Урок 9. Сила всесвітнього тяжіння

ВИДЕО УРОК

Одна з найважливіших в природі сил – сила гравітації, або сила тяжіння. Вона діє на всі тіла у Всесвіті.

Людині давно вже відома сила, що примушує усі тіла падати на Землю. Але до  XVII ст. вважалося, що тільки Земля має особливу властивість притягувати до себе тіла, що знаходяться поблизу її поверхні.Вперше до висновку про існування сил всесвітнього тяжіння прийшов Ньютон, коли вивчав рух Місяця навколо Землі і планет Сонячної системи навколо Сонця. У 1667 р. Ньютон висловив припущення, що взагалі між усіма тілами діють сили взаємного тяжіння. Він назвав ці сили силами всесвітнього тяжіння.

Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння, тобто формулу для розрахунку сили гравітаційної взаємодії. Згідно з цим законом рух з прискоренням можливо тільки під дією сили. Оскільки тіла, що падають, рухаються з прискоренням, то на них повинна діяти сила, спрямована вниз, до Землі.

Але немає підстав  вважати, що тільки Земля наділена винятковою властивістю притягувати до себе тіла. Чому ж ми не помічаємо взаємного тяжіння між тілами, що оточують нас ? Можливо, це пояснюється тим, сто сили тяжіння між ними занадто малі ?

Ньютону вдалося показати, що сила тяжіння між тілами залежить від мас обох тіл і, як виявилося, досягає помітної величини тільки тоді, коли взаємодіючі тіла (чи хоч би одно з них) мають досить велику масу. Прискорення вільного падіння відрізняється тією особливістю, що воно в цьому місці однаково для усіх тіл, для тіл будь-якої маси. Як пояснити цю властивість ?

Єдине пояснення, яке можна знайти тому, що прискорення не залежить від маси тіла, полягає в тому, що сама сила

з якою Земля притягує тіло, пропорційна його масі  m.
Дійсно, в цьому випадку збільшення маси  m, наприклад, удвічі приведе і до збільшення абсолютного значення сили

теж удвічі, а прискорення, яке дорівнює відношенню

залишиться незмінним. Ньютон і зробив цей єдино правильний висновок: сила всесвітнього тяжіння пропорційна масі того тіла, на яке вона діє. Але ж тіла притягуються взаємно. А за третім законом Ньютона на обидва тіла, що притягуються, діють однакові по абсолютному значенню сили. Значить, сила взаємного тяжіння має бути пропорційна масі кожного з тих, що притягуються тіл. Тоді обидва тіла отримуватимуть прискорення, які не залежать від їх мас.

Якщо сила пропорційна масі кожного зі взаємодіючих тіл, то це означає, що вона пропорційна добутку мас обох тіл.

Від чого ще залежить сила взаємного тяжіння двох тіл ? Ньютон припустив, що вона повинна залежати від відстані між тілами. З досвіду добре відомо, що поблизу Землі прискорення вільного падіння дорівнює  9,8 м/сек²  і воно однакове для тіл, що падають з висоти  1, 10  або  100 м. Але звідси ще не можна зробити висновок, що прискорення не залежить від відстані до Землі. Ньютон вважав, що відлічувати відстані потрібно не від поверхні Землі, а від її центру. Але радіус Землі дорівнює  6400 км. Зрозуміло тому, що декілька десятків або сотень метрів над поверхнею Землі не можуть помітно змінити прискорення вільного падіння.

Щоб з'ясувати, як впливає відстань між тілами на силу їх взаємного тяжіння, треба знати, з яким прискоренням рухаються тіла, віддалені від поверхні Землі на великі відстані.

Ясно, що виміряти прискорення вільного падіння тіл, що знаходяться на висоті в декілька тисяч кілометрів над поверхнею Землі, важко. Зручніше виміряти доцентрове прискорення тіла, що рухається навколо Землі по колу під дією сили тяжіння до Землі. Таким же прийомом користувалися при вивченні сили пружності. Вимірювали доцентрове прискорення циліндра, що рухається по колу під дією цієї сили.

У вивченні сили всесвітнього тяжіння сама природа прийшла на допомогу фізикам і дала можливість визначити прискорення тіла, що рухається по колу навколо Землі. Таким тілом є природний супутник Землі – місяць. Якщо вірне припущення Ньютона, то потрібно вважати, що доцентрове прискорення місяцю при її русі по колу навколо Землі повідомляє сила її тяжіння до Землі. Якби сила тяжіння між Місяцем і Землею не залежала від відстані між ними, те доцентрове прискорення місяця було б таким же, як прискорення вільного падіння тіл поблизу поверхні Землі. Насправді доцентрове прискорення, з яким рухається місяць по орбіті, рівне  0,0027 м/сек². А це приблизно в  3600  разів менше, ніж прискорення тіл, що падають, поблизу Землі. В той же час відомо, відстань від центру Землі до центру Місяці дорівнює  384 000 км. Це в  60 разів більше радіусу Землі, тобто відстані від центру Землі до її поверхні. Таким чином, збільшення відстані між тілами, що притягуються, в  60  разів призводить до зменшення прискорення в  60² раз. Звідси можна зробити висновок, що прискорення, що повідомляється тілам силою всесвітнього тяжіння, тобто і сама ця сила обернено пропорційні до квадрата відстані між взаємодіючими тілами. Такого висновку і дійшов Ньютон.

Можна, отже, написати, що два тіла масою  М  і  m  притягуються один до одного з силою

абсолютне значення якої виражається формулою

де   r – відстань центрами тіл,

G – коефіцієнт пропорціональності, однаковий для усіх тіл в природі.

Називається цей коефіцієнт постійною всесвітнього тяжіння або гравітаційної постійної.

Приведена формула виражає закон всесвітнього тяжіння, відкритий Ньютоном.

Усі тіла притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною твору їх мас і обернено пропорційною до квадрата відстані між ними.

Під дією сили всесвітнього тяжіння рухаються і планети навколо Сонця, і штучні супутники навколо Землі.

Але що потрібно розуміти під відстанню між взаємодіючими тілами ?

Виявляється, формула, що виражає закон всесвітнього тяжіння,

справедлива, коли відстань між тілами настільки велика в порівнянні з їх розмірами, що тіла можна вважати матеріальними точками. Спрямована ця сила уздовж лінії, що сполучає матеріальні точки. Матеріальними точками при обчисленні сили тяжіння між ними можна рахувати Землю і Місяць, планети і Сонце.

Якщо тіла мають форму куль, то навіть у тому випадку, коли їх розміри порівнянні з відстанню між ними, вони притягуються між собою як матеріальні точки, розташовані в центрах куль. В цьому випадку  r – ця відстань між центрами куль, а сила спрямована уздовж лінії, що сполучає центри куль.

Формулою

можна також користуватися при обчисленні сили тяжіння між кулею великого радіусу і тілом довільної форми невеликих розмірів, що знаходиться близько до поверхні кулі. Тоді розмірами тіла можна нехтувати в порівнянні з радіусом кулі. Саме так ми поступаємо, коли розглядаємо тяжіння різних тіл до земної кулі. Тоді  r  у формулі

– це радіус земної кулі.

Сила тяжіння – це ще один приклад сили, яка залежить від взаємного розташування взаємодіючих тіл, тобто від їх координат. Адже сила тяжіння залежить від відстані  r  між тілами.

Умови застосовності закону всесвітнього тяжіння.

– якщо розміри тел нехтує малі в порівнянні з відстанню між ними;

– якщо обидва тіла однорідні і мають кулясту форму;

– якщо одне з тіл – куля, розміри і маса якого значно більше, ніж у другого тіла (будь-якої форми), що знаходиться на поверхні цієї кулі або поблизу нього.

Остання умова допомагає розрахувати силу тяжіння, що діє на тіла, які знаходяться поблизу поверхні Землі. При цьому відстань між тілами вважається рівним радіусу Землі (6370 км), так як розміри тіл, що знаходяться поблизу Землі, нехтує малі в порівнянні із земним радіусом.

ПРИКЛАД:

За третім законом Ньютона яблуко, що висить на гілці або падлюче з неї з прискоренням вільного падіння, притягує до себе Землю з такої ж по модулю силою, з якою його притягує Земля. Але прискорення Землі, викликане силою її тяжіння до яблуку близько до нуля, оскільки маса Землі незрівнянно більша за масу яблука.

Постійна всесвітнього тяжіння.

У формулу, що виражає закон всесвітнього тяжіння Ньютона, входить коефіцієнт  G – постійна всесвітнього тяжіння (гравітаційна постійна).

Коефіцієнт  G  має простий і ясний сенс. Якщо маси обох взаємодіючих тіл  М  і  m  дорівнюють одиниці (М = m = 1 кг) і відстань  r  між ними теж дорівнює одиниці (r = 1 м), то, як це видно з формули 

Постійна всесвітнього тяжіння чисельно дорівнює силі тяжіння між двома тілами (матеріальними точками) масою  1 кг  кожне, коли відстань між ними рівна  1 м.

З формули для закону всесвітнього тяжіння витікає, що

Якщо сила вимірюється в ньютонах (Н), відстань в метрах (м) і маса в кілограмах (кг), то величина, що стоїть в правій частині рівності, виражається в

Але у будь-якій формулі, якщо вона правильна, величини, що стоять в обох частинах рівності, повинні вимірюватися в однакових одиницях (5 м, наприклад, не можуть дорівнювати  5 кг). Звідси витікає, що постійна  G  повинна виражатися в

Числове значення постійної всесвітнього тяжіння може бути визначено тільки з досвіду, в якому треба, очевидно, яким-небудь способом виміряти силу

що діє між двома тілами відомих мас  m₁  і  m₂, розташованими на відомій відстані  r  одно від іншого.

ДОСВІД:

До однієї з чашок чутливих вагів на довгій нитці підвісили скляну кулю, наповнену ртуттю

На іншу чашку вагів помістили гирі, що урівноважують ваги. Після того, як ваги були ретельно урівноважені, під кулею з ртуттю, як можна ближче до нього, встановили кулю зі свинцю великої маси (близько  6000 кг). Внаслідок тяжіння ртутної кулі до свинцевого рівновага куль порушувалася. Щоб знову урівноважити ваги, потрібно на чашку з гирями покласти додаткову гирю. Сила тяжіння цієї додаткової гирі до Землі, очевидно, дорівнює силі тяжіння ртутної кулі до свинцевої кулі, тобто

Тут  m_св – маса свинцевої кулі, m_рт – маса ртутної кулі і  r – відстань між їх центрами. Звідси легко вичислити значення  G:

З цього і з багатьох інших дослідів було отримано чисельне значення постійною  G:

Це дуже мала величина. Саме завдяки тому що вона така мала, ми і не помічаємо тяжіння між тілами, що оточують нас. Адже навіть дві кулі масою кожен в тонну при відстані між ними в  1 м  притягуються один до одного з силою всього в  6,67  стотисячних доль ньютона.

ЗАДАЧА:

Ракета стартує з Місяця вертикально вгору з прискоренням  20 м/сек². Скільки важить під час старту космонавт, маса якого дорівнює  90 кг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Сила тяжіння космонавта на Місяць дорівнює

где

– прискорення вільного падіння на Місяці (воно в  6 разів менше земного).

g_л = 9,81 : 6 ≈ 1,635 (м/сек²)

Згідно з другим законом Ньютона

где

– сила реакції опори. У проекції на вертикальну вісь отримуємо, що:

ma = –mg_л + N

звідки

N = m(g_л + а).

Згідно з третім законом Ньютона вага космонавта по модулю дорівнює силі реакції опори. отже,

Р = m(g_л + а) =

90 кг ∙ (1,635 м/сек² + 20 м/сек²) =

90 кг ∙ 21,635 м/сек² ≈ 1947,15 Н.

ВІДПОВІДЬ:  1947,15 Н

Урок 9. Сила всемирного тяготения

ВИДЕО УРОК

Одна из важнейших в природе сил – сила гравитации, или сила тяготения. Она действует на все тела во вселенной.

Человеку давно уже известна сила, заставляющая все тела падать на Землю. Но до  XVII в. считалось, что только Земля обладает особым свойством притягивать к себе тела, находящиеся вблизи её поверхности. 

Впервые к выводу о существовании сил всемирного тяготения пришёл Ньютон, когда изучал движение Луны вокруг Земли и планет Солнечной системы вокруг Солнца. В 1667 г. Ньютон высказал предположение, что вообще между всеми телами действуют силы взаимного притяжения. Он назвал эти силы силами всемирного тяготения.

Ньютон открыл закон всемирного тяготения, то есть формулу для расчёта силы гравитационного взаимодействия. Согласно этому закону движение с ускорением возможно только под действием силы. Ньютон открыл законы движения тел. Согласно этим законам движения с ускорением возможно только под действием силы. Так как падающие тела движутся с ускорением, то на них должна действовать сила, направленная вниз, к Земле.

Но нет оснований  считать, что только Земля наделена исключительным свойством притягивать к себе тела. Почему же мы не замечаем взаимного притяжения между окружающими нас телами ? Может быть, это объясняется тем, сто силы притяжения между ними слишком малы ?

Ньютону удалось показать, что сила притяжения между телами зависит от масс обоих тел и, как оказалось, достигает заметной величины только тогда, когда взаимодействующие тела (или хотя бы одно из них) обладают достаточно большой массой. Ускорение свободного падения отличается той особенностью, что оно в данном месте одинаково для всех тел, для тел любой массы. Как объяснить это свойство ?

Единственное объяснение, которое можно найти тому, что ускорение не зависит от массы тела, заключается в том, что сама сила

с которой Земля притягивает тело, пропорциональна его массе  m.
Действительно, в этом случае увеличение массы  m, например, вдвое приведёт и к увеличению абсолютного значения силы

тоже вдвое, а ускорение, которое равно отношению

останется неизменным. Ньютон и сделал этот единственно правильный вывод: сила всемирного тяготения пропорциональна массе того тела, на которое она действует. Но ведь тела притягиваются взаимно. А по третьему закону Ньютона на оба притягивающихся тела действуют одинаковые по абсолютному значению силы. Значит, сила взаимного притяжения должна быть пропорциональна массе каждого из притягивающихся тел. Тогда оба тела будут получать ускорения, которые не зависят от их масс.

Если сила пропорциональна массе каждого из взаимодействующих тел, то это означает, что она пропорциональна произведению масс обоих тел.

От чего ещё зависит сила взаимного притяжения двух тел ? Ньютон предположил, что она должна зависеть от расстояния между телами. Из опыта хорошо известно, что вблизи Земли ускорение свободного падения равна  9,8 м/сек²  и оно одинаково для тел, падающих с высоты  1, 10  или  100 м. Но отсюда ещё нельзя заключить, что ускорение не зависит от расстояния до Земли. Ньютон считал, что отсчитывать расстояния надо не от поверхности Земли, а от её центра. Но радиус Земли равен  6400 км. Понятно поэтому, что несколько десятков или сотен метров над поверхностью Земли не могут заметно изменить ускорение свободного падения.

Чтобы выяснить, как влияет расстояние между телами на силу их взаимного притяжения, нужно знать, с каким ускорением движутся тела, удалённые от поверхности Земли на большие расстояния.

Ясно, что измерить ускорение свободного падения тел, находящихся на высоте в несколько тысяч километров над поверхностью Земли, трудно. Удобнее измерить центростремительное ускорение тела, движущегося вокруг Земли по окружности под действием силы притяжения к Земле. Таким же приёмом пользовались при изучении силы упругости. Измеряли центростремительное ускорение цилиндра, движущегося по окружности под действием этой силы.

В изучении силы всемирного тяготения сама природа пришла на помощь физикам и дала возможность определить ускорение тела, движущегося по окружности вокруг Земли. Таким телом является естественный спутник Земли – Луна. Если верно предположение Ньютона, то надо считать, что центростремительное ускорение Луне при её движении по окружности вокруг Земли сообщает сила её притяжения к Земле. Если бы сила тяготения между Луной и Землёй не зависела от расстояния между ними, то центростремительное ускорение Луны было бы таким же, как ускорение свободного падения тел вблизи поверхности Земли. В действительности центростремительное ускорение, с которым движется Луна по орбите, равно  0,0027 м/сек². А это приблизительно в  3600 раз меньше, чем ускорение падающих тел вблизи Земли. В то же время известно, расстояние от центра Земли до центра Луны равно  384 000 км. Это в  60 раз больше радиуса Земли, то есть расстояния от центра Земли до её поверхности. Таким образом, увеличение расстояния между притягивающимися телами в  60 раз приводит к уменьшению ускорения в  60² раз. Отсюда можно заключить, что ускорение, сообщаемое телам силой всемирного тяготения, а значит, и сама эта сила обратно пропорциональны квадрату расстояния между взаимодействующими телами. К такому заключению и пришёл Ньютон.

Можно, следовательно, написать, что два тела массой  М  и  m  притягиваются друг к другу с силой

абсолютное значение которой выражается формулой

где   r – расстояние между центрами тел,

G – коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех тел в природе.

Называется этот коэффициент постоянной всемирного тяготения или гравитационной постоянной.

Приведённая формула выражает закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном.

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Под действием силы всемирного тяготения движутся и планеты вокруг Солнца, и искусственные спутники вокруг Земли.

Но что надо понимать под расстоянием между взаимодействующими телами ?

Оказывается, формула, выражающая закон всемирного тяготения,

справедлива, когда расстояние между телами настолько велико по сравнению с их размерами, что тела можно считать материальными точками. Направлена эта сила вдоль линии, соединяющей материальные точки. Материальными точками при вычислении силы тяготения между ними можно считать Землю и Луну, планеты и Солнце.

Если тела имеют форму шаров, то даже в том случае, когда их размеры сравнимы с расстоянием между ними, они притягиваются между собой как материальные точки, расположенные в центрах шаров. В этом случае  r – это расстояние между центрами шаров, а сила направлена вдоль линии, соединяющей центры шаров.

Формулой

можно также пользоваться при вычислении силы притяжения между шаром большого радиуса и телом произвольной формы небольших размеров, находящимся близко к поверхности шара. Тогда размерами тела можно пренебречь по сравнению с радиусом шара. Именно так мы поступаем, когда рассматриваем притяжение различных тел к земному шару. Тогда  r  в формуле

– это радиус земного шара.

Сила тяготения – это ещё один пример силы, которая зависит от взаимного расположения взаимодействующих тел, то есть от их координат. Ведь сила тяготения зависит от расстояния  r  между телами.

Условия применяемости закона всемирного тяготения.

– если размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними;

– если оба тела однородные и имеют шарообразную форму;

– если одно из тел – шар, размеры и масса которого значительно больше, чем у второго тела (любой формы), находящегося на поверхности этого шара или вблизи него.

Последнее условие помогает рассчитать силу тяжести, действующую на тела, которые находятся вблизи поверхности Земли. При этом расстояние между телами считается равным радиусу Земли (6370 км), так как размеры тел, находящихся вблизи Земли, пренебрежимо малы по сравнению с земным радиусом.

ПРИМЕР:

По третьему закону Ньютона яблоко, висящее на ветке или падающее с неё с ускорением свободного падения, притягивает к себе Землю с такой же по модулю силой, с какой его притягивает Земля. Но ускорение Земли, вызванное силой её притяжения к яблоку близко к нулю, поскольку масса Земли несоизмеримо больше массы яблока.

Постоянная всемирного тяготения.

В формулу, выражающую закон всемирного тяготения Ньютона, входит коэффициент  G – постоянная всемирного тяготения (гравитационная постоянная).

Коэффициент  G  имеет простой и ясный смысл. Если массы обоих взаимодействующих тел  М  и  m  равны единице (М = m = 1 кг) и расстояние  r  между ними тоже равно единице (r = 1 м), то, как это видно из формулы

 

Постоянная всемирного тяготения численно равна силе притяжения между двумя телами (материальными точками) массой  1 кг  каждое, когда расстояние между ними равно  1 м. 

Из формулы для закона всемирного тяготения следует, что

Если сила измеряется в ньютонах (Н), расстояние в метрах (м) и масса в килограммах (кг), то величина, стоящая в правой части равенства, выражается в

Но в любой формуле, если она правильна, величины, стоящие в обеих частях равенства, должны измеряться в одинаковых единицах (5 м, например, не могут быть равны  5 кг). Отсюда следует, что постоянная  G  должна выражаться в

Числовое значение постоянной всемирного тяготения может быть определено только из опыта, в котором нужно, очевидно, каким-нибудь способом измерить силу

действующую между двумя телами известных масс  m₁  и  m₂, расположенными на известном расстоянии  r  одно от другого.

ОПЫТ:

К одной из чашек чувствительных весов на длинной нити подвесили стеклянный шар, наполненный ртутью

На другую чашку весов поместили гири, уравновешивающие весы. После того как весы были тщательно уравновешены, под шаром с ртутью, как можно ближе к нему, установили шар из свинца большой массы (около  6000 кг). Вследствие притяжения ртутного шара к свинцовому равновесие шаров нарушалось. Чтобы снова уравновесить весы, надо на чашку с гирями положить дополнительную гирю. Сила притяжения этой дополнительной гири к Земле, очевидно, равна силе притяжения ртутного шара к свинцовому шару, то есть

Здесь  m_св – масса свинцового шара, m_рт – масса ртутного шара и  r – расстояние между их центрами. Отсюда легко вычислить значение  G:

Из этого и из многих других опытов было получено численное значение постоянной  G:

Это очень малая величина. Именно благодаря тому что она так мала, мы и не замечаем притяжения между окружающими нас телами. Ведь даже два шара массой каждый в тонну при расстоянии между ними в  1 м  притягиваются друг к другу с силой всего в  6,67  стотысячных долей ньютона.

ЗАДАЧА:

Ракета стартует с Луны вертикально вверх с ускорением  20 м/сек². Сколько весит во время старта космонавт, масса которого равна  90 кг ?

РЕШЕНИЕ:

Сила притяжения космонавта к Луне равна

где

– ускорение свободного падения на Луне (оно в  6 раз меньше земного).

g_л = 9,81 : 6 ≈ 1,635 (м/сек²)

Согласно второму закону Ньютона

где

– сила реакции опоры. В проекции на вертикальную ось получаем, что:

ma = –mg_л + N

откуда

N = m(g_л + а).

Согласно третьему закону Ньютона вес космонавта по модулю равен силе реакции опоры. Следовательно,

Р = m(g_л + а) =

90 кг ∙ (1,635 м/сек² + 20 м/сек²) =

90 кг ∙ 21,635 м/сек² ≈ 1947,15 Н.

ОТВЕТ:  1947,15 Н

Задания к уроку 9   

• Задание 1