Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции

понедельник, 27 сентября 2021 г.

Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции

ВИДЕО УРОК

Изменение тригонометрических функций с изменением угла от 0° до 90°.

Рассмотрим окружность произвольного радиуса с центром в точке А.

Пусть радиус АВ составляет с радиусом АD острый угол α:

∠ DАВ = α.

Опустим из точки В перпендикуляр ВС на АD. Из прямоугольного треугольника АВС имеем:

Будем вращать радиус АВ вокруг центра А так, чтобы угол изменялся от 0° до 90°. На чертеже зафиксировано несколько положений подвижного радиуса:

АВ₁, АВ₂, АВ₃, …

Построим соответствующие этим положениям радиуса прямоугольные треугольники:

∆ АВ₁С₁, ∆ АВ₂С₂, ∆ АВ₃С₃ ...

Гипотенузы всех этих треугольников, независимо от величины угла α, равны радиусу взятой окружности, катеты же с возрастанием угла α будут изменяться. Катет, противолежащий углу α, будет увеличиваться с возрастанием угла α, а катет прилежащий, – уменьшаться. Отсюда заключаем, что синус острого угла α с возрастанием угла α от 0° до 90° возрастает, а косинус – убывает.

Чтобы проследить за изменением тангенса острого угла, возьмём прямоугольный треугольник АВС
с острым углом α.

Пусть катет АС остаётся неизменным, а угол α увеличивается от 0° до 90°. При возрастании угла α противолежащий ему катет увеличивается

(АВ₁ < АВ₂ < АВ < АВ₃ …),

следовательно, возрастает и tg α так как катет АС остаётся без изменения.

Значения функции сtg α являются числами обратными по отношению к соответствующим значениям функции tg α, и так как последний с возрастанием угла α от 0° до 90° возрастает, то, следовательно, функция сtg α с возрастанием острого угла убывает.

Построение угла по данному значению его тригонометрической функции с помощью острого угла.

Из определения sin α и cos α следует, что синус и косинус острого угла α – положительные числа, меньшие единицы.

0 < sin α < 1,

0 < cos α < 1,

где α – острый угол.

Каково бы ни было положительное число у, меньшее единицы, существует, и притом только один, острый угол α, синус которого равен у:

sin α = у.

ПРИМЕР:

Построить угол α, синус которого равен ³/₄.

РЕШЕНИЕ:

На произвольной прямой отложим отрезок DЕ = 3.
Через точку Е проводим прямую ЕF ⊥ DЕ. Построим окружность радиуса 4 с центром в точке D.
Пусть К – точка пересечения этой окружности с прямой ЕF. Тогда угол ЕКD – искомый угол α, так как синус его равен
Каково бы ни было положительное число x, меньшее единицы, существует, и притом только один, острый угол α, косинус которого равен х:

соs α = х.

ПРИМЕР:

Построить угол α, косинус которого равен ²/₅.

РЕШЕНИЕ:

На произвольной прямой отложим отрезок ВС = 2.
Через точку С проводим прямую СМ ⊥ ВС. Построим окружность радиуса 5 с центром в точке В.
Пусть А – точка пересечения этой окружности с прямой СМ. Тогда косинус угла АВС равен
Следовательно, угол АВС – искомый угол α.

Каково бы ни было положительное число р, существует, и притом только один, острый угол α, тангенс которого равен р:

tg α = р.

ПРИМЕР:

Построить угол α, тангенс которого равен ²/₃.

РЕШЕНИЕ:

На одной стороне прямого угла МОN,
например на ОМ, откладываем от вершины О отрезок ОА = 3, а на другой стороне – отрезок ОВ = 2. Соединяем точки А и В. Тангенс угла ОАВ равен ²/₃, следовательно угол ОАВ = α.

Каково бы ни было положительное число q, существует, и притом только один, острый угол α, котангенс которого равен q:

ctg α = q.

ПРИМЕР:

Построить угол α, котангенс которого равен 3.

РЕШЕНИЕ:

На сторонах прямого угла LKM,
откладываем отрезки КА и КС, из которых, например, первый (КА) в три раза больше второго (КС). Соединяем точки А и С. Котангенс угла КАС равен 3, следовательно угол КАС = α.

Выражение тригонометрических функций через одну из них с помощью острого угла.

ПРИМЕР:

Найдём значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла

^2π/₃.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точки
нетрудно найти, воспользовавшись свойством прямоугольного треугольника с углом 30°.

Поэтому
Аналогично находят значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, обозначенных в верхнем ряду следующей таблицы:

Значения синуса, косинуса, тангенса та котангенса некоторых углов.
Покажем на примере, как находятся приближённые численные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для какого-нибудь угла.

ПРИМЕР:

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла 48°.

РЕШЕНИЕ:

Построим с помощью линейки и транспортира угол α, равный 48°. На одной стороне этого угла от его вершины А
отложим отрезок АВ, равный, например, 67 мм. Из точки В на другую сторону угла α опустим перпендикуляр ВС. Мы получили прямоугольный треугольник АВС, у которого ∠ ВАС = 48°. Измерив катеты ВС и АС, найдём:

ВС ≈ 49 мм,

АС ≈ 45 мм.

Тогда имеем:

sin 48° ≈ ⁴⁹/₆₇ ≈ 0,73,

cos 48° ≈ ⁴⁵/₆₇ ≈ 0,67,

tg 48° ≈ ⁴⁹/₄₅ ≈ 1,09,

ctg 48° ≈ ⁴⁵/₄₉ ≈ 0,92.

Таким же путём можно найти приближённые значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого острого угла.

При этом степень приближения будет зависеть только от точности наших измерений.

Построение углов по данному значению его тригонометрической функции с помощью единичной окружности.

ЗАДАЧА:

Построить угол (дугу) α, синус которого равен m.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим три случая.

Пусть |m| < 1.

В координатной плоскости хОу строим единичную окружность. На оси ординат находим точку, соответствующую числу m. Через эту точку проводимо прямую, параллельную оси абсцисс, и точки пересечения её с единичной окружностью обозначим через А и В.
Соединив точки А и В с началом координат, получим углы АОх и ВОх, синусы которых равны m. Эти углы определяются не однозначно. Обозначим наименьший положительный угол, определяемый конечной стороной АО, через ∠ АОх = а₁, а наименьший положительный ∠ ВОх, определяемый конечной стороной ОВ, через а₂. Тогда искомый угол α определится равенствами

α = α₁ + 2πn и α = α₂ + 2πn

где n = 0; ±1; ±2; …

Если |m| = 1.

То есть m = ±1, тогда прямые, проведённые через точки (0; 1) и (0; –1) перпендикулярно до оси ординат, касаются единичной окружности в точках, соответствующих наименьшим положительным углам

а искомый угол α определяется формулами

где n = 0; ±1; ±2; …

Если |m| ˃ 1.

То прямая, проведённая перпендикулярно оси ординат через точку (0; m), не пересекает единичную окружность.

В этом случае задача решений не имеет.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для которых соs α = ³/₄.

РЕШЕНИЕ:

На положительной оси Ох откладываем от точки О отрезок, равный ³/₄ радиуса единичной окружности.
Для этого делим радиус ОЕ₁ на четыре равные части и откладываем на нём от центра отрезок ОР, равный трём таким частям. Восстановим в точке Р перпендикуляр к оси Ох до пересечения его с единичной окружностью в точках М и М'. Искомые углы – это углы, составленные с осью Ох любым из построенных подвижных радиусов ОМ или ОМ'. На чертеже отмечено лишь два угла, косинус каждого из которых равен ³/₄.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для которых соs α = –³/₄.

РЕШЕНИЕ:

Отрезок, равный ³/₄ радиуса единичной окружности, откладываем от точки О на отрицательной полуоси Ох, а далее поступаем, как в предыдущем примере. На чертеже

отмечены лишь два угла, косинус каждого из которых равен –³/₄.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для которых sin α = –³/₅.

РЕШЕНИЕ:

Введём на плоскости прямоугольную систему координат.
Делим радиус
единичной окружности на пять равных частей, и откладываем на нём от центра отрезок ОК, равный трём таким частям. Через точку К проводим прямую, параллельную диаметру
до пересечения с единичной окружностью. Получим точки М и М', ординаты которых равны –³/₅.
Соединяя эти точки с началом координат, получим радиусы ОМ и ОМ'. Синус любого из углов, составленных с осью Ох любым из радиусов ОМ или ОМ', равен –³/₅. На чертеже
отмечены два таких угла.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для которых tg α = 1,5.

РЕШЕНИЕ:

На оси тангенсов от единичной точки Е₁ откладываем в положительном направлении отрезок Е₁Т, в 1,5

больший радиуса круга. Если через точку Т и центр круга О провести прямую, то она пересечёт единичную окружность в точках М и М'. Это – концы подвижных радиусов, образующих с положительным направлением оси Ох углы, тангенсы которых равны 1,5. На чертеже
отмечены два таких угла.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для которых сtg α = –¹/₂.

РЕШЕНИЕ:

На оси котангенсов от Е₂ откладываем в отрицательном направлении отрезок Е₂К, равный половине радиуса круга.
Через конец этого отрезка К и центр круга О проводим прямую, пересекающую единичную окружность в точках М и М'. Это – концы подвижных радиусов, образующих с положительным направлением оси Ох углы, котангенсы которых равны –¹/₂. На чертеже
отмечены два таких угла.

Геометрический вывод значений тригонометрических функций.

Его полезно запомнить, так как часто приходится находить значения sin α и соs α по значению tg α.

ПРИМЕР:

tg α = ²/_3.