Задание 3. Объём усечённой пирамиды

 1. Найдите объём усечённой пирамиды, если площади её оснований равны  245 м²  и  80 м², а длина высоты соответствующей полной пирамиды – 35 м.  

 а)  2315 м³;     

 б)  2325 м³;     

 в)  2350 м³;     

 г)  2328 м³.

 2. Объём усечённой пирамиды равен  1720 см³, её высота – 20 см, соответствующие стороны двух оснований относятся как  5 : 8. Найдите площади оснований усечённой пирамиды.

 а)  50 см², 128 см²;

 б)  52 см², 128 см²;     

 в)  50 см², 126 см²;

 г)  52 см², 126 см².

 3. Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, если боковое ребро равно  l, а стороны оснований равны  а  и  b (a ˃ b).

 4. Найдите объём усечённой пирамиды, площади оснований соответственно равны  28 см²  и  7 см², а высота равна  3 см.

 а)  47 см³;

 б)  50 см³;     

 в)  52 см³;

 г)  49 см³.

 5. Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, если её высота равна  3 см, а стороны оснований соответственно равны  2 см  и  4 см.

 а)  5√͞͞͞͞͞3 см³;

 б)  7√͞͞͞͞͞3 см³;     

 в)  9√͞͞͞͞͞3 см³;

 г)  4√͞͞͞͞͞3 см³.

 6. Найдите площадь меньшего основания усечённой пирамиды, если её объём, высота и площадь большого основания соответственно равны  76 см³, 6 см  и  18 см².

 а)  10 см²;     

 б)  5 см²;     

 в)  8 см²;     

 г)  12 см².

 7. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна  6 см. Объём её равен  152 см³. Отношения площадей её оснований 4 : 9. Определите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

 а)  10√͞͞͞͞͞10 см²;

 б)  6√͞͞͞͞͞10 см²;     

 в)  8√͞͞͞͞͞10 см²;

 г)  4√͞͞͞͞͞10 см².

 8. Высота усечённой пирамиды равна  h, площадь среднего сечения равна  S. В каких пределах может меняться объём этой пирамиды ?

 а)  от 2Sh до ⁸/₃ Sh;     

 б)  от ¹/₃ Sh до ⁴/₃ Sh;     

 в)  от Sh до ⁵/₃ Sh;     

 г)  от Sh до ⁴/₃ Sh.

 9. Боковые рёбра правильной усечённой треугольной пирамиды образуют с плоскостью основания угол  α. Сторона нижнего основания равна  а, а верхнего  b  (а ˃ b) Найдите объём усечённой пирамиды.

 а)  ¹/₁₂(a² + b³) tgα;     

 б)  ¹/₁₂(a² – b³) tgα;     

 в)  ¹/₁₂(a² – b³) ctgα;     

 г)  ¹/₆(a² – b³) tgα.

10. Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равно  l  и образует с плоскостью основания угол  β. Диагональ пирамиды перпендикулярна боковому ребру. Найдите объём пирамиды.

11. В правильной треугольной усечённой пирамиде длины радиусов описанных вокруг оснований окружностей равны  8 см  и  2 см, а боковые рёбра наклонены к плоскости большего основания по углом  30°. Найдите объём пирамиды.

 а)  63 см³;     

 б)  65 см³;     

 в)  60 см³;     

 г)  69 см³.

12. Найдите объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если высота её  3 см, а стороны оснований равны  1 см  и  2 см.

 а)  7 см³;

 б)  9 см³;     

 в)  5 см³;

 г)  11 см³.

Задание 3. Объём наклонного параллелепипеда

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

ОБЪЁМ НАКЛОННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

или посмотрите

ВИДЕОУРОК

  1. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами  а  и  b. Боковое ребро длины  с  составляет со смежными сторонами основания углы, равные  φ. Найдите объём параллелепипеда.

 2. Основой наклонного параллелепипеда есть прямоугольник со сторонами  2 см  и  3 см. Боковое ребро параллелепипеда равно  7 см, а боковые грани образуют с плоскостью основания углы  60º  и  45º. Найдите объём параллелепипеда.

 а)  4√͞͞͞͞͞21 см³;

 б)  6√͞͞͞͞͞23 см³;     

 в)  8√͞͞͞͞͞21 см³;

 г)  6√͞͞͞͞͞21 см³.

 3. Стороны основания наклонного параллелепипеда  3 см  и  5 см, а угол между ними  120°. Большое диагональное сечение, являющееся ромбом, перпендикулярно плоскости основания. Найдите объём параллелепипеда, если боковое ребро образует с основанием угол, равный  60°.

 а)  76,75 см³;

 б).  78,75 см³;     

 в)  80,75 см³;

 г)  78,25 см³.

 4. В основании наклонного параллелепипеда лежит квадрат со стороной  6 см. Одно из диагональных сечений параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания и является ромбом с углом  60°. Найдите объём параллелепипеда.

 а)  106√͞͞͞͞͞6 см³;

 б)  104√͞͞͞͞͞6 см³;     

 в)  108√͞͞͞͞͞6 см³;

 г)  102√͞͞͞͞͞6 см³.

 5. Боковое ребро наклонного параллелепипеда  АВСDА₁В₁С₁D₁  равно  8 см. Расстояние между прямыми  АА₁  и  ВВ₁  равно  2 см, а между прямыми  ВВ₁  и  СС₁ – 3 см. Двугранный угол параллелепипеда при  ребре  ВВ₁  равен  45°. Найдите объём параллелепипеда.

 а)  24√͞͞͞͞͞2 см³;

 б)  20√͞͞͞͞͞2 см³;     

 в)  26√͞͞͞͞͞2 см³;

 г)  22√͞͞͞͞͞2 см³.

 6. Каждое ребро наклонного параллелепипеда равно  1 см. Боковое ребро образует с основанием угол  60°. Найдите объём параллелепипеда, если острый угол основания тоже равен  60°.

 а)  ¹/₂ см³;

 б)  ¹/₄ см³;     

 в)  ³/₂ см³;

 г)  ³/₄ см³.

 7. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами  4 см  и  6 см. Боковое ребро равно  2 см  и образует с каждой из смежных сторон основания угол в  60°. Найдите объём параллелепипеда.

 а)  24√͞͞͞͞͞2 см³;

 б)  20√͞͞͞͞͞2 см³;     

 в)  26√͞͞͞͞͞2 см³;

 г)  22√͞͞͞͞͞2 см³.

 8. В основании наклонном параллелепипеда лежит квадрат со стороной  4 см. Боковое ребро  6√͞͞͞͞͞2 см  образует с двумя смежными рёбрами углы по  60°. Найдите объём параллелепипеда.

 а)  94 см³;

 б)  92 см³;     

 в)  98 см³;

 г)  96 см³.

 9. Основание наклонного параллелепипеда   АВСDА₁В₁С₁D₁ – ромб. Боковое ребро  АА₁  составляет со смежными сторонами основания углы, равные  45°.

Угол  АDС = 2ВDА,

ВD = 4см, АА₁ = 6 см.

Найдите объём параллелепипеда.

 а)  44 см³;

 б)  46 см³;     

 в)  48 см³;

 г)  42 см³.

10. Основанием наклонного параллелепипеда является параллелограмм со сторонами  6 см  и  3 см  и острым углом  60°. Боковое ребро параллелограмма равно  4 см  и наклонено до плоскости основания пол углом  30°. Найдите объём параллелепипеда.

 а)  12√͞͞͞͞͞2 см³;

 б)  18√͞͞͞͞͞2 см³;     

 в)  16√͞͞͞͞͞2 см³;

 г)  14√͞͞͞͞͞2 см³.

11. Каждое ребро наклонного параллелепипеда рано  1 см. Боковое ребро образует с основанием  60°. Найдите объём параллелепипеда, если острый угол основания тоже равен  60°.

 а)  0,65 см³;

 б)  0,7 см³;     

 в)  0,78 см³;

 г)  0,75 см³.

12. Стороны основания наклонного параллелепипеда равны  6 см  и  12 см  и образуют угол  60°. Боковое ребро параллелепипеда равно  14 см  и образует с плоскостью основания угол  30°. Найдите объём параллелепипеда.

 а)  258√͞͞͞͞͞3 см³;

 б)  252√͞͞͞͞͞3 см³;     

 в)  250√͞͞͞͞͞3 см³;

 г)  256√͞͞͞͞͞3 см³.