Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 30 сентября 2021 г.

Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції

ВІДЕО УРОК

Зміна тригонометричних функцій зі зміною кута від 0° до 90°.

Розглянемо коло довільного радіуса з центром в точці А.

Нехай радіус АВ становить з радіусом АD гострий кут α:

∠ DАВ = α.

Опустимо з точки В перпендикуляр ВС на АD. З прямокутного трикутника АВС маємо:

Будемо обертати радіус АВ навколо центру А так, щоб кут змінювався від 0° до 90°. На кресленні зафіксовано кілька положень рухомого радіуса:

АВ₁, АВ₂, АВ₃, …

Побудуємо відповідні цим положенням радіусу прямокутні трикутники:

∆ АВ₁С₁, ∆ АВ₂С₂, ∆ АВ₃С₃ ...

Гіпотенузи всіх цих трикутників, незалежно від величини кута α, рівні радіусу взятої окружності, катети ж зі зростанням кута α будуть змінюватися. Катет, протилежні кутку α, буде збільшуватися зі зростанням кута α, а катет прилегла, – зменшуватися. Звідси робимо висновок, що синус гострого кута α зі зростанням кута α від 0° до 90° зростає, а косинус – убуває.

Щоб простежити за зміною тангенса гострого кута, візьмемо прямокутний трикутник АВС
з гострим кутом α.

Нехай катет АС залишається незмінним, а кут α збільшується від 0° до 90°. При зростанні кута α протилежні йому катет збільшується

(АВ₁ < АВ₂ < АВ < АВ₃ …),

отже, зростає і tg α так як катет АС залишається без зміни.

Значення функції сtg α є числами зворотними по відношенню до відповідних значень функції tg α, і так як останній зі зростанням кута α від 0° до 90° зростає, то, отже, функція сtg α зі зростанням гострого кута зменшується.

Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції за допомогою гострого кута.

З визначення sin α і cos α слід, що синус і косинус гострого кута α – позитивні числа, менші одиниці.

0 < sin α < 1,

0 < cos α < 1,

де α – гострий кут.

Яке б не було позитивне число у, менше одиниці, існує, і до того ж тільки один, гострий кут α, синус якого дорівнює у:

sin α = у.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, синус якого дорівнює ³/₄.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На довільній прямій відкладемо відрізок DЕ = 3.
Через точку Е проводимо пряму ЕF ⊥ DЕ. Побудуємо коло радіуса 4 з центром в точці D.
Нехай К – точка перетину цієї окружності з прямою ЕF. Тоді кут ЕКD – шуканий кут α, так як синус його дорівнює
Яке б не було позитивне число x, менше одиниці, існує, і до того ж тільки один, гострий кут α, косинус якого дорівнює х:

соs α = х.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, косинус якого дорівнює ²/₅.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На довільній прямій відкладемо відрізок ВС = 2.
Через точку С проводимо пряму СМ ⊥ ВС. Побудуємо коло радіуса 5 з центром в точці В.
Нехай А – точка перетину цієї окружності з прямою СМ. Тоді косинус кута АВС дорівнює
Отже, кут АВС – шуканий кут α.

Яке б не було позитивне число р, існує, і до того ж тільки один, гострий кут α, тангенс якого дорівнює р:

tg α = р.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, тангенс якого дорівнює ²/₃.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На одній стороні прямого кута МОN,
наприклад на ОМ, відкладаємо від вершини Про відрізок ОА = 3, а на іншій стороні – відрізок ОВ = 2. З'єднуємо точки А і В. Тангенс кута ОАВ дорівнює ²/₃, отже кут ОАВ = α.

Яке б не було позитивне число q, існує, і до того ж тільки один, гострий кут α, котангенс якого дорівнює q:

ctg α = q.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, котангенс якого дорівнює 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На сторонах прямого кута LKM,
відкладаємо відрізки КА і КС, з яких, наприклад, перший (КА) в три рази більше другого (КС). З'єднуємо точки А і С. Котангенс кута КАС дорівнює 3, отже кут КАС = α.

Вираз тригонометричних функцій через одну з них за допомогою гострого кута.

ПРИКЛАД:

Знайдемо значення синуса, косинуса, тангенса й котангенс кута

^2π/₃.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точки
неважко знайти, скориставшись властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°.

Тому
Аналогічно знаходять значення синуса, косинуса, тангенса й котангенса кутів, зазначених у верхньому рядку такої таблиці:

Значення синуса, косинуса, тангенса та котангенса деяких кутів.
Покажемо на прикладі, як знаходяться наближені чисельні значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс для якого-небудь кута.

ПРИКЛАД:

Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кута 48°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо за допомогою лінійки і транспортира кут α, що дорівнює 48°. На одній стороні цього кута від його вершини А
відкладемо відрізок АВ, що дорівнює, наприклад, 67 мм. З точки В на іншу сторону кута α опустимо перпендикуляр ВС. Ми отримали прямокутний трикутник АВС, у якого ∠ ВАС = 48°. Вимірявши катети ВС і АС, знайдемо:

ВС ≈ 49 мм,

АС ≈ 45 мм.

тоді маємо:

sin 48° ≈ ⁴⁹/₆₇ ≈ 0,73,

cos 48° ≈ ⁴⁵/₆₇ ≈ 0,67,

tg 48° ≈ ⁴⁹/₄₅ ≈ 1,09,

ctg 48° ≈ ⁴⁵/₄₉ ≈ 0,92.

Таким же шляхом можна знайти наближені значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс будь-якого гострого кута.

При цьому ступінь наближення буде залежати тільки від точності наших вимірів.

Побудова кута за данім значення його тригонометричної функції за допомогою одиничної окружності.

ЗАДАЧА:

Побудувати кут (дугу) α, синус якого дорівнює m.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Розглянемо три випадки.

Нехай |m| < 1.

В координатній площині хОу будуємо одиничне коло. На осі ординат знаходимо точку, що відповідає числу m. Через цю точку проводимо пряму, паралельну до осі абсцис, і точки перетину її з одиничним колом позначимо через А і В.
З’єднавши точки А і В з початком координат, одержуємо кути АОх і ВОх, синуси яких дорівнюють m. Ці кути визначаються не однозначно. Позначимо найменший додатний ∠ АОх, що визначається кінцевою стороною АО, через а₁, а найменший додатний ∠ ВОх, що визначається кінцевою стороною ОВ, через а₂. Тоді шуканий кут α визначається за рівностями

α = α₁ + 2πn і α = α₂ + 2πn

де n = 0; ±1; ±2; …

Нехай |m| = 1.

Тобто m = ±1, то прямі, проведені через точки (0; 1) і (0; –1) перпендикулярно до осі ординат, дотикатимуться до одиничного кола в точках, що відповідають найменшим додатним кутам

а шуканий кут α визначається за формулами

де n = 0; ±1; ±2; …

Нехай |m| ˃ 1.

То пряма, проведена перпендикулярно до осі ординат через точку (0; m), не перетинає одиничного кола.

У цьому випадку задача розв’язків не має.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких соs α = ³/₄.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На позитивній осі Ох відкладаємо від точки Про відрізок, рівний ³/₄ радіуса одиничному колі.
Для цього ділимо радіус ОЕ₁ на чотири рівні частини і відкладаємо на ньому від центру відрізок ОР, рівний трьом таким частинам. Відновимо в точці Р перпендикуляр до осі Ох до перетину його з одиничною окружністю в точках М і М'. Шукані кути – це кути, складені з віссю Ох будь-яким з побудованих рухомих радіусів ОМ або ОМ'. На кресленні зазначено лише два кути, косинус кожного з яких дорівнює ³/₄.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких соs α = –³/₄.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відрізок, що дорівнює ³/₄ радіуса одиничному колі, відкладаємо від точки О на негативній півосі Ох, а далі робимо, як в попередньому прикладі. На кресленні
відзначені лише два кути, косинус кожного з яких дорівнює –³/₄.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких sin α = –³/₅.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Введемо на площині прямокутну систему координат.
Ділимо радіус
одиничному колі на п'ять рівних частин, і відкладаємо на ньому від центру відрізок ОК, рівний трьом таким частинам. Через точку К проводимо пряму, паралельну діаметру
до перетину з одиничною окружністю. Отримаємо точки М і М ', ординати яких дорівнюють –³/₅.
Поєднуючи ці точки з початком координат, отримаємо радіуси ОМ і ОМ'. Синус будь-якого з кутів, складених з віссю Ох будь-яким з радіусів ОМ або ОМ', дорівнює –³/₅. На кресленні
відзначені два таких кута.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких tg α = 1,5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На осі тангенсів від одиничної точки Е₁ відкладаємо в позитивному напрямку відрізок Е₁Т, в 1,5 рази більший радіуса кола.
Якщо через точку Т і центр кола О провести пряму, то вона перетне одиничне коло в точках М і М'. Це – кінці рухомих радіусів, що утворюють з позитивним напрямком осі Ох кути, тангенси яких дорівнюють 1,5. На кресленні
відзначені два таких кута.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких сtg α = –¹/₂.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На осі котангенсів від Е₂ відкладаємо в негативному напрямку відрізок Е₂К, рівний половині радіуса кола.
Через кінець цього відрізка К і центр кола О проводимо пряму, що перетинає одиничну окружність в точках М и М'. Це – кінці рухомих радіусів, що утворюють з позитивним напрямком осі Ох кути, котангенс яких дорівнюють –¹/₂. На кресленні
відзначені два таких кута.

Геометричний висновок значень тригонометричних функцій.

Його корисно запам'ятати, так як часто доводиться знаходити значення sin α і соs α за значенням tg α.

ПРИКЛАД:

tg α = ²/₃.