Урок 8. Системі нелінійних нерівностей

ВИДЕО УРОК

Декілька нерівностей з однією змінною можуть утворити систему.

Рішенням системи нерівностей з однією змінною називаються значення змінної, при яких кожна з нерівностей звертається у вірну числову нерівність.

Отже, щоб вирішити систему нерівностей з однією змінною, необхідно вирішити кожну нерівність, а потім знайти їх загальне рішення.

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вирішимо першу нерівність

х² ≤ 9,

х² – 9 ≤ 0,

(х – 3)(х + 3) ≤ 0.

Його рішення

–3 ≤ х ≤ 3.

Вирішуємо другу нерівність

х ˃ 0.

Його рішення очевидне. Зображуватимемо на числовій прямій безліч чисел, що задовольняють першому і другому нерівностям,

Звідки витікає, що обидві нерівності вірні при

0 < х ≤ 3.

ВІДПОВІДЬ:

х ∈ (0; 3]

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ: 

Вирішуємо методом інтервалів першу нерівність.

Точки  3  и  –1 <<виколоті>>, оскільки знаменник містить множники

(х – 3)  і  (х + 1),

які не можуть дорівнювати  0.

Перша нерівність має рішення

х < –1  и  х ˃ 3.

Вирішуємо методом інтервалів другу нерівність, його рішення

–4 ≤ х < 4.

Знайдемо перетин цих великих кількостей.

ВІДПОВІДЬ:

–4 ≤ х < –1,

3 < х ≤ 4.

ПРИКЛАД:

Вирішити подвійну нерівність:

–1 < х² + х < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вирішити подвійну нерівність – це означає вирішити систему нерівностей, що відповідає йому.

В даному випадку система нерівностей виглядає так:

1) Вирішимо першу нерівність

–х² – х – 1 < 0.

Многочлен, що стоїть в лівій частині нерівності, не можна розкласти на множники, оскільки рівняння

–х² – х – 1 = 0

не має коренів

(D = –3 < 0).

Це означає, що квадратний тричлен

(–х² – х – 1)

при усіх значеннях  х  має постійний знак, а саме негативний (по знаку першого коефіцієнта). Таким чином, рішення цієї квадратної нерівності є

х ∈ (–∞; +∞).

2) Вирішимо другу нерівність

х² + х < 0,

х(х + 1)< 0.

х ∈ (–1; 0). 

3) Знайдемо перетин отриманих великих кількостей

ВІДПОВІДЬ:  (–1; 0)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця система рівносильна наступною:

Безліч  Е₁  рішень першої нерівності цієї системи складається з точок числової прямої, що лежать поза відрізком

[–2, 0],

тобто  Е₁ – об'єднання проміжків

(–∞, –2)  і  (0, +∞).

Безліч  Е₂  рішень другої нерівності - інтервал довжини  8  з центром в точці  1, тобто

Е₂ = (–3, 5).

Безліч  Е  рішень початкової системи - загальна частина (перетин) безлічі  Е₁  і  Е₂.

Отже, безліч  Е – об'єднання інтервалів

(–3, –2)  і  (0, 5)

ВІДПОВІДЬ: 

–3 < х < –2, 0 < х < 5

ПРИКЛАД:

Вирішити нерівність:

(2х – 1)(|х + 1| – |х – 3|) < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця нерівність рівносильно сукупності двох систем нерівностей:

Безліч  Е₁  рішень першої системи – перетин проміжків

х ˃ ¹/₂  и  х < 1, тобто  Е₁ = (¹/₂, 1).

Безліч  Е₂  рішень другої системи – перетин проміжків

х < ¹/₂  і  х ˃ 1,

загальних точок, що не мають. Тому друга система рішень не має.

ВІДПОВІДЬ:  ¹/₂ < х < 1

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця система рівносильна системі

Рішенням першої нерівності цієї системи є усі числа великої кількості

(–∞; ¹/₇),

а другого – усі числа великої кількості

[–¹/₂; 1].

Перетином цих великих кількостей є множина

[–¹/₂; ¹/₇).

Отже, рішення початкової системи є усі числа з проміжку

[–¹/₂; ¹/₇).

ВІДПОВІДЬ:  [–¹/₂; ¹/₇)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця система рівносильна системі

Рішенням другої нерівності цієї системи є усі числа великої кількості

[–¹/₂; ³/₂].

Нерівність

рівносильне нерівності

рішенням якого є множина

[–1; 0) ∪ (0; 1].

Таким чином, рішенням початкової системи нерівностей є перетин знайдених великих кількостей

тобто множина

[–¹/₂; 0) ∪ (0; 1].

ВІДПОВІДЬ: 

[–¹/₂; 0) ∪ (0; 1]

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вирішимо кожну нерівність системи, використовуючи метод інтервалів.

Перша нерівність.

х² – х – 20 < 0.

Знайдемо корені квадратного тричлена, що стоїть в лівій частині нерівності:

х₁ = 5,  х₂ = –4.

Нанесемо їх на числову вісь.

Розставимо знаки. Для цього візьмемо число, більше більшого кореня і підставимо замість  х  в ліву частину нерівності.

Візьмемо, наприклад число  10.

10² – 10 – 20 ˃ 0,

Отже, в найправішому проміжку ставимо  <<+>>. Оскільки усі корені непарної кратності, знаки міняються під час переходу через корені.

Нас цікавлять ті значення невідомого, при яких ліва частина нерівності менше  0.

Друга нерівність.

х² – 2х – 8 < 0

Знайдемо корені квадратного тричлена, що стоїть в лівій частині нерівності:

х₁ = 4,  х₂ = –2.

Нанесемо їх на числову вісь.

Розставимо знаки. Для цього візьмемо число, більше більшого кореня і підставимо замість  х  в ліву частину нерівності.

Візьмемо, наприклад число  10.

10² – 20 – 8 ˃ 0,

Отже, в найправішому проміжку ставимо  <<+>>. Оскільки усі корені непарної кратності, знаки міняються під час переходу через корені.

Нас цікавлять ті значення невідомого, при яких ліва частина нерівності менше  0.

Третя нерівність.

2х² + х – 45 < 0.

Знайдемо корені квадратного тричлена, що стоїть в лівій частині нерівності:

х₁ = 4,5,  х₂ = –5.

Нанесемо їх на числову вісь.

Розставимо знаки. Для цього візьмемо число, більше більшого кореня і підставимо замість  х  в ліву частину нерівності.

Візьмемо, наприклад число  10.

10² – 20 – 8 ˃ 0,

Отже, в найправішому проміжку ставимо  <<+>>. Оскільки усі корені непарної кратності, знаки міняються під час переходу через корені.

Нас цікавлять ті значення невідомого, при яких ліва частина нерівності менше  0.

Тепер поєднаємо на одній числовій осі рішення трьох нерівностей:

Ми бачимо, що три <<стрілки>>, що зображують рішення усіх трьох нерівностей, проходить над відрізком  (–2; 4) – це і є рішення нашої системи нерівностей.

ВІДПОВІДЬ: 

(–2; 4)

Завдання до уроку 8

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Числові нерівності
• Урок 2. Властивості числових нерівностей
• Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
• Урок 4. Числові проміжки
• Урок 5. Лінійні нерівності
• Урок 6. Системи лінійних нерівностей
• Урок 7. Нелінійні нерівності
• Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
• Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
• Урок 11. Нерівність з модулем
• Урок 12. Ірраціональні нерівності
• Урок 13. Нерівності з двома змінними
• Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
• Урок 15. Наближені обчислення
• Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність