воскресенье, 28 июля 2019 г.

Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів

ВІДЕО УРОК

Тригонометричні функції кутів

0 (0°), π/2 (90°), π (180°), 3π/2 (270°).

Візьмемо прямокутну систему координат. візьмемо точки  Е1(1, 0)  і  Е2(0, 1)
і точки
симетричні точкам  Е1  і  Е2  щодо початку координат.

Візьмемо кут  α = 0 (або 0°). Цьому кутку відповідає рухливий  ОЕ1, так як один з кутів, складених радіусом  ОЕ1  с віссю  Ох, дорівнює нулю. Координати точки  Е1  рівні:

х = 1, у = 0,

тому

sin 0 = sin 0° = у = 0,

cos 0 = cos 0° = х = 1,

tg 0 = tg 0° = у/х = 0/1 = 0,

сtg 0  або  сtg 0° не існує.

Візьмемо кут  α = π/2 (або 90°). Цьому кутку відповідає рухомий радіус  ОЕ2, так як один з кутів, утворених з віссю  Ох  рухомим радіусом  ОЕ2, дорівнює  π/2 (або 90°).

координати точки  Е2  рівні:

х = 0, у = 1,

тому

sin π/2 = sin 90° = у = 1,

cos π/2 = cos 90° = х = 0,

tg π/2  або  tg 90° не існує,

сtg π/2 = сtg 90° = х/у = 0/1 = 0.

Візьмемо кут  α = π (або 180°). Цьому кутку відповідає рухомий радіус
так як один з кутів, утворених з віссю  Ох  рухомим радіусом
дорівнює  π (або 180°).
Координати точки
рівні:

х = –1, у = 0,

тому

sin π = sin 180° = у = 0,

cos π = cos 180° = х = –1,

tg π = сtg 180° = у/х = 0/-1 = 0,

сtg π  або  сtg 180° не існує.

Нарешті, розглянемо кут  α = 3π/2 (або  270°). Цьому кутку відповідає рухомий радіус
так як один з кутів, складених з віссю  Ох  рухомим радіусом
дорівнює  3π/2 (або 270°).
Координати точки
рівні:

х = 0, у = –1,

тому

sin 3π/2 = sin 270° = у = –1,

cos 3π/2 = cos 270° = х = 0,

tg 3π/2  або  tg 270° не існує,

сtg 3π/2 = сtg 270° = х/у = 0/-1 = 0.

Підсумок дан в наступній таблиці:
В силу того, що функції  sin α  і  cos α  періодичні і їх періодом є число  2π (або  360°), можна до кожного з розглянутих кутів

0, π/2, π, 3π/2

Додавати  2kπ, де  k – будь-яке ціле число, і від такого додавання значення відповідної тригонометричної функції не зміниться.

Таким чином:

1. Функція  sin α.

sin 2kπ = 0  або  sin 360° k = 0,

sin (π + 2kπ) = 0  або  sin (180° + 360° k) = 0.

sin kπ = 0  або  sin 180° k = 0,

де  k – будь-яке ціле число.

Далі:

sin (π/2 + 2kπ) = 1  або  sin (90° + 360° k) = 0,

sin (3π/2 + 2kπ) = –1  або  sin (270° + 360° k) = –1.

2. Функція  cos α.

cos (π/2 + 2kπ) = 0  або  cos (90° + 360° k) = 0,

cos (3π/2 + 2kπ) = 0  або  cos (270° + 360° k) = 0.

Ці співвідношення можна об'єднати в одне:

cos (π/2 + kπ) = 0  або  cos (90° + 180° k) = 0,

де  k – будь-яке ціле число.

Далі:

cos 2kπ = 1  або  cos 360° ∙ k = 1,

cos (2kπ + π) = –1  або 

cos (360° ∙ k + 180°) = –1.

В силу того, що періодом функцій  tg α  і  сtg α  є число  π (або 180°), маємо:

3. Функція  tg α.

tg kπ = 0  або  tg 180° ∙ k = 0,

де  k – будь-яке ціле число.

4. Функція  сtg α.

сtg (π/2 + kπ) = 0  або  сtg (90° + 180° k) = 0,

сtg kπ  або  сtg 180° ∙ k,

де  k – будь-яке ціле число, не існує,

Тригонометричні функції кутів  30°, 45°  і  60°.

Візьмемо кут. Побудуємо прямокутний трикутник  АВС, один з гострих кутів якого, наприклад кут  А, дорівнює  30°.
Як відомо з геометрії, в прямокутному трикутнику з гострим кутом  30°  гіпотенуза в два рази більше катета, що лежить проти кута  30°. Тому, вважаючи цей катет рівним  а, отримаємо, що гіпотенуза  с = 2а, а отже, інший катет
Знаходимо всі тригонометричні функції кута  30°.
Візьмемо тепер кут  45°  і знову побудуємо прямокутний трикутник  АВС, один з гострих кутів якого дорівнює  45°.
Прямокутний трикутник, один з кутів якого дорівнює  45°, – рівнобедрений:

a = b,

а тому зі співвідношення

c2 = a2 + b2

знаходимо:

c2 = 2a2,

звідки

с = а√͞͞͞͞͞2.

Отже,
Але  а = b, тому
Далі, так як  а = b, то тангенс і котангенс рівні  1.

tg 45° = ctg 45° = 1.

Кут  60°  є додатковим для кута  30°, тому:
Результати записані в наступній таблиці:
ПРИКЛАД:

Обчислити без використання калькулятора і таблиць:

сos 405°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

сos 405° = сos (360° + 45°) =
ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Обчислити без використання калькулятора і таблиць:

sin 1020°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin 1020° = sin (360° 3 – 60°) =
ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Обчислити без використання калькулятора і таблиць:

tg 930°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

tg 930° = tg (180° 5 + 30°) =
ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Обчислити:
Урахувавши парність (непарність) тригонометричних функцій, одержимо:
ВІДПОВІДЬ:  1,5

Завдання до уроку 9
Інші уроки: