Р1, Р2, …, Рn …
Преобразования подобия, которое переводит тело Т в тело Т' переводит пирамиды
Р1, Р2, …, Рn в пирамиды Р1', Р2', …, Рn'.
Эти пирамиды составляют тело Т' и поэтому объём тела Т' равен сумме объёмов пирамид
Р1', Р2', …, Рn'.
Так как пирамиды Р1' и Р1 подобны и коэффициент подобия равен k, то и отношение их высот равно k, а отношение площадей их оснований равно k2. Поэтому, отношение объёмов пирамид равно k3. Так как тело Т состоит из пирамид Р1, а тело Т' состоит из пирамид Р1', то отношение объёмов тел Т' и Т тоже равно k3.
ЗАДАЧА:
Объём конуса равен
16. Через середину высоты параллельно основанию конуса
проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной.
Найдите объём меньшего конуса.
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ: 2
ЗАДАЧА:
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости
достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 54
мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд ?
РЕШЕНИЕ:
R/2 – радиус основания конуса, чей объём занимает жидкость, так как треугольники АОD и АВС подобны и коэффициент подобия равен 2. Отсюда:Объём же конуса естьЗначит долить нужно
432 – 54 = 378 (мл).
2 способ
Можно рассуждать и так:
Отсечённый конус, образовавшийся при пересечении
исходного конуса плоскостью параллельной основанию и пересекающей высоту конуса
посередине, подобен исходному с коэффициентом подобия
1 : 2.
Значит, объём исходного конуса есть 8
объёмов отсечённого конуса (объёмы подобных тел находятся в
отношении k3, где k –
коэффициент подобия). Стало быть, на усечённый конус
приходится 7 объёмов отсечённого (малого) конуса. То есть объём усечённого конуса (а значит объём жидкости, что нужно долить) есть
7 ∙ 54 = 378.
ОТВЕТ: 378 мл
ЗАДАЧА:
В усечённой треугольной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно боковому ребру. В каком отношении разделится объём усечённой пирамиды, если соответствующие стороны оснований пропорциональны числам 1 : 3 ?
РЕШЕНИЕ:
A1B1ML ∥ CC1, ОО1 = Н.
Если соответствующие стороны оснований пропорциональны
числам 1 : 3,
то площади оснований будут пропорциональны числам 1 : 9.
S1 –
площадь ∆
А1В1С1,
V1 = 1/3
H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2)
=
= 1/3
H (S1 + 9S1 + √͞͞͞͞͞S1∙9S1) = 1/3 H (13S1).
V2 –
объём наклонной призмы А1В1С1LMC:
V2 = S1
∙ H.
V3 –
объём фигуры, которая осталась:
V3
= V1
–
V2
= 1/3
H
(13S1) – S1
∙ H =
или
Составляя производную пропорцию, получим:
С учётом V1 – V2 = V, находим:
откуда:
ОТВЕТ:
SАВС, SА'В'С', SA1B1C1 –
подобные.
SАВС, SА'В'С' и SA1B1C1
соответственно Va, Vx, Vb. Тогда:
где t – некоторое число, которое обозначает величину этих отношений. Тогда:
Задания к уроку 19
- Урок 1. Единицы измерения объёмов
- Урок 2. Объём прямой призмы
- Урок 3. Объём наклонной призмы
- Урок 4. Объём правильной призмы
- Урок 5. Объём прямого параллелепипеда
- Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда
- Урок 7. Объём прямоугольногопараллелепипеда
- Урок 8. Объём куба
- Урок 9. Объём пирамиды
- Урок 10. Объём правильной пирамиды
- Урок 11. Объём усечённой пирамиды
- Урок 12. Объём цилиндра
- Урок 13. Объём конуса
- Урок 14. Объём усечённого конуса
- Урок 15. Объём шара и его частей
- Урок 16. Тела вращения
- Урок 17. Комбинации тел (2)
- Урок 18. Правильные многогранники
Комментариев нет:
Отправить комментарий