Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений

Задачи на смешивание (смеси, растворы, сплавы) очень часто встречаются на практике, и, как показывает опыт, вызывают некоторые трудности при решении. Условно разделяют два вида задач на смешивание:

– задачи на смешивание первого рода;

– задачи на смешивание второго рода.

К задачам первого роду относятся задачи, в которых дано количество смешиваемых растворов (сплавов) и их процентные концентрации (пробы), а необходимо найти процентную концентрацию (пробу) полученной смеси (сплава).

Задачи на смешивание первого  роду ещё иначе называются задачами на нахождение среднего арифметического, или задачами на среднее взвешенное. Распространёнными задачами на смешивание первого рода это задачи на нахождение средней цены, средней температуры, средней скорости, среднего часа и другие. В этих задачах необходимо определить “цену” смеси по данным “ценам” и количеством отдельных сортов (слово “цена” тут употребляется в широком смысле). Поэтому, речь идёт про нахождение среднего арифметического некоторой суммы слагаемых, взятых группами (говорят также “среднее взвешенное”). Искомым может быть не только среднее арифметическое, а и цена одного из сортов. Известные задачи на нахождение среднего арифметического нескольких чисел есть отдельные случаи названных выше задач.

В условиях задач на растворы фигурирует термин концентрация. Необходимо пояснить значение этого понятия.

Концентрацией раствора называется количество (масса или объём) растворённого вещества, которое содержится в некотором количестве (массы или объёму) раствора.

Процентной концентрацией раствора называется выражение в процентном отношении массы растворённого вещества  n  к массе всего раствору  m:

Концентрацию раствора можно выразить не только в процентах, а и в частях. Говорят, например, что концентрация соли в морской воде равна  ¹/₂₀  (по массе).

Промилле – это одна тысячная часть числа, или десятая часть процента. Обозначается так:  ‰ 

‰ = 0,001;    
‰ = 0,1%

Сплав можно рассматривать как раствор, в котором один из компонентов (любой) будет растворителем, а второй растворённым веществом. Среди задач на сплавы отдельное место занимают задачи на “пробы”.

Проба – это количество граммов чистого золота (серебра, латуни и т. д.) в одном килограмме сплава. Так, золото  875 пробы – это сплав, 1000 г  в котором содержится  875 г  чистого золота.

Следует обратить внимание на основную зависимость между количеством веществ, взятых до смешивания и полученных после смешивания, которую часто применяют, решая задачи на смешивание. Эту зависимость часто формулируют так:

Количество веществ, взятых до смешивания, равно количеству этих веществ, полученных после смешивания.

ПРИМЕР:

Если к раствору, в котором  находится  m  граммов соли, долить воды, то и в полученном растворе будет  m  граммов этой соли.

Если смешать два раствора, в одном из которых будет  m, а во втором  n  граммов соли, то в полученном растворе будет  m + n  граммов этой соли.

Общая масса смеси всегда равна сумме масс их составных частей.

В задачах на смешивание (сплавы) обычно речь идёт про массы  m_1, m₂,…, их процентную концентрацию (пробу)  p₁, p₂,…, а также про массу  m  и концентрацию (пробу) полученной смеси (сплава)  p. В этом случае всегда правильным считается соотношение:

m₁p₁ + m₂p₂ = (m₁ + m₂)p. 

Если в задаче известны значения  m₁, m₂,  p₁, p₂  и необходимо определить  p, то это задача на смешивание первого рода. Её можно решить за формуле:

При решении задач не обязательно пользоваться готовой формулой. Можно постепенно делать расчёты, связанные с определением массы растворённого  вещества, пользуясь понятием концентрации. Решая задачи на концентрацию кислот и сплавов, необходимо помнить, что крепость кислоты или спирта обычно выражается в сотых долях, или процентах, которые в этом случае называются градусами.

Решение задач путём последовательных вычислений.

ЗАДАЧА:

Сплавили  180 г  золота  920-й  пробы со  100 г  752-й  пробы. Какой пробы получился сплав ?

РЕШЕНИЕ:

В первом слитке чистого золота было  0,92  от  180 г, т. е. 

180 × 0,92 = 165,6 (г).

Во втором слитке чистого золота было  0,752  от  100 г, т. е.

100 × 0,752 = 75,2 (г).

Следовательно, в полученном сплаве чистого золота содержится:

164,6 + 75,2 = 240,8 (г).

Общий вес сплава равен

180 + 100 = 280 (г).

Его проба равна

ОТВЕТ:

Получен сплав  860  пробы.

ЗАДАЧА:

К  2 кг  воды прибавили  8 кг  70-процентного раствора серной кислоты. Определить процентную концентрацию полученного раствора.

РЕШЕНИЕ:

Сначала определим, сколько в растворе чистой (безводной) кислоты

8 кг × 0,7 = 5,6 кг.

Найдём вес раствора

2 кг + 8 кг = 10 кг.

Теперь найдём процентную концентрацию раствора

5,6 кг : 10 кг = 0,56 = 56%.

ОТВЕТ:

Концентрация получившегося раствора  56%.

Если количество кислоты выражено не в килограммах, а в литрах, то подобные задачи можно решать только с помощью таблиц удельных весов растворов серной кислоты.

ЗАДАЧА:

К  2 л  воды прибавили  8 л  70-процентного раствора серной кислоты. Определить процентную концентрацию полученного раствора.

РЕШЕНИЕ:

В таблице находим удельный вес  70-процентного раствора серной кислоты. Он равен  1,6. Следовательно, 8 л  этого раствора весят

1,6 × 8 = 12,8 (кг).

Безводной кислоты в нм содержится

12,8 × 0,7 = 8,96 (кг).

Концентрация раствора равна

8,96 : 14,8 ≈ 0,6 = 60%.

ОТВЕТ:  60%

Задания к уроку 38

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем