Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений

В задачах на смешивание второго рода чаще известны цены отдельных сортов, цена и количество смеси, а нужно определить количество взятых для смеси сортов. Видоизменённою задачей будет такая, в которой искомой величиной будет количество одного из сортов, которые входят в смесь.

Если в задаче необходимо найти  m₁, m₂,  p₁, p₂, или их отношение, то эта задача на смешивание второго рода. Такие задачи трудней от задач первого рода, их можно решать арифметическим способом, но лучше – с помощью уравнений.

ЗАДАЧА:

В каком отношении нужно взять два сорта товара стоимостью по  7,5 руб  за  1 кг  и по  7 руб  за  1 кг, чтобы получить смесь стоимостью по  7,2 руб  за  1 кг ?

РЕШЕНИЕ:

Обозначив неизвестные количества товара ценой  7,5 руб  и  7 руб  за  1 кг  соответственно через  х₁  и  х₂  составляем таблицу:

Далее рассуждаем так. При стоимости  1 кг  смеси по  7,2 руб  каждый килограмм товара первого сорта оценивался дешевле его стоимости на  0,3 руб, а каждый килограмм второго сорта, вошедший в смесь, оценивался дороже на  0,2 руб.

Для того чтобы уменьшение стоимости первого сорта могло быть покрыто повышением стоимости второго сорта (стоимость всей покупки не изменилась), необходимо, чтобы каждый раз, когда берут  0,2 кг товара первого сорта, брали  0,3 кг  второго сорта, т. е.

х₁ : х₂ = 0,2 : 0,3.

ОТВЕТ:

В отношении  2 : 3.

ЗАДАЧА:

Латунь – это сплав меди и цинку. Кусок латуни весом  124 г  при опускании в воду  <<потерял>>  15 г. Сколько в нём содержится меди и цинку отдельно, если известно, что  89 г  меди  <<теряет>>  у воде  10 г, а  7 г  цинку – 1 г ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в латуни было  х г  меди и  у г  цинку. Тогда:

х + у = 124.

Если медь <<теряет>>  ¹⁰/₈₉  своего веса, а цинк  ¹/₇, то  х г  меди <<теряет>>  ¹⁰/₈₉ х, а  у г  цинку  ¹/₇ у. Поэтому:

¹⁰/₈₉  х + ¹/₇ у = 15.

Решив систему уравнений, получим

 х = 89, у = 35.

ОТВЕТ:

89 г  меди и  35 г  цинку.

ЗАДАЧА:

Из двух сплавов с  60-процентным и  80-процентным содержанием меди надо изготовить сплав весом  40 кг  с  75-процентным содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава надо взять для этого ?

РЕШЕНИЕ:

Выражаем содержание меди в граммах на  1 кг  сплава:

ОТВЕТ:

10 кг  и  30 кг.

Алгоритм решения задач на смеси.

х – масса первого раствора;

у – масса второго раствора;

(х + у) – масса полученной смеси.

Найти содержание растворённого вещества в растворе т. е.

а%  от  х,

b%  от  у,

с%  от  (х + у).

Составить систему уравнений.

ЗАДАЧА:

Смешали  30%-ный  раствор соляной кислоты с  10%-ным  и получили  600 г  15%-ого  раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято ?

РЕШЕНИЕ:

Введём обозначение. Пусть взяли  х г  первого раствора, у г – второго раствора. Тогда масса третьего раствора – (х + у). Определим количество растворённого вещества в первом, втором, третьем растворах, т. е. найдём  30%  от  х, 10%  от  у, 15%  от  600. Составим систему уравнений:

0,3х + 60 – 0,1х = 90;

0,2х = 30;

х = 150;   у = 600 – 150.

ОТВЕТ:

Взяли  150 г  первого раствора и  450 г  второго раствора.

Решение задач с помощью расчётной формулы.

При решении задач удобно составлять следующую таблицу.

Тогда:

Преобразуем эту формулу и найдём отношение масс  m₁  к  m₂.

p(m₁ + m₂) = m₁p₁ + m₂p₂;

 pm₁ + pm₂ = m₁p₁ + m₂p₂;

pm₁ – m₁p₁ = m₂p₂ – pm₂;

m₁(p – p₁) = m₂(p₂ – p).

ЗАДАЧА:

Смешали  10%-ный  и  25%-ный  растворы соли и получили  3 кг 20%-ного  раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано ?

РЕШЕНИЕ:

Решение с помощью формулы:

m₁ + m₂ = 3 кг,

p₁ = 0,1,

p₂ = 0,25,

p = 0,2.

Тогда:

Следовательно:

m₁ = 1 кг;   m₂ = 2 кг.

Решение с помощью системы уравнений:

Пусть  х (кг) – количество первого раствора, у (кг) – количество второго раствора. Система уравнений имеет вид:

ОТВЕТ:

1 кг,  2 кг.

ЗАДАЧА:

Сколько граммов  3-процентного и сколько граммов  8-процентного раствора соли необходимо взять, чтобы получить  500 г 4-процентного раствора ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть первого раствора необходимо взять  х г, а второго – у г. Тогда по условию 

х + у = 500.

В  3-процентном растворе содержится  0,03х г  соли, а в  8- процентном – 0,08у г  соли. В  500 г 4-процентного раствора содержится

500 × 0,04 = 20 (г) соли.

Поэтому,

0,03х + 0,08у = 20.

составим систему уравнений:

Решив её получим:

х = 400,  у = 100.

Поэтому, необходимо взять  400 г 3-процентного раствора и  100 г 8- процентного раствора.

ОТВЕТ:

400г,  100 г.

Задания к уроку 39

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем