Задание 2. Объёмы подобных тел

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Объёмы подобных тел

 1. Укажите неверное утверждение.

 а)  если каждое ребро одной правильной четырёхугольной призмы в два раза больше соответствующего ребра другой правильной четырёхугольной призмы, то объём первой призмы в восемь раз больше объёма второй призмы;     

 б)  если каждое ребро одной правильной треугольной призмы в два раза больше соответствующего ребра другой правильной треугольной призмы, то объём первой призмы в восемь раз больше объёма второй призмы;     

 в)  если высоты двух четырёхугольных пирамид равны и каждое ребро основания одной из них в два раза больше соответствующего ребра основания другой, то отношение объёмов этих пирамид равно двум;

 г)  если каждое ребро одной треугольной пирамиды в два раза больше соответствующего ребра другой треугольной пирамиды, то отношение объёмов этих пирамид равно восьми.     

2. Усечённая пирамида  АВСА₁В₁С₁  получена сечением пирамиды  SАВС  плоскостью, параллельной основанию и делящей её боковое ребро в отношении  1 : 2 (считая от вершины). Найдите объём полученной усечённой пирамиды, если объём пирамиды  SАВС  равен  V.

 а)  ²/₃V;

 б)  ⁷/₈V;

 в)  ⁸/₉V;

 г)  ²⁶/₂₇V.

 3. Объём конуса равен  V. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  ¹/₂V;

 б)  ⁷/₈V;     

 в)  ³/₄V;

 г)  ⁵/₆V.

 4. Укажите верное утверждение.

 а)  если все рёбра одного прямоугольного параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого прямоугольного параллелепипеда, то отношение объёмов этих параллелепипедов равно восьми;     

 б)  если все рёбра одного прямого параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого прямого параллелепипеда, то отношение объёмов этих параллелепипедов обязательно равно восьми;     

 в)  если все рёбра одного наклонного параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого наклонного параллелепипеда, то отношение их объёмов обязательно равно восьми;

 г)  если рёбра одной треугольной призмы в два раза больше соответствующего рёбер другой треугольной призмы, то отношение их объёмов обязательно равно восьми.

 5. Усечённая пирамида  АВСDА₁В₁С₁D₁  получена сечением пирамиды  SАВСD  плоскостью, параллельной основанию и делящей её боковое ребро в отношении  1 : 3 (считая от вершины  S). Найдите объём полученной усечённой пирамиды, если объём пирамиды  SАВСD  равен  V.

 а)  ³/₄V;

 б)  ⁶³/₆₄V;

 в)  ¹⁵/₁₆V;

 г)  ²⁶/₂₇V.

 6. Объём конуса равен  V. Через точку, делящую высоту конуса в отношении  1 : 2 (считая от вершины)  проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  ²⁶/₂₇V;

 б)  ²/₃V;     

 в)  ⁴/₅V;

 г)  ⁷/₈V.

 7. Треугольная пирамида рассечена плоскостью на два многогранника. Найдите отношение объёмов этих многогранников, если известно, что секущая плоскость делит три ребра, сходящиеся в одной вершине пирамиды, в отношении

1 : 2, 1 : 2, 2 : 1,

считая от вершины.

 а)  20 : 1;

 б)  20 : 2;     

 в)  25 : 2;

 г)  25 : 1.

 8. В треугольной усечённой пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделится объём усечённой пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 

1 : 2 ?

 а)  3 : 4;     

 б)  2 : 3;     

 в)  1 : 4;     

 г)  3 : 5.

 9. Отношение боковых поверхностей двух подобных цилиндров равно  4 : 9. Зная, что разность объёмов равна  38π куб. ед., найдите объёмы цилиндров.

 а)  18π, 56π;

 б)  14π, 52π;     

 в)  12π, 50π;

 г)  16π, 54π.

10. Масса автомобиля  1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе  1 : 60. Определите массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

 а)  4,7 г;

 б)  4,9 г;     

 в)  5,2 г;

 г)  4,5 г.

11. Найдите отношение длин соответствующих рёбер подобных пирамид, если их объёмы относятся как

4 : 9.

12. Эйфелева башня, высотою  300 м, весит  8000000 кг. Сколько должна весить модель этой башни, из того же материала, вышиной  1,5 м ?

 а)  1 кг;

 б)  2 кг;     

 в)  1,5 кг;     

 г)  0,5 кг.

Задание 3. Объём усечённого конуса

 1. Радиусы оснований усечённого конуса равны  2 см  и  8 см, а длины его высоты и образующей относятся как  3 : 5. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  122π см³;

 б)  126π см³;     

 в)  130π см³;

 г)  124π см³.

 2. Радиусы усечённого конуса равны  3 см  и  7 см, образующая  5 см. Найдите объём усечённого конуса. 

 а)  75π см³;

 б)  81π см³;     

 в)  71π см³;

 г)  79π см³.

 3. Радиусы оснований усечённого конуса равны  3 см  и  6 см, объём конуса – 84π см³. Найдите высоту данного конуса.

 а)  4 см;

 б)  2 см;     

 в)  8 см;

 г)  6 см.

 4. Длины радиусов оснований усечённого конуса равны  5 см  и  11 см, а образующая – 10 см. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  532π см³;

 б)  540π см³;     

 в)  536π см³;

 г)  538π см³.

 5. Осевым сечением усечённого конуса является равнобедренная трапеция с основаниями равными  12 см  и  8 см. Высота усечённого конуса равна  7 см. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  551π см³;

 б)  557π см³;     

 в)  561π см³;

 г)  553π см³.

 6. Диагональ осевого сечения усечённого конуса  17 см, его высота  15 см. Проекция образующей на плоскость основания  2 см. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  247π см³;

 б)  249π см³;     

 в)  241π см³;

 г)  245π см³.

 7. В усечённом конусе радиусы оснований составляют  27 см  и  11 см. Образующая относится к высоте  17 : 15. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  11470π см³;

 б)  11490π см³;     

 в)  11420π см³;

 г)  11450π см³.

 8. Радиусы оснований усечённого конуса равны  8 см  и  5 см, а его образующая наклонена к плоскости основания под углом  45°. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  125π см³;

 б)  123π см³;     

 в)  129π см³;

 г)  131π см³.

 9. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как  1 : 3. Образующая конуса равна  4 см  и составляет с плоскостью основания угол  60°. Найдите объём усечённого конуса.

10. Определить объём усечённого конуса, если известно, что отношение площадей его оснований равно  4, а образующая имеет длину, равную  l, и наклонена к плоскости основания под углом  φ.

 а)  ⁷/₆ πl³ sin 2φ cos 2φ;     

 б)  ⁷/₆ πl³ sin 2φ cos φ;     

 в)  ⁷/₆ πl³ sin φ cos φ;     

 г)  ⁷/₆ πl³ sin φ cos 2φ.

11. Образующая усечённого конуса, равная  10 см, наклонена к плоскости основания под углом  60°, а диагональ осевого сечения делит этот угол пополам. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  ¹/₃ 875√͞͞͞͞͞3π см³;

 б)  ¹/₃ 855√͞͞͞͞͞3π см³;     

 в)  ¹/₃ 885√͞͞͞͞͞3π см³;

 г)  ¹/₃ 870√͞͞͞͞͞3π см³.

12. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как  1 : 3, а его образующая равна  4 см  и наклонена к плоскости основания под углом  30°. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  22π см³;

 б)  28π см³;     

 в)  26π см³;

 г)  20π см³.