ВИДЕО УРОК
Размещения.
Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m.
Если
в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение.
Размещениями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком.
Количество
размещений рассчитывается по формуле:
Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из n по m обозначается
Вычислим
т. е. число
размещений из n по n.
Таким образом:
Ничего
удивительного в том, что число размещений из
n по n оказалось равным
числу перестановок n элементов, так
как мы использовали для составления размещений всё множество элементов, а
значит, они уже не могут отличаться друг от друга составом элементов, только
порядком их расположения, а это и есть перестановки.
Схема для решения комбинаторных задач на размещения.
Перед решением задачи на вычисление этого вида сочетаний предлагается схема способствующая правильному выявлению вида сочетания согласно условию задачи. При этом учитываются характеристические свойства каждого вида сочетаний.
Размещения
из n элементов по 2.
Число
всех выборов двух элементов из n с учётом их
порядка, называется числом их размещений из
n элементов по
2.
Пример всех
размещений из n =
3 объектов (различных фруктов) в группы по m = 2 с учётом порядка – на картинке.
Согласно формуле,
их должно быть равно:
Число
всех выборов m элементов из n данных с учётом их порядка называют числом
размещений из n элементов по m.
ЗАДАЧА:
В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя ?
РЕШЕНИЕ:
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом:
Сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые ?
Или по другому:
Из множества, состоящего из n элементов, выбирается m элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке.
Формула количества размещений с повторениями:
Перед решением задачи на вычисление этого вида сочетаний предлагается схема способствующая правильному выявлению вида сочетания согласно условию задачи. При этом учитываются характеристические свойства каждого вида сочетаний.
ЗАДАЧА:
У мальчика осталось от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этх штампов нанести на все книги пятизначные номера – составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик ?
РЕШЕНИЕ:
Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возвращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5.
ЗАДАЧА:
Сколько существует четырёхзначных пин-кодов ?
РЕШЕНИЕ:
По условию предложен набор из n = 10 цифр, из которого выбираются m = 4 цифры и располагаются в определённом порядке, при этом цифры в выборке могут повторяться (т. е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз). По формуле количества размещений с повторениями:
ЗАДАЧА:
Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора
А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х.
(используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами). Сколько различных номерных знаков можно составить для региона ?
РЕШЕНИЕ:
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить
автомобильных номера.
(каждая цифровая комбинация сочетается с
каждой буквенной комбинацией)
ОТВЕТ: 1726272.
Размещения в теории вероятностей.
В теории вероятностей задачи на размещения встречаются несколько реже, чем задачи на другие типы выборок, поскольку размещения имеют больше опознавательных признаков – и порядок, и состав элементов, а значит меньше подвержены случайному выбору.
ЗАДАЧА:
На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинакового формата расположены в произвольном порядке. Читатель не глядя, берёт 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома ?
РЕШЕНИЕ:
Событие А – у читателя первые три тома. С учётом порядка выбора он мог взять их 6-ю способами. (Это перестановки из 3-ёх элементов
Р3 = 3! = 1×2×3 = 6,
которые легко перечислить
123, 132, 213, 231, 312, 321).
Таким образом, число благоприятствующих элементарных событий равно 6. Общее число возможных элементарных событий равно числу размещений из 6-ти по 3, т. е.
Другие уроки:
Почему старосту и заместителя нужно выбирать так тщательно , как буто от лево направо : староста заместитель. или заместитель - староста что то меняется?
ОтветитьУдалитьОбычно в первую очередь выбирают старосту, а потом его заместителя. Очевидно, что после выбора старосты, его заместителя выбирают из 22 человек. Не выбирают сначала заместителя, а потом старосту, так принято.
ОтветитьУдалить