Урок 11. Площа прямокутної трапеції

среда, 18 января 2017 г.

Урок 11. Площа прямокутної трапеції

ВІДЕОУРОК
Для вимірювання площі прямокутної трапеції можна скористатися формулою вимірювання довільної трапеції. Тільки необхідно враховувати, що висотою буде сторона, перпендикулярна до підстав

Площа прямокутній трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту.

Або добутку середньої лінії на висоту:

де

середня лінія.

ЗАДАЧА:

У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 4 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції.

Нехай АВСD (АD ∥ ВС, СD ⊥ АD) – прямокутна трапеція, у яку вписано коло з центром О.

Е, F, К, Р – точки дотику кола до сторін трапеції.

АР = АЕ = 9 см як дотичні до кола, проведені з однієї точки. Аналогічно

ВF = ВЕ = 4 см,

проведемо ВL ⊥ АD,

ОF ⊥ ВС, ОР ⊥ АD

як радіуси, проведені до дотичних.

Отже, FР ⊥ АD, звідки

LР = ВF = 4 см, АL

= АР – ВF =

= 9 – 5 = 4 см.

З трикутника АВL:

ОР = ОF як радіуси кола.

РОКD і ОFСК – квадрати, у яких спільна сторона ОК, тому

СК = КD = ¹/₂ ВL

= ¹/₂12 = 6 см.

Звідси FС = РD = 6 см.

Отже, ВС = ВF + FС =

= 4 + 6 = 10 см.

АD = АР + РD =

= 9 + 6 = 15 см.

S = ¹/₂ (ВС + АD)×СD =

= ¹/₂ (10 + 15)×12

= 150 см².

ЗАДАЧА:

Основи прямокутної трапеції дорівнюють 24 см і 16 см, а діагональ є бісектрисою її гострого кута. Обчисліть площу трапеції.

Нехай АВСD (АD ∥ ВС, АВ ⊥ АD) – трапеція,

АD = 24 см, ВС = 16 см,

DВ – бісектриса кута D, СК – висота трапеції.

∠ ADB = ∠ CDB, бо

DВ – бісектриса кута D,

∠ ADB = ∠ DBC,

бо АD ∥ ВС і DВ – січна.

Отже, ∠ DBC = ∠ CDB і трикутник ВСD – рівнобедрений,

СD = СВ = 16 см,

КD = АD – АК

= АD – ВС

= 24 – 16 = 8 см.

З трикутника СКD (∠К = 90°) маємо:

S = ¹/₂(АD + ВС)× СК

= ¹/₂(24 + 16)× 8√͞3

= 160√͞3 см².

ЗАДАЧА:

Більша діагональ прямокутної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 9 см, а більша бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайдіть площу трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСD – прямокутна трапеція (АВ ⊥ ВС, АВ ⊥ АD),
∠ ВСD – тупий. Тоді СК – висота, проведена з вершини цього кута, ділиться діагоналлю ВD на відрізки

СМ = 15 см, МК = 9 см.

Оскільки за умовою ВС = СD, то трикутник ВСD – рівнобедрений. Тоді

∠ СВD = ∠ СDВ (1).

Прямі ВС і АD паралельні, тому

∠ СВD = ∠ ВDА (2)

як внутрішні різносторонні при січній ВD. З рівностей (1) і (2) одержимо, що ∠ СDВ = ∠ ВDА. Отже, DВ – бісектриса ∠ СDА трапеції.

З трикутника СDК за властивістю бісектриси одержимо:

Нехай СD = 5х, тоді DК = 3х.

З ∆ СDК (∠ К = 90°):

СD² = СК² + КD²,

25х² = 24² + 9х²,

16х² = 24², 4х = 24,

х = 6 см.

Одержимо:

СD = 5 ∙ 6 = 30 (см),

DК = 3 ∙ 6 = 18 (см).

ВС = СD = 30 см,

АD = АК + КD =

= ВС + КD =

= 30 + 18 = 48 (см).

S_тр. = ¹/₂ (АD + ВС) ∙ СК =

= ¹/₂ (30 + 48) ∙ 24 = 78 ∙ 12 = 936 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 936 см²

ЗАДАЧА:

У прямокутну трапецію АВСD (АD ∥ ВС, АВ ⊥ АD) вписано коло з центром в точці О. Знайдіть площу трапеції, якщо

ОС = 6 см, ОD = 8 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Зрозуміло, що ∆ СОD прямокутний з катетами 6 см і 8 см. Тоді СD = 10 см. Точка К – точка дотику дотичної СD до кола.

ОК ⊥ СD, ОК = R,

ВС = R + МС (МС = КС),

АD = R + ND, (ND = КD),

S_ABCD = ВС∙ АD,

2S_∆COD = ОС∙ ОD =

= СD∙ R,

6 ∙ 8 = 10∙ R,

R = 4,8 см.

Застосовуємо метричні співвідношення в прямокутному ∆ СОD:

ОС² = СD∙ СК,

36 = 10∙ СК,

СК = МС = 3,6 см.

Тоді КD = ND =

= 10 – 3,6 = 6,4 (см).

S_ABCD = (4,8 + 3,6) ∙ (4,8 + 6,4) = 94,08 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 94,08 (см²)

Завдання до уроку 11

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 18 января 2017 г.