Урок 30. Пересечение прямой и окружности

Рассмотрим вопрос про пересечение прямой с окружностью. Пусть  R – радиус окружности и  d – расстояние от центра окружности до прямой. Возьмём центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, – за ось  х. Тогда уравнением окружности будет 

х² + у² = R²,

а уравнение прямой 

х = d.

Прямая и окружность пересекаются, если система двух уравнений

х² + у² = R²,  х = d

имеет решения. И наоборот, любое решение этой системы даёт координаты  х, у  точки пересечения прямой с окружностью.

Решив нашу систему, получим:

Из выражения для  у  видим, что система имеет два решения, то есть:

– окружность и прямая пересекаются в двух точках, если  R > d.

Система имеет одно решение, если:
– прямая и окружность касаются, если  R = d.

Система не имеет решений, если:

– прямая и окружность не пересекаются, если  R < d.

ПРИМЕР:

Найдите точки пересечения окружности 

х² + у² = 1 

и прямой  

у = 2х + 1.

РЕШЕНИЕ:

Так как точки пересечения лежат на окружности и прямой, то их координаты удовлетворяют систему уравнений:

х² + у² = 1,  у = 2х + 1.

Решим эту систему. Подставим  у  из второго уравнения в первое. Получим уравнение с  х:

5х² + 4х = 0.

Уравнение имеет два корня:

х₁ = 0,  х₂ = –0,8. 

Это абсциссы точек пересечения. Ординаты этих точек получим из уравнения прямой, подставив в него  х₁  и  х₂. Получим:

у₁ = 1,  у₂ = –0,6.

Точки пересечения прямой и окружности будут:

(0; 1),  (–0,8; –0,6)

ПРИМЕР:

Найдите координаты точек пересечения окружности

х² + у² = 20

и прямой

у = х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдем из системы:

х₁ = 4,  х₂ = –2. 

у₁ = 2,  у₂ = –4.

ОТВЕТ:  (4; 2),  (–2; –4).

ПРИМЕР:

Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений

х² + у² = 25

у = 2х – 5.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдем из системы:

х₁ = 4,  х₂ = 0. 

у₁ = 3,  у₂ = –5.

ОТВЕТ:  (4; 3),  (0; –5).

ПРИМЕР:

Найдите координаты точек пересечения окружности

х² + у² = 10

и прямой

у = х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдем из системы:

ОТВЕТ:  (3; 1),  (–1; –3).

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков уравнений

х² + у² =9,

х = у – 3.

Начертите графики данных уравнений и отметьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

х² + у² = 9 – уравнение окружности с центром  О(0; 0)  радиусом  3,

х = у – 3 – уравнение прямой.

Координаты точек пересечения найдем из системы:

х₁ = 0,  х₂ = –3. 

у₁ = 3,  у₂ = 0.

ОТВЕТ:  (0; 3), (–3; 0).

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков уравнений

х² + у² = 4,

у = 2 – х.

Начертите графики данных уравнений и отметьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

х² + у² = 4 – уравнение окружности,

у = 2 – х – уравнение прямой.

Координаты точек пересечения найдем из системы:

х₁ = 0,  х₂ = 2. 

у₁ = 2,  у₂ = 0.

ОТВЕТ:  (0; 2),  (2; 0).

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей

(х – 1)² + (у – 6)² = 3,

(х + 1)² + у² = 7.

РЕШЕНИЕ:

О₁(1; 6), О₂(–1; 0),  у = kх + b.

b = 3, k = 3,
y = 3x + 3.

Задания к уроку 30

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем