Урок 7. Второй закон Ньютона

ВИДЕО УРОК

Выясним, какой величиной можно выразить силу, или, как говорят, какая величина служит мерой силы, действующей на тело.

Очевидно, что эта величина должна быть одинаковой для всех тел, ускоряемых одной и той же силой.

Найти такую величину можно только из опыта. Опыт должен состоять в том, чтобы под действием одной и той же силы (безразлично, какой именно) привести в ускоренное движение различные тела и найти величину, характеризующую ускоряемое тело, которая одинакова для всех тел.

Для проведения опыта нужно выбрать тело, которое действует на все другие тела с одинаковой силой. Таким телом может служить упруго деформированное тело, например растянутая или сжатая пружина, в которой действует сила упругости (опыт показывает, что других тел, обладающих таким свойством, в природе нет).

Сила упругости отличается от всех других сил той замечательной особенностью, что она зависит только от взаимного расположения частей одного и того же тела – растянутой пружины, а не взаимодействия её с другими телами. Поэтому сила упругости растянутой пружины не изменится, когда к ней будет прикреплено любое тело. На любое тело, прикреплённое к растянутой на определённую длину пружине, действует одна и та же сила упругости пружины. Поэтому опыт сводится к тому, чтобы тело, прикреплённое к пружине, привести в ускоренное движение.

Удобнее всего, наблюдать за ускоренным движением тел по окружности, то есть когда они движутся с центростремительным ускорением. Поэтому воспользуемся центробежной машиной.

ОПЫТ:

Поместим тело  М  в виде алюминиевого цилиндра с просверленным по его оси отверстием на стержень центробежной машины.

Прикрепим к цилиндру конец пружины, а другой её конец закрепим на раме машины в точке  А.

Приведём машину во вращение. Тогда цилиндр  М  начнёт скользить по стержню, удаляясь от точки  А  и растягивая тем самым пружину. Не будь пружины, цилиндр дошёл бы до упора в точке  В. Но вследствие силы упругости растянутой пружины цилиндр, удалившись несколько от оси вращения (на расстоянии  х), станет двигаться по окружности радиусом  r.

Центростремительное ускорение цилиндра  М  направлено по радиусу к центру. Вдоль радиуса направлена и ось пружины. Следовательно, ускорение цилиндра  М  направлено вдоль оси пружины так же, как и сила упругости. Ясно, что эта сила и сообщает цилиндру центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение по абсолютному значению равно:

где  ω – угловая скорость вращения машины. Измерив угловую скорость  ω  и радиус  r, найдём модуль ускорения

Заменим теперь алюминиевый цилиндр точно таким же по размерам стальным цилиндром, массой в три раза большей. Приведём машину снова во вращение и подберём такую скорость этого вращения, чтобы растяжение пружины было таким же, каким оно было при вращении цилиндра из алюминия. Тогда и сила, действующая на стальной цилиндр, будет такой же.

Опыт показывает, что в этом случае угловая скорость вращения машины будет в  √͞͞͞͞͞3  раз меньше. Это значит, что ускорение стального цилиндра в  3  раза меньше, чем алюминиевого. Направлено это ускорение по-прежнему вдоль оси пружины (по радиусу окружности к центру). Выходит, что при увеличении массы тела втрое, ускорение, сообщаемое телу одной и той же силой, сохраняет своё направление, а по абсолютному значению уменьшается в  3  раза.

Отсюда следует, что произведение массы тела на его ускорение для обоих тел одно и то же.

Можно провести этот опыт со множеством других тел самых различных масс. Он покажет, что при одном и том же растяжении пружины, то есть при одной и той же силе, произведение массы тела на его ускорение для всех тел одно и то же.

Мы нашли величину, одинаковую для различных тел, на которые действует одна и та же сила. Значит, произведение массы тела на его ускорение выражает силу, действующую на тело.

Если обозначить силу, действующую на тело, через

ускорение тела через

а его массу через  m, то можно написать:

Но, может быть, это верно только для силы упругости растянутой пружины и к другим силам не относится ? Чтобы ответить на этот вопрос, проведём ещё один опыт.

ОПЫТ:

Возьмём ту же пружину, но расположим её вертикально, закрепив верхний конец неподвижно.

К нижнему концу пружины подвесим груз известной массы  m.

Мы увидим, что пружина растянется, а груз будет находиться в покое (после нескольких колебаний).
На груз теперь действуют одновременно две силы: сила тяжести со стороны Земли и сила упругости со стороны растянутой пружины. Не будь пружины, груз под влиянием Земли падал бы свободно вниз с ускорением

направленным по вертикали вниз. Но ускорение груза равно нулю. Это означает, что растянутая пружина сама по себе тоже сообщила бы грузу ускорение

(направленное вертикально вверх). Значит, сила тяжести

и сила упругости

действующие на груз, равны по абсолютному значению и противоположны по направлению:

Но сила упругости, действующая на тело, как мы только что выяснили, равна произведению массы на ускорение, которое она ему сообщает, то есть

Значит, сила тяжести

равная

будет равна:

Так мы установили, что сила тяжести тоже равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое ему этой силой.

Опыты, подобные рассмотренным выше, и многие другие позволили Ньютону

сформулировать один из важнейших законов механики – второй закон Ньютона.

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение.

Математически второй закон Ньютона выражается формулой

Во всех опытах скорости и ускорения измерялись относительно инерциальной системы отсчёта. Следовательно, второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчёта.

Из второго закона Ньютона следует, что действующие на тело силы определяют его ускорение, то есть изменение скорости, а не саму скорость движения тела. Поэтому направление ускорения всегда совпадает с направлением действующей силы. Направление же скорости, а следовательно, и перемещения может и не совпадать с направлением действующей силы. Так, например, сила может быть всё время направлена перпендикулярно скорости движения тела. В этом случае движение происходит по окружности, а ускорение, так же как и сила, направлено по радиусу, поведенному от движущегося тела к центру. Так двигалось тело под действием силы упругости в центробежной машине.

Если тело взаимодействует не с одним, а с несколькими телами, то на него действует не одна, а несколько сил, причём силы <<не мешают>> друг другу сообщать телу, на которое они действуют, своё ускорение. Поэтому ускорение, которое сообщает телу все совместно действующие на него силы, будет такое же, какое сообщала бы ему одна сила, равная сумме всех этих сил. Так как сила – величина векторная, то под суммой всех сил надо понимать векторную сумму. Такая сумма называется равнодействующей всех приложенных к телу сил. И в формуле

выражающей второй закон Ньютона, под

нужно понимать равнодействующую всех сил, действующих на тело.

ПРИМЕР:

На качелях, известных под названием <<гигантские шаги>>, на человека действуют одновременно две силы:

сила

– со стороны Земли, направленная вниз, и сила

– со стороны каната, направленная вдоль каната. Под действием двух сил <<пассажир>> движется по окружности вокруг столба, к которому прикреплён канат. Значит, ускорение направлено к центру окружности, а не вдоль силы

Из рисунка видно, что к центру окружности направлена и сила

которая равна геометрической сумме сил

<<Пассажир>>, следовательно, движется так, как будто бы на него действуют не две силы:

а всего одна – их равнодействующая

Векторная сумма сил, действующих на тело, может быть равна и нулю. Тогда ускорение тела тоже будет равно нулю, и тело будет либо покоиться, либо двигаться прямолинейно и равномерно.

ПРИМЕР:

В подвешенном на шнуре шарике компенсация тел состоит в том, что силы, с которыми на шарик действуют шнур и Земля, противоположны по направлению и равны по абсолютному значению

поэтому их равнодействующая равна нулю.

На рисунке

Показан случай, когда нулю равна равнодействующая, то есть векторная сумма, не двух, а трёх сил:

действующих на тело (фонарь).

Пользуясь понятием силы, можно дать другую формулировку первого закона Ньютона.

Существуют системы отсчёта, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно или находится в покое, если равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю.

Из формулы

выражающей второй закон Ньютона, видно, в каких единицах измеряется сила.

Сила, равна единице, если, действуя на тело, масса которого равна единице, она сообщит ему ускорение, равное единице.

В СИ за единицу силы принимается сила, которая телу массой  1 кг  сообщает ускорение  1 м/cек². Эту единицу называют ньютоном (сокращенно: Н):

В системе СГС за единицу силы принимается сила, в  10⁵  раз меньшая ньютона. Она сообщает телу массой  1 г  ускорение  1 см/сек². Эту единицу силы называют диной.

1 Н = 10⁵ дин.

ПРИМЕР:

Сила тяжести, действующая на тело массой  1 кг, вблизи поверхности Земли равна:

F = 1 кг × 9,8 м/сек² =

9,8 Н = 9,8 × 10⁵ дин.

ЗАДАЧА:

К концам нити, перекинутой через укреплённый неподвижный блок, подвешены грузы массами  m₁ = 95 г  и  m₂ = 105 г. Более тяжёлый груз вначале поднят в верхнее положение, а затем отпущен. Определить, на каком расстоянии от верхнего положения будет находиться тяжёлый груз через  t = 2 сек ?

РЕШЕНИЕ:

Освобождённый груз массой  m₂  придёт в равноускоренное движение; одновременно с ним придёт в равноускоренное движение груз массой  m₁. Грузы начали движение из состояния покоя, поэтому путь, пройденный грузом (одним – вверх, а другим – вниз), определяется по формуле пути равноускоренного движения без начальной скорости, то есть по формуле:

Ускорение  а, по второму закону Ньютона, равно

где  F – сила, равная разности весов гирь, то есть

F = P₂ – P₁ = (m₂ – m₁)g,

а  m = m₂ + m₁ – масса движущейся системы, тогда

Искомое расстояние:

ОТВЕТ:  h = 0,98 м

Если при решении подобных задач в числитель и знаменатель или в правую и левую части равенства входят в качестве множителей величины одного наименования в одной и той же степени, то их можно не переводить в ту систему единиц, в которой решается задача, а брать в любых, но одинаковых единицах, так как их наименования взаимно сократятся.

Задания к уроку 7   

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Урок 6. Маса і щільність речовини

ВИДЕО УРОК

Інертність, яку має кожне тіло, – одно з найважливіших його властивостей, тому що від неї залежить прискорення тіла в результаті його взаємодії з іншими тілами.

Всяка властивість тіл виражається певною величиною.

Властивість тіл займати частину простору виражається його об'ємом.

Властивість тіл, яка названа інертністю, теж виражається особою величиною. Такої величиною є маса.

Те з двох взаємодіючих тіл, яке отримує менше прискорення, тобто більше інертно, має велику масу. Якщо позначити маси взаємодіючих тіл через  m₁  і  m₂, то можна припустити, що

Відношення абсолютних значень прискорень двох взаємодіючих тіл рівно зворотному відношенню їх мас.

ПРИКЛАД:

Відношення прискорення алюмінієвого циліндра до прискорення сталевого рівно трьом. Це викликано тим, що маса алюмінієвого циліндра в три рази менше маси сталевого циліндра.

Щоб знайти відношення мас двох тіл треба виміряти їх прискорення при взаємодії.

Для визначення маси окремого тіла потрібно поступити також як і при вимірі інших величин. Для визначення числа, що виражає довжину тіла потрібно порівняти її з еталоном довжини – метром.

Таким же способом визначають чисельні значення мас; щоб знайти число, що виражає масу окремого тіла, треба спочатку вибрати яке-небудь тіло, масу якого умовно приймають за одиницю, – еталон маси. Потім провести досвід. У цьому досвіді тіло, маса якого визначається (вимірюється), повинне якось взаємодіяти з еталоном маси. Схема такого досвіду показана на малюнку.

Тоді обоє вони, і тіло, і еталон, дістануть прискорення, які можна виміряти, і тоді можна написати рівність

або

де

– маса і прискорення тіла, а

– маса і прискорення еталону. Але маса еталону дорівнює одиниці, тому

Маса тіла – це величина, інертність, що виражає його. Вона визначає відношення прискорення еталону маси до прискорення тіла при їх взаємодії.

На Міжнародному конгресі в 1889 р. як еталон маси була прийнята маса спеціально виготовленого циліндра із сплаву платини і іридію. Маса цього циліндра і є міжнародна одиниця маси – кілограм (скорочено: кг). Еталон маси зберігається в Міжнародному бюро заходів і вагів (Франція). У деяких інших країнах є копії цього еталону. З достатньою точністю можна вважати, що масу в  1 кг  має  1 л  чистої води при  15°С.

Маса разом з такими величинами, як довжина і час, входить до числа основних величин систем одиниць СИ і СГС. У системі СГС за одиницю маси береться грам (скорочено: г): 

1 г = 0,01 кг.

Одним із способів виміру маси – зважування, яким зазвичай і користуються.

Ваги – прилад для виміру маси тіл. Дія важільних вагів ґрунтована на порівнянні гравітаційного тяжіння зважуваного тіла і гравітаційного тяжіння гир до Землі.

Але в деяких випадках визначення маси по прискореннях при взаємодії являється єдино можливим способом. Не можна, наприклад, зважуванням виміряти масу планет, зірок і інших небесних тіл. На вагах не можна також вимірювати дуже малі маси, наприклад маси атомів і часток, з яких вони складаються.

Маса тіла виражає його власну властивість (інертність), яка не залежить ні від того, в яких взаємодіях тіло бере участь, ні від того, як воно рухається. Що б з тілом не відбувалося, де б воно не знаходилося, як би воно не рухалося, маса його залишається однією і тією ж.

Про одну цікаву і важливу властивість маси можна дізнатися, якщо поставити наступний досвід.

ДОСВІД:

З'єднаємо разом два однакові алюмінієві циліндри і помістимо у відцентрову машину.

Тепер сталевий циліндр взаємодіє не з одним, а з двома сполученими разом алюмінієвими циліндрами. Досвід показує, що відношення прискорення сполучених разом двох алюмінієвих циліндрів до прискорення сталевого циліндра рівне не  3, а  ³/₂. Це означає, що маса двох однакових циліндрів, сполучених разом і що стали як би одним тілом, удвічі більше маси одного з них.

Отже, коли два або декілька тіл з'єднуються в одно, їх маси складаються.

Із-за цієї властивості маси іноді говорять, що маса виражає собою і кількість речовини в тілі. Ясно адже, що в двох алюмінієвих циліндрах удвічі більше алюмінію, чим в одному.

Основні властивості маси.

– маса – скалярна величина, отже, інертні властивості тіл однакові на всіх напрямках.

– маса не залежить від характеру руху точки.

– маса не залежить від фізичних умов, в яких знаходиться тіло (від температури довкілля, від наявності електромагнітних або гравітаційних полів).

– маса – величина аддитивна, тобто маса складеного тіла дорівнює сумі мас його частин.

Закон збереження маси.

Маса замкнутої системи залишається незмінною при будь-яких механічних процесах, що відбуваються в цій системі.

Маса Землі.

Масу Землі не можна виміряти, поклавши її на ваги. Але її можна вичислити, користуючись формулою для прискорення вільного падіння:

Звідси для величини маси Землі отримуємо:

Чисельні значення

були свого часу визначені досвідченим шляхом:

і

Середній радіус Землі теж добре відомий:

R = 6370 км = 6,37 × 10⁶ м.

Підставляючи чисельні значення

в формулу для  М, отримаємо:

Маса Землі дорівнює майже шести мільйонам мільярдів мільярдів кілограм !

Маса місяця.

Як приклад того, як визначають масу тіл по їх прискореннях при взаємодії, знайдемо масу місяця по її взаємодії із Землею.

Про те, що Земля впливає на рух місяця, відома усім. Саме під впливом Землі місяць рухається навколо Землі по колу радіусом біля  384 000 км.

Зазвичай вважають, що місяць звертається навколо Землі так, як ніби центр Землі є нерухомий центр місячної орбіти. Але цього не може бути, тому що при взаємодії тіл прискорення отримують обидва взаємодіючі тіла. Насправді і місяць впливає на Землю, примушуючи її рухатися по колу і повідомляючи їй доцентрове прискорення. Але навколо якого центру ?

Астрономічні спостереження показали, що місяць звертається не навколо центру Землі, а навколо деякої точки  Р,

яка знаходиться від центру Землі на  4700 км. (Ця точка знаходиться усередині земної кулі.) Навколо цієї ж точки  Р  рухається по колу центр Землі.

Значить, радіуси, що сполучають центри Землі і Місяці з точкою  Р, рухаються з однаковою кутовою швидкістю навколо точки  Р. Центр Землі рухається по колу  радіусом 

r_з ≈ 4700 км,

а центр Місяці – по колу радіусом   

r_л ≈ 380 000 км.

Виходить, що Земля і місяць поводяться абсолютно так само, як алюмінієвий і сталевий циліндр в центрифузі. Оскільки відношення доцентрових прискорень, що повідомляються циліндрами один одному, дорівнює відношенню радіусів кіл, по яких вони рухаються. Так само відношення модулів прискорень місяця

і Землі

дорівнює відношенню радіусів  r_л  і  r_з:

але відношення прискорень взаємодіючих тіл дорівнює зворотному відношенню їх мас, тому

Оскільки 

r_л ≈ 380 000 км, а

r_з ≈ 4700 км, то

Отже, мас місяця в  81  раз менше маси Землі. Маса Землі була визначена. Вона дорівнює  6 × 10²⁴ кг. Тоді

Щільність речовини.

Для порівняння мас різних тіл користуються поняттям щільності.

Кожна речовина займає деякий об'єм. І може виявитися, що об'єми двох тіл рівні, а їх маси різні. В цьому випадку говорять, що щільність цих речовин різна.

Щільність речовини – це величина, вимірювана масою речовини в одиниці об'єму.

Якщо маса тіла  m, а об'єм  V, то щільність тіл

де  p – щільність речовини,

m – маса тіла,

V – об'єм тіла.

Вважаючи в цій формулі  V = 1, отримаємо  p = m. З цього виходить, що щільність речовини чисельно дорівнює масі речовини, що міститься в одиниці об'єму.

Масу тіла по його щільності і об'єму можна вичислити по формулі:

m = p × V.

Об'єм тіла по його масі і щільності можна вичислити по формулі:

Щоб краще запам'ятати ці три формули, їх можна об'єднати в мнемонічний трикутник:

Для знаходження будь-якої з величин треба подумки закрити буквене позначення цієї величини, і отримаємо формулу для її визначення:

За одиницю щільності речовини в системі  СІ  приймається 

1 кг/м³,

а в системі  СГС –

1 г/см³.

Щільність речовини в  

г/см³, кг/дм³  і в   т/м³ 

виражається одним і тим же числом, оскільки збільшення чисельника і знаменника в  1000  разів не змінює відношення.

ПРИКЛАД:

Розглянемо шматок заліза, маса якого дорівнює  1 кг, і шматок дерева, маса якого дорівнює  1 кг. Об'єм дерева більший, ніж об'єм шматка заліза. Щільність дерева менша, ніж щільність заліза (молекули прилягають не так щільно один до одного).

Щільність заліза дорівнює  7900 кг/м³, Це означає, що маса  1 м³  заліза дорівнює  7900 кг.

Щільність води дорівнює  1000 кг/м³, Це означає, що маса  1 м³  води дорівнює  1000 кг.

Виражаючись по-іншому, щільність води дорівнює  1 г/см³, значить, маса  1 см³  води рівна  1 г.

У різних станах щільність речовини різна. Щільність речовин залежить від їх стану і температури. При переході в газоподібний стан щільність усіх речовин зменшується. При переході з твердого стану в рідке щільність більшості речовин також зменшується. Виключення: вода і лід.

ПРИКЛАД:

Щільність розплавленого заліза менше щільності твердого заліза.

Щільність речовини залежить від атмосферного тиску (строго кажучи, від тиску усіх тіл, включаючи атмосферне повітря). При збільшенні тиску щільність усіх речовин зростає.

Щільність речовини залежить від температури: при підвищенні температури зазвичай щільність знижується. Це пов'язано з термічним розширенням, коли при незмінній масі збільшується об'єм.

Щільність речовин може бути різна. Найщільніша речовина не знаходиться на Землі.

ПРИКЛАД:

У космосі щільність білого карлика Сиріуса б (зірка) така велика, що маса сірникової коробки з цієї речовини дорівнювала б  127 тоннам.

Середня щільність речовини – фізична величина, рівна відношенню маси тіла до його об'єму. Якщо тіло однорідне (складається з однієї речовини), то середня щільність тіла дорівнює щільності його речовини.

ЗАДАЧА:

10  відер місткістю  1 л  по самі вінця наповнили медом, маса усього меду дорівнює  14 кг Знайдіть щільність меду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

V = 10 л = 0,01 м³.

m = 14 кг.

ВІДПОВІДЬ:  Щільність меду рівна

ЗАДАЧА:

Латунь складається з  65%  міді і  35%  цинку. Визначте щільність сплаву.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо маса латуні  m, її об'єм  V, то щільність латуні

Об'єм латуні  V  дорівнює сумі об'єму міді

і об'єму цинку

тобто

Підставивши значення об'ємів у формулу для щільності  ρ, отримаємо

 

ВІДПОВІДЬ:  ρ = 8,2 г/см³

Як, знаючи тільки масу, розрахувати щільність ?

– якщо обсяг тіла (речовини) невідомий або не було встановлено жодного явно в умові завдання, то треба його виміряти, вирахувати або дізнатися, використовуючи непрямі (додаткові) дані;

– якщо речовина сипуча або рідке, то воно, як правило, знаходиться в ємності, яка зазвичай має стандартний обсяг; так, наприклад, обсяг бочки зазвичай дорівнює  200 л, обсяг відра – 10 л, обсяг склянки – 200 мл (0,2 л), обсяг столової ложки – 20 мл, обсяг чайної – 5 мл; про обсяг трилітрових і літрових банок не важко здогадатися з їх назви;

– якщо рідина займає не все ємність або ємність нестандартна, то перелийте ee в іншу тару, обсяг якої відомий; якщо подходящее ємності ні, перелийте рідину з допомогою мірній тари (банки, пляшки); у процесі вичерпування рідини просто порахуйте кількість таких кухлів і помножте на обсяг мірній тари;

– якщо тіло має просту форму, то обчисліть його обсяг, використовуючи, відповідні геометричні формули; так, наприклад, якщо тіло має форму прямокутного паралелепіпеда, то його обсяг буде дорівнює твором довжин його ребер;

– якщо тіло має складну геометричну форму, то спробуйте (умовно) розбити його на декілька простих частин, знайдіть обсяг кожної з цих типів і потім додайте отримані результати;

– якщо тіло неможливо розділити на більш прості фігури (наприклад, статуетку), то скористайтеся методикою Архімеда; опустите тіло у воду і виміряйте обсяг витісненої рідини; якщо тіло не тоне, то втопите його за допомогою тонкої палички (дроту);

– якщо обсяг витісненої тілом води порахувати проблематично, то виважте витіснену воду, або знайдіть різниця між початковою та залишилася масою води; при цьому, кількість кілограмів води буде дорівнювати кількістю літрів, кількість грамів – кількістю мілілітрів, а кількість тонн – кількістю кубометрів.