Урок 13. Центр тяжести и центр масс

ВИДЕО УРОК

Центр тяжести.

Центр тяжести имеется у каждого тела.

ПРИМЕР:

Возьмём длинную линейку и подвесим её на нити, обвязав петлёй так, чтобы петлю можно было перемещать по линейке. Меняя положение петли, добьёмся, чтобы линейка пришла в равновесие, то есть, чтобы ни одна ни другая её часть не перевешивала. В этом случае говорят, что линейка подвешена в центре тяжести. Равновесие линейки можно добиться также, положив её на какую-нибудь опору, например карандаш или палец.

Если тело подвесить в центре тяжести, то оно будет находиться в равновесии.

Что такое центр тяжести и как его можно отыскать ?

Тяжестью, или весом, обладает не только тело в целом, но и каждая его часть. Очевидно, что общий вес тела является суммой весов всех составляющих его частиц. Вес каждой частицы тела приложен непосредственно к самой частице, вес же всего тела приложен к точке, которая называется центром тяжести тела.

Как же найти положение центра тяжести в различных телах ?

ОПЫТ:

Возьмём кусок картона, какой угодно формы, и повесим его на гвоздь вместе с отвесом.

На кусок картона, находящийся в подвешенном состоянии, действуют две силы: сила тяжести, приложенная в центре тяжести картона, и сила, которая удерживает картон на гвозде. Так как картон находится в покое, действующие на него силы взаимно уравновешиваются, то есть они равны по величине и направлены по вертикали в противоположные стороны.

Отсюда можно сделать заключение, что точки приложения сил – центр тяжести и точка подвеса – лежат на одной вертикальной прямой, отмечаемой отвесом.

Проведём на куске картона вертикальную линию по отвесу. Затем подвесим картон за другую точку и снова проведём по отвесу вертикальную линию. Сколько бы мы ни проводили таким способом линий, на каждой из них будет находиться центр тяжести, поэтому они все пересекутся в одной точке – центре тяжести.

Как это проверить ?
Возьмём карандаш, и остриё его поместим под найденный нами центр тяжести – картон окажется в равновесии.

Можно подвесить кусок картона на нити, укрепив её вцентре тяжести, – картон тоже будет находиться в равновесии.

Во время опыта мы несколько раз меняли положение куска картона, но центр тяжести его оставался в одной и той же точке.

Следовательно, при любом положении тела центр тяжести его находится в одной и той же точке.

Центр тяжести шара, например, лежит в его геометрическом центре,

У параллелепипеда он находится в точке пересечения диагоналей,

У цилиндра – на середине линии, соединяющей центры его оснований.

Иногда центр тяжести может находиться и вне тела, например, в кольце он лежит на пересечении диаметров. Это можно проверить на опыте, подвесив кольцо за точку пересечения нитей, расположенных по диаметрам кольца.

Кольцо будет находиться в равновесии.

Центр масс.

Изучая движение тел под действием различных сил, мы не обращали внимания на то, что тела имеют размеры. Определяя ускорение тел, мы считали их материальными точками.

Такое упрощение верно, если тело движется поступательно. Выясним, к какой точке тела должна быть приложена сила для того, чтобы его ускоренное движение было действительно поступательным.

ОПЫТ:

Возьмём широкую линейку. Прикрепим к её концу в точке  А  нить и потянем за эту нить с некоторой силой

в направлении, перпендикулярном оси линейки.

Линейка при этом повернётся. При таком повороте разные точки линейки проходят различные пути и движутся с различными скоростями, то есть их движения неодинаковы и линйка движется не поступательно.
Изменим теперь направление силы: будем тянуть линейку вдоль её длинной стороны вправо.

Теперь линейка движется так, что скорости и перемещения всех её точек одинаковы. Линейка совершает поступательное движение. Если сила

не уравновешена другими силами, тело движется с ускорением. Нетрудно убедиться в том, что если нить прикреплена к точке  А, то существует только одна прямая, вдоль которой должна быть направлена сила

чтобы она вызвала ускоренное поступательное движение линейки. При действии силы вдоль любой другой прямой линейка будет поворачиваться.
Можно изменить направление силы на противоположное, прикрепив нить к точке  В.

Движение линейки опять будет поступательным. Значит, важно лишь положение прямой, вдоль которой действует сила (линия действия силы). Прикрепим теперь нить в какой-нибудь другой точке линейки, например в точке  С.

Будем опять менять направления натяжения нити (на рисунке некоторые направления показаны прямыми, исходящими из точки  С). Снова убедимся в том, что линейка совершает поступательное движение только в том случае, если сила направлена вдоль некоторой определённой прямой. На рисунке это направление силы показано красной линией. При всех других направлениях силы, приложенной к точке  С, линейка будет непременно поворачиваться. Прикрепляя нить к другим точкам линейки, можно убедиться в том, что в каждой точке есть одно направление силы, при котором линейка движется поступательно, без поворотов. На рисунке

показано, как должны быть направлены силы, при движении в разных точках линейки, чтобы она двигалась поступательно. Опыт показывает, что прямые линии, вдоль которых действуют эти силы, сходятся в одной точке  О.

Подобные опыты с разными телами приводят нас к важному выводу о том, что для каждого тела существует такая точка, в которой пересекаются направления действия сил, сообщающих телу ускоренное поступательное движение. Эта точка получила название центр масс. Всякая же сила, которая действует вдоль прямой линии, не проходящей через центр масс, вызывает поворот тела.

Центром масс тела называют точку пересечения прямых, вдоль которых должны быть направлены силы, чтобы тело двигалось поступательно.

В опыте с линейкой легко убедиться в том, что центр масс совпадает с точкой пересечения диагоналей. Но это только в том случае, если линейка однородна (изготовлена из одного материала), имеет правильную форму и одинаковую толщину. Если бы, например, она была изготовлена наполовину из дерева, а наполовину из стали, центр масс находился бы где-то в стальной половине, то есть ближе к той части, которая имеет большую массу.

Положение центра масс определяется, как показывает опыт, тем, как распределена масса по его объёму.

Центр масс может оказаться и вне тела. Ясно, например, что поступательное движение однородного обруча

Возможно только в том случае, если приложенные к нему силы направлены по радиусам. Линии действия таких сил сходятся, конечно, в геометрическом центре обруча. Там и находится его центр масс.

Если различные части обруча изготовлены из разных материалов, то центр масс может и не совпадать с геометрическим центром обруча. Тогда его нужно искать опытным путём. Существуют способы вычисления координат центра масс, но они трудны, а иногда вычисление и невозможно.

Но зачем нужно знать положение центра масс ? дело в том, что если тело движется поступательно под действием одной силы или нескольких сил, то это значит, что эта сила или равнодействующая всех сил проходит через центр масс тела.

Центр масс тела в этом случае движется так, как будто в нём сосредоточена вся масса тела и к нему приложены все силы, действующие на тело. Поэтому, когда мы видим, что тело движется с ускорением поступательно, то это значит, что равнодействующая сил, приложенных к телу, проходит через его центр масс, как будто в центре масс сосредоточена вся масса тела, а ускорение тела – это ускорение центра масс.

Частным случаем поступательного движения является движение тела под действием силы тяжести, если, конечно, оно не было приведено во вращение до начала падения. Но сила тяжести действует на все точки тела. И если под действием всех этих сил тело движется поступательно, то это значит, что их равнодействующая при любом положении тела проходит через его центр масс. Поэтому центр масс часто называют центром тяжести тела.

ЗАДАЧА:

В цилиндрический стакан наливают воду. При каком положении уровня воды в стакане центр тяжести стакана с водой занимает наинизшее положение ?

РЕШЕНИЕ:

Предположим, что центр тяжести стакана расположен так, как показано на рисунке.

Это значит, что верхняя часть стакана весит столько же, сколько нижняя. Начнём добавлять воду в стакан. Сначала уровень воды в стакане мал – то есть мы увеличиваем вес нижней части стакана. Если нижняя часть становится <<влиятельнее>>, следовательно, центр тяжести системы смещается вниз. Он будет расположен где-то между центром тяжести воды и центром тяжести пустого стакана. Возможное место расположения центра тяжести системы показано рыжей линией.

Затем нальём воды ровно по уровень центра тяжести пустого стакана.

Центр тяжести системы расположен где-то между центром тяжести воды и центром тяжести пустого стакана, потому что пока мы утяжелили только нижнюю часть стакана. И утяжелили её до предела: если наливать воду дальше, то вес этой воды уже будет увеличивать вес верхней половины стакана.
Снова прибавим воды. Теперь утяжеляется уже верхняя часть, следовательно, центр тяжести смещается выше.

Наконец, видно, что дальнейшее прибавление количества воды будет <<сдвигать>>центр тяжести всё выше и выше.

Но по-прежнему центр тяжести системы расположен между центром тяжести воды и стакана.

ОТВЕТ:

Центр тяжести стакана с водой занимает одно из возможных наинизших положений, пока уровень воды не сравняется с центром тяжести пустого стакана.