Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 14 декабря 2016 г.

Урок 34. Решение уравнений способом замены

Во многих случаях способ введения новых переменных значительно упрощает решение системы уравнений.

Метод введения новой переменной.

Некоторые уравнения решают заменой в них некоторого многочлена с одной переменной и могут быть сведены к алгебраическим уравнениям, степень которых меньше степени исходного уравнения и решение которых проще.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
ОДЗ:  х ≠ 0

Пусть
Тогда
Имеем:
2t2 + 5t + 2 = 0,
t1 = –0,5,   t2 = –2.

Вернёмся к замене:
2х2 + 2 = х,
2х2 + х + 2 = 0,   D < 0,

уравнение не имеет корней.
х2 + 1 = –2х,
х2 + 2х + 1 = 0, 
(х + 1)2 = 0.
х = –1.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
Проверкою определяем, что  х = 0  не является корнем уравнения. Поделим числитель и знаменатель каждой дроби на  х, получим:
Пусть

3х + 2/х = t,

тогда последнее уравнение можно записать в виде:
13(t + 1) – 12(t5) = 5(t + 1)(t5),
5t2 – 21t – 98 = 0,
t1 = –2,8,   t2 = 7.
t ≠ 5,   t ≠ 1.

возвращаясь к замене, получаем:

3х + 2/х = –2,8
15х2 + 14х + 10 = 0,
D < 0

уравнение корней не имеет.

3х + 2/х = 7,
3х2 – 7х + 2 = 0,
х1 = 1/3,   х2 = 2.

ПРИМЕР.

Решить уравнение:

(х2 + х)24(х2 + х) + 3 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Введём новую переменную 

t = х2 + х.

Получим уравнение

 t24t + 3 = 0

корнями которого являются числа  

t1 = 1,  t2 = 3.

Теперь решим два уравнения:

х2 + х = 1,      
х2 + х = 3.

ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х6 – 5х3 + 4 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим  у = х3, тогда исходное уравнение принимает вид:

у2 – 5у + 4 = 0,

решив которое получаем

у1 = 1;  у2 = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности 
уравнений:

х3 = 1  или  х3 = 4,

То есть
ОТВЕТ:
Уравнение вида  

ax4 + bx2 + c = 0,

где   x – переменная,  a, b  и  c – некоторые числа, причём   a ≠ 0, называется биквадратным уравнением.

Заменой  х2 = t  биквадратное уравнение сводится до квадратного уравнения  

at2 + bt + c = 0.

Такой способ решения уравнения называют методом замены переменной.
Формула решения биквадратного уравнения такая:
Она даёт четыре корня биквадратного уравнения, а именно:
Симметричные уравнения.

Уравнения

axn + bxn-1 + cxn-2 + … + cx2 + bx + a,

у которых коэффициенты членов, одинаково удаленных от начала и конца, равны, называются симметричными или обратными.

ПРИМЕР:

х7 + 2х6 – 5х5 – 13х4 – 13х3 – 5х2 + 2х + 1 = 0.

Симметричное уравнение имеет такое свойство:

Если число  х1  будет решением, то обратное число  1/х1  так же будет его решением.

(Ни один из корней симметричного уравнения не может быть равен нулю.)
Симметричное уравнение может быть как чётной, так и нечётной степени. Способ решения такого уравнения чётной степени покажем на примере уравнения четвертой степени.

4 + 3 + 2 + + a = 0.

Поделив обе части уравнения на  х2  (так как  х 0), получим:
Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:
Заменим

х + 1/х = у.

Получим:
Видим, что симметричное уравнение четвертой степени сводится к квадратному уравнению. Симметричное уравнение чётной степени можно привести с помощью подстановки

х + 1/х = у

к уравнению в два раза меньшей степени, чем исходное. Для этого делят все члены данного уравнения на  хn  (если степень данного был 2n ) и группируют члены, равноудалённые от конца и начала. После этого делают замену по формулам:
ПРИМЕР:

Решите уравнение:

4 + 3х3 – 4х2 – 3х + 2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Поделим обе две части уравнения на  х2 0  и получим:
Пусть

х1/х = t,

тогда
Получим:

2(t2 + 2) + 3t – 4 = 0,
2t2 + 3t = 0,
t(2t + 3) = 0.
t 1 = 0,  t2 = –1,5.

Вернёмся к замене:

х1/х = 0,   
х2 – 1 = 0,
х2 = 1,   х1,2 = ±1.
х1/х = –1,5,   
2х2 + 3х – 2 = 0,
х3 = –2,   х4 = 0,5.

Поэтому, уравнение имеет  4  корня.


ПРИМЕР:


Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:


Обозначим
тогда получаем уравнение
Преобразуем его:
отсюда
Квадратное уравнение

y2 4y + 3 = 0

имеет корни

y1 = 1;  y2 = 3

(оба корня входят в область допустимых значений).
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений
Преобразуем их:


(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х (х + 2)(х + 3)(х + 5) = 72.

РЕШЕНИЕ:

Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

(х + 2)(х + 3)(х + 5) х = 72,
(х2 + 5х + 6)(х2 + 5х) = 72.

Обозначим  у = х2 + 5х, тогда получим уравнение 

(у + 6) у = 72,

или

у2 + 6у – 72 = 0.

Корни этого уравнения:

у1 = 6, у2 = –12.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

х2 + 5х = 6  или 
х2 + 5х = –12.

Первое уравнение имеет корни 

х1 = 1, х2 = –6.

Второе уравнение корней не имеет, так как 

D = 25 – 48 = –23 < 0.

ОТВЕТ:  –6,  1

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:

Сгруппируем слагаемые
:
Обозначим:
при этом заметим, что
Отсюда:
С учётом этого получаем уравнение:

4(у2 – 2) + 12у = 47,  или
4у2 + 12у – 55 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корни
:
Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Решим их:
х1 = 2, х2 = 1/2.

Или
(все найденные корни входят в область допустимых значений).

ОТВЕТ:  20,5,
Задания к уроку 34
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий