Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 34. Решение уравнений способом замены

Во многих случаях способ введения новых переменных значительно упрощает решение системы уравнений.

Метод введения новой переменной.

Некоторые уравнения решают заменой в них некоторого многочлена с одной переменной и могут быть сведены к алгебраическим уравнениям, степень которых меньше степени исходного уравнения и решение которых проще.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

ОДЗ: х ≠ 0.

Пусть

Тогда

Имеем:

2t² + 5t + 2 = 0,

t₁ = –0,5, t₂ = –2.

Вернёмся к замене:

2х² + 2 = –х,

2х² + х + 2 = 0, D < 0,

уравнение не имеет корней.

х² + 1 = –2х,

х² + 2х + 1 = 0,

(х + 1)² = 0.

х = –1.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

Проверкою определяем, что х = 0 не является корнем уравнения. Поделим числитель и знаменатель каждой дроби на х, получим:

Пусть

3х + ²/_х= t,

тогда последнее уравнение можно записать в виде:

13(t + 1) – 12(t – 5) = 5(t + 1)(t – 5),

5t² – 21t – 98 = 0,

t₁ = –2,8, t₂ = 7.

t ≠ 5, t ≠ 1.

возвращаясь к замене, получаем:

3х + ²/_х= –2,8

15х² + 14х + 10 = 0,

D < 0

уравнение корней не имеет.

3х + ²/_х= 7,

3х² – 7х + 2 = 0,

х₁ = ¹/₃, х₂ = 2.

ПРИМЕР.

Решить уравнение:

(х² + х)² – 4(х² + х) + 3 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Введём новую переменную

t = х² + х.

Получим уравнение

t² – 4t + 3 = 0,

корнями которого являются числа

t₁ = 1, t₂ = 3.

Теперь решим два уравнения:

х² + х = 1,

х² + х = 3.

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х⁶ – 5х³ + 4 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим у = х³, тогда исходное уравнение принимает вид:

у² – 5у + 4 = 0,

решив которое получаем

у₁ = 1; у₂ = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности

уравнений:

х³ = 1 или х³ = 4,

То есть

ОТВЕТ:

Уравнение вида

ax⁴ + bx² + c = 0,

где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём a ≠ 0, называется биквадратным уравнением.

Заменой х² = t биквадратное уравнение сводится до квадратного уравнения

at² + bt + c = 0.

Такой способ решения уравнения называют методом замены переменной.

Формула решения биквадратного уравнения такая:

Она даёт четыре корня биквадратного уравнения, а именно:

Симметричные уравнения.

Уравнения

axⁿ + bxⁿ^-1 + cxⁿ^-2 + … + cx² + bx + a,

у которых коэффициенты членов, одинаково удаленных от начала и конца, равны, называются симметричными или обратными.

ПРИМЕР:

х⁷ + 2х⁶ – 5х⁵ – 13х⁴ – 13х³ – 5х² + 2х + 1 = 0.

Симметричное уравнение имеет такое свойство:

Если число х₁ будет решением, то обратное число ¹/_х₁ так же будет его решением.

(Ни один из корней симметричного уравнения не может быть равен нулю.)

Симметричное уравнение может быть как чётной, так и нечётной степени. Способ решения такого уравнения чётной степени покажем на примере уравнения четвертой степени.

aх⁴ + bх³ + cх² + bх + a = 0.

Поделив обе части уравнения на х² (так как х ≠ 0), получим:

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

Заменим

х + ¹/_х = у.

Получим:

Видим, что симметричное уравнение четвертой степени сводится к квадратному уравнению. Симметричное уравнение чётной степени можно привести с помощью подстановки

х + ¹/_х = у

к уравнению в два раза меньшей степени, чем исходное. Для этого делят все члены данного уравнения на хⁿ (если степень данного был 2n ) и группируют члены, равноудалённые от конца и начала. После этого делают замену по формулам: