Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 1 ноября 2016 г.

Урок 30. Пересечение прямой и окружности

Рассмотрим вопрос про пересечение прямой с окружностью. Пусть  R – радиус окружности и  d – расстояние от центра окружности до прямой. Возьмём центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, – за ось  х. Тогда уравнением окружности будет 

х2 + у2 = R2,

а уравнение прямой 

х = d.

Прямая и окружность пересекаются, если система двух уравнений

х2 + у2 = R2,  х = d

имеет решения. И наоборот, любое решение этой системы даёт координаты  х, у  точки пересечения прямой с окружностью.

Решив нашу систему, получим:
Из выражения для  у  видим, что система имеет два решения, то есть:
– окружность и прямая пересекаются в двух точках, если  R > d.
Система имеет одно решение, если:
– прямая и окружность касаются, если  R = d.
Система не имеет решений, если:
– прямая и окружность не пересекаются, если  R < d.
ПРИМЕР:

Найдите точки пересечения окружности 

х2 + у2 = 1 

и прямой  

у = 2х + 1.

РЕШЕНИЕ:

Так как точки пересечения лежат на окружности и прямой, то их координаты удовлетворяют систему уравнений:

х2 + у2 = 1,  у = 2х + 1.

Решим эту систему. Подставим  у  из второго уравнения в первое. Получим уравнение с  х:

5х2 + 4х = 0.

Уравнение имеет два корня:

х1 = 0,  х2 = –0,8. 

Это абсциссы точек пересечения. Ординаты этих точек получим из уравнения прямой, подставив в него  х1  и  х2. Получим:

у1 = 1,  у2 = –0,6.

Точки пересечения прямой и окружности будут:

(0; 1),  (–0,8; –0,6)

ПРИМЕР:

Найдите координаты точек пересечения окружности

х2 + у2 = 20

и прямой

у = х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдем из системы:
х1 = 4,  х2 = –2. 

у1 = 2,  у2 = –4.

ОТВЕТ:  (4; 2),  (–2; –4).

ПРИМЕР:

Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений

х2 + у2 = 25

у = 2х – 5.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдем из системы:
х1 = 4,  х2 = 0. 

у1 = 3,  у2 = –5.

ОТВЕТ:  (4; 3),  (0; –5).

ПРИМЕР:

Найдите координаты точек пересечения окружности

х2 + у2 = 10

и прямой

у = х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдем из системы:
ОТВЕТ:  (3; 1),  (–1; –3).

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков уравнений

х2 + у2 =9,

х = у – 3.

Начертите графики данных уравнений и отметьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

х2 + у2 = 9 – уравнение окружности с центром  О(0; 0)  радиусом  3,

х = у – 3 – уравнение прямой.

Координаты точек пересечения найдем из системы:
х1 = 0,  х2 = –3. 

у1 = 3,  у2 = 0.

ОТВЕТ:  (0; 3), (–3; 0).
ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков уравнений

х2 + у2 = 4,

у = 2 – х.

Начертите графики данных уравнений и отметьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

х2 + у2 = 4 – уравнение окружности,

у = 2 – хуравнение прямой.

Координаты точек пересечения найдем из системы:
х1 = 0,  х2 = 2. 

у1 = 2,  у2 = 0.

ОТВЕТ:  (0; 2),  (2; 0).
ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей

(х – 1)2 + (у – 6)2 = 3,

(х + 1)2 + у2 = 7.

РЕШЕНИЕ:

О1(1; 6), О2(–1; 0),  у = kх + b.
b = 3, k = 3,
y = 3x + 3.

Задания к уроку 30
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий