Урок 5. Логарифмічні перетворення

Перехід від даної основи до іншої.

Якщо треба перейти від логарифмів з основою  а  до логарифмів з основою  b, користуються такою тотожністю:

Множник

називають модулем переходу.

Дуже часто в логарифмічних перетвореннях користуються також такими формулами:

ПРИКЛАД:

Що більше ?

log₄ 3    log₁₆ 9.

Використовуючи формулу

одержуємо

ПРИКЛАД:

Обчислити

Знаючи, що

Логарифмування.

Про логарифмувати вираз – значить виразити його логарифм через логарифми окремих чисел, що входить у цей вираз. Це можна зробити, використовуючи теореми про логарифм добутку, частки, степеня та кореня.

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

Логарифм частки (дробу) дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника.

Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм його основи.

Логарифм кореня дорівнює частці від ділення логарифма підкореневого числа на показник кореня.

Треба мати на увазі, що логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів, тобто не можна замість

log (a + b)

писати

log a + log b.

Не можна також замість

log (a – b)

писати

log a – log b.

Всі сформульовані вище теореми справедливі для додатних значень  а  і  b.

ПРИКЛАД:

Прологарифмувати вираз:

x = 3bc,

log x = log 3 + log b + log c.

ПРИКЛАД:

Прологарифмувати вираз:

log x = log a – log bc =

log a – (log b + log c) =

log a – log b – log c.

ПРИКЛАД:

Прологарифмувати вираз:

x =  a³b²,

log x = log a³ + log b²

= 3log a + 2log c.

ПРИКЛАД:

Прологарифмувати вираз:

ПРИКЛАД:

Прологарифмувати вираз:

log 15 + 2log p + ¹/₄ [log 2 + 2log p +3log (p – q)]

= log 15 + 2log p + ¹/₄ log 2 + ¹/₂ log p + ³/₄ log (p – q)

= log 15 + ⁵/₂ log p + ¹/₄ log 2 + ³/₄ log (p – q).

ПРИКЛАД:

Прологарифмувати вираз:

log x =

¹/₂ log a + ¹/₄ log a + ¹/₈ log a – ¹/₉ log a

= ³¹/₇₂ log a.

Потенціювання.

Якщо за даним результатом логарифмування знаходять вираз, з якого одержано цей результат, то таку операцію називають потенціюванням.

ПРИКЛАД:

Потенціювати вираз:

ПРИКЛАД:

Потенціювати вираз:

log x =

log b – ¹/_m log (b – с) + m log (b + с).

Завдання до уроку 5

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Показникова функція
• Урок 2. Показникові рівняння
• Урок 3. Показникові нерівності
• Урок 4. Логарифм числа
• Урок 6. Логарифмічна функція
• Урок 7. Логарифмічні рівняння
• Урок 8. Логарифмічні нерівності
• Урок 9. Системи показникових і логарифмічних рівнянь

Завдання 3. Логарифм числа

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Логарифм числа

 1. Обчисліть:

 а)  7;            
 б)  1;     

 в)  у + 1;      
 г)  0.

 2. Значення якого виразу є від’ємним числом ?

 а)  5^-0,5;     

 б)  log_0,5 5;     

 в)  log₅ 1;     

 г)  log_0,5 0,1.

 3. Чому дорівнює значення виразу

log₅ (25b),

якщо  log₅ b ?

 а)  125;      
 б)  3;     

 в)  7;          
 г)  30.

 4. Знайдіть значення виразу:

 а)  2;        
 б)  1;            

 в)  ¹/₂;      
 г)  –1.

 5. Чому дорівнює значення виразу ?

 а)  20;     

 б)  10;     

 в)  5;        

 г)  log₂ 10.

 6. Порівняйте основу логарифма з одиницею, якщо:

 а)  а > 1;     

 б)  а = 1;     

 в)  а < 1;     

 г)  порівняти неможливо.

 7. Обчисліть значення виразу:

 а)  4;      
 б)  3;     

 в)  2;      
 г)  6.

 8. Знайдіть значення виразу:

log₃ ¹/₂₇.

 а)  3;         
 б)  –3;     

 в)   ¹/₃;      
 г)  9.

 9. Яка рівність є правильною ?

10. Обчисліть:

lg 10000.

 а)  4;       
 б)  10;     

 в)  1;       
 г)  0.

11. Обчисліть:

log₉ 27.

 а)  0,5;      
 б)  3;     

 в)  1,5;      
 г)  2.

12. Обчисліть:

log_0,2 625.

 а)  5;         
 б)  –4;     

 в)  0,5;      
 г)  1.

Завдання 2. Логарифм числа

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Логарифм числа

 1. Обчисліть:

log_0,5 4.

 а)  1;      
 б)  –4;     

 в)  –2;      
 г)  5.

 2. Обчисліть:

log_0,5 8.

 а)  –3;      
 б)  2;     

 в)  8;        
 г)  –4.

 3. Обчисліть:

 а)  3;        
 б)  –х;     

 в)  –3;     
 г)  х.

 4. Обчисліть:

log₆ 36.

 а)  6;       
 б)  –2;     

 в)  2;      
 г)  –6.              

 5. Обчисліть:

log₁₇ ¹/₁₇.

 а)  17;      
 б)  –1;     

 в)  1;        
 г)  –17.

 6. Обчисліть:

log₁₉ 1.

 а)  0;        
 б)  1;     

 в)  19;      
 г)  2.

 7. Обчисліть:

log₅ 5.

 а)  0;        
 б)  5;     

 в)  –1;      
 г)  1.

 8. Значення якого виразу є ірраціональним числом ?

 9. Значення якого з виразів є додатним числом ?

10. Чому дорівнює значення виразу ?

log₃ 27.

 а)  2;      
 б)  3;     

 в)  4;      
 г)  9.

11. Обчисліть значення виразу:

log_0,2 25.

 а)  –2;      
 б)  125;     

 в)  0,5;      
 г)  –0,5.

12. Укажіть множину всіх значень  х, при яких є правильною рівність

log_а х² = 2log_а |х|.

 а)  (0; +∞);     

 б)  (–∞; 0);     

 в)  (–∞; 0)∪ (0; +∞);     

 г)  ∅.

Завдання 1. Логарифм числа

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Логарифм числа

 1. Провірте правильність рівності:

log₃ 27 = 3.

 а)  ;      
 б)  так;     

 в)  ;      
 г)  ні.

 2. Провірте правильність рівності:

 а)  так;      
 б)  ;    

 в)  ні;          
 г)  .

 3. Провірте правильність рівності:

log_0,2 0,008 = 3.

 а)  ;      
 б)  ні;     

 в)  ;      
 г) так.

 4. Обчисліть:

log₂ 4.

 а)  4;      
 б)  1;     

 в)  2;      
 г)  8.              

 5. Обчисліть:

log₂ 0,5.

 а)  10;      
 б)  –1;     

 в)  1;        
 г)  5.

 6. Обчисліть:

log₃ 3.

 а)  1;      
 б)  3;     

 в)  9;      
 г)  0.

 7. Обчисліть:

log₃ 81.

 а)  3;      
 б)  9;     

 в)  1;      
 г)  4.

 8. Обчисліть:

log₃ 1.

 а)  3;      
 б)  0;     

 в)  1;      
 г)  2.

 9. Обчисліть:

log₃ 9.

 а)  3;      
 б)  1;     

 в)  2;      
 г)  9.

10. Обчисліть:

log_0,5 2.

 а)  –1;      
 б)  2;     

 в)  1;        
 г)  0,1.

11. Обчисліть:

log_0,5 1.

 а)  1;      
 б)  0,5;     

 в)  0;      
 г)  2.

12. Обчисліть:

log_0,5 0,5.

 а)  0,5;      
 б)  1;     

 в)  2;         
 г)  0,25.