ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:

 Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):
Отсюда:
Квадратное уравнение

х2 + 3х – 18 = 0

Имеет корни 

х1 = 3  и  х2 = –6 

(х1  не входит в область допустимых значений).

 ОТВЕТ:  –6

 Выделение полного квадрата.

Иногда многочлен можно разложить на множители, если воспользоваться сначала методом выделения полного квадрата, а затем, как правило, формулой разности квадратов;

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х4 – 2x2 – 12х – 8 = 0.

РЕШЕНИЕ:

 Прибавим в левой части  2х2  и  1, а для того чтобы уравнение осталось равносильным данному прибавим ещё  –2х2  и  –1,
Тогда получим:

х4 – 2x2 + 2x2 – 2x2 – 12х – 8 +1 – 1 = 0.

Сделаем  следующую группировку:

х4 + 2x2 + 1 – 4x2 – 12х – 9
= (x2 + 1)2– (2х + 3)2
= (x2 + 1 – 2х  – 3)(х2 + 1 + 2х + 3)
= (x2 – 2х  – 2)(х2 + 2х + 4).

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

x2 – 2х  – 2 = 0,    
х2 + 2х + 4 = 0.

Второе уравнение этой совокупности действительных решений не имеет.

ОТВЕТ:     

х1,2  =1 ±√͞͞͞͞͞3. 

 Задания к уроку 33
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий