Урок 5. Площа прямокутного трикутника

ВІДЕОУРОК

Якщо за основу прямокутного трикутника прийняти один з його катетів, то другий катет буде висотою трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює пів добутку його катетів.

де  a  і  b – катети прямокутного трикутника.

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу трикутника  АВС, зображеного на рисунку.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ BDC = 180° – 135° = 45°,

∠ DBC = 45°, DC = ВC = √͞͞͞͞͞2 см,

BD = √͞͞͞͞͞2 BC = 2 см, AD = BD = 2 см,

S = ¹/₂ (AD + DC) BC =

= ¹/₂ (2 + √͞͞͞͞͞2)√͞͞͞͞͞2 = (√͞͞͞͞͞2 + 1) (см²).

ЗАДАЧА:

У прямокутному трикутнику  АВС  катети дорівнюють  6 см  і  8 см. Знайдіть висоту  ВК, опущену на гіпотенузу  АС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай катет 

АВ = 6 см, а  ВС = 8 см.

Тоді за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу:

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів, тобто:

S = ¹/₂ AB ∙ DC = 24 см².

Висоту  ВК  знайдемо за формулою:

ЗАДАЧА:

Катети прямокутного трикутника дорівнюють  8 см  і  15 см. Знайдіть відстань від вершини більшого гострого кута трикутника до центра вписаного кола.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС (∠ С = 90°) – заданий трикутник.

АС – 15 см, СВ = 8 см,

О – центр вписаного кола. Оскільки

 АС ˃ СВ, то  ∠ В ˃ ∠ А,

тому  ОВ – шукана відстань.

З  ∆ АСВ (∠ С = 90°):

Якщо точки  М, N  і  К – точки дотику вписаного кола до сторін трикутника, то за властивістю дотичної, проведеної до кола з однієї точки, одержимо:  СN = СК.

Фігура  СNОК – квадрат. Тоді  СN = СК = r.

S_∆ACB = ¹/₂ AC ∙ CB =

= ¹/₂ ∙ 15 ∙ 8 = 60 (см²).

P_∆ACB = 8 + 15 + 17 = 40 (см).

Тоді 

ВК = СВ – СК = 8 – 3 = 5 (см).

ВІДПОВІДЬ:  √͞͞͞͞͞34 см  

ЗАДАЧА:

Вписане у прямокутний трикутник  АВС  коло дотикається до гіпотенузи  АВ  у точці  К. Знайдіть площу трикутника, якщо

АК = 4 см, ВК = 6 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай коло  О  радіуса  х  дотикається до катетів трикутника в точках  М  і  N.

Оскільки  ОМСN – квадрат, то  СМ = СN = х см. За властивістю дотичних, проведених з однієї точки, одержимо:

АN = АК = 4 см,

ВМ = ВК = 6 см.

Розглянемо прямокутний трикутник  АВС.

У ньому:

АВ = 4 + 6 = 10 (см),

АС = (4 + х) см,

ВС = (6 + х) см.

За теоремою Піфагора маємо:

АС² + ВС² = АВ²,

(4 + х)² + (6 + х)² = 10²,

2х² + 20х + 52 = 100,

х² + 10х – 24 = 0,

х₁ – не підходить, х₂ = 2. Звідки 

АС = 4 + х = 4 + 2 = 6 (см),

ВС = 6 + х = 6 + 2 = 8 (см).

Тоді 

S = ¹/₂ AC ∙ BC =

= ¹/₂ ∙ 6 ∙ 8 = 24 (см²).

ВІДПОВІДЬ:  24 см²

ЗАДАЧА:

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки  3 см  і  4 см. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – заданий прямокутний трикутник (∠ А = 90°),

у якому  АР – бісектриса, ВР = 4 см, РС = 3 см. Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам:

АС : АВ = СР : РВ = 3 : 4.

 Нехай  АС = 3х см.

Тоді  АВ = 4х см.

За теоремою Піфагора

ВС² = АВ² + АС²,

(4 + 3)² = 16х² + 9х²,

25х² = 49, х² = ⁴⁹/₂₅,

х₁ = 1,4, х₂ = –1,4 – не підходить. Тому 

АС = 3 ∙ 1,4 = 4,2 (см),

АВ = 4 ∙ 1,4 = 5,6 (см).

S = ¹/₂ AB∙ AC, S = pr, де

r – радіус вписаного кола, звідки

ВІДПОВІДЬ:  1,4 см

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу прямокутного трикутника, гіпотенуза якого  на  7 см  більша від одного з катетів а інший катет дорівнює  21 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

 АС² + СВ² + АВ², х² + 21² =

= (х + 7)²,

х² + 441 = х² + 14х + 49,

14х = 392, х = 28 (см).

S = ¹/₂ AС∙ ВC,

S = ¹/₂ 28 ∙ 21 = 294 (см²).

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює  26 см, а один з катетів на  14 см  більший від іншого.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

х² + (х + 14)² = 26²,

2х² + 28х – 480 = 0,

х² + 14х – 240 = 0,

х₁ = 10, х₂ = –24 – не підходить.

АС = 10 + 14 = 24 (см).

S = ¹/₂ AС∙ ВC =

= ¹/₂ 24 ∙ 10 = 120 (см²).

ЗАДАЧА:

Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює  15 см, а медіана, проведена до гіпотенузі, – 8,5 см. Обчисліть площу даного трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

ЗАДАЧА:

Перпендикуляр, опущений з вершини прямого кута на гіпотенузу прямокутного трикутника, ділить цей трикутник на два трикутники, площі яких дорівнюють  1,5 см²  і  13,5 см². Знайдіть сторони заданого трикутника.

РЕШЕНИЕ:

Нехай  АВС – заданий прямокутний трикутник,

∠ С = 90°, СМ ⊥ АВ,

S_∆CMB = 1,5 см²,

S_∆AMC = 13,5 см².

Нехай  СМ = х см. Тоді:

S_∆CMB = ¹/₂ CM ∙ MB, звідки

Аналогічно  S_∆AMC = ¹/₂ CM ∙ AM, звідки

За властивістю висоти прямокутного трикутника, опущеної на гіпотенузу, одержимо:

х₁ = 3, х₂ = –3 – не підходить.

Отже, МВ = 3 : х = 3 : 3 = 1 (см),

АМ = 27 : х = 27 : 3 = 9 (см).

АВ = АМ + ВМ = 9 + 1 = 10 (см).

З трикутника  АСМ:

З трикутника  ВСМ:

ВІДПОВІДЬ:

3√͞͞͞͞͞10 см, √͞͞͞͞͞10 см, 10 см.

Завдання до уроку 5

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання площі
• Урок 2. Площа прямокутника
• Урок 3. Площа квадрата
• Урок 4. Площа трикутника
• Урок 6. Площа рівнобедреного трикутника
• Урок 7. Площа паралелограма
• Урок 8. Площа ромба
• Урок 9. Площа трапеції
• Урок 10. Площа рівнобічної трапеції
• Урок 11. Площа прямокутної трапеції
• Урок 12. Площа круга
• Урок 13. Подібність трикутника
• Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників
• Урок 15. Подібність прямокутних трикутників
• Урок 16. Площа багатокутника

Задание 2. Четырёхугольник и окружность (1)

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ (1)

или посмотрите

ВИДЕОУРОК

 1. Укажите номера верных утверждений.

 1)  Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом.

 2)  В любой прямоугольник можно вписать окружность.

 3)  Центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения его высот.

 4)  Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

 5)  Диагонали ромба равны.

 а)  2, 4;      
 б)  1, 5;      
 в)  3;          
 г)  4.

 2. Стороны прямоугольника  33 см  и  56 см. Определите длину окружности, описанной около этого прямоугольника.

 а)  130π;      
 б)  32,5π;      
 в)  65π;        
 г)  89π.

 3. AB  и  CD – взаимно перпендикулярные диаметры окружности. Из точки  М, лежащей на ней, опущены перпендикуляры  МР  и  МТ  на эти диаметры. Найдите расстояние между точками  Р  и  Т, зная, что  АВ = 9 см.

 а)  4,5 см;      
 б)  9 см;      
 в)  5,5 см;      
 г)  4 см.

 4. Окружности, радиусы которых равны  4 см  и  9 см, имеют внешнее касание. К окружностям проведена общая внешняя касательная. Найдите расстояние между точками касания.

 а)  9 см;        
 б)  13 см;      
 в)  12 см;      
 г)  14 см.

 5. Меньшая сторона прямоугольника равна  8 см, угол между его диагоналями равен  60°. Вычислите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

 а)  4 см;        
 б)  16 см;

 в)  10 см;      
 г)  8 см.

 6. В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в  15°. Найдите величины дуг, на которые делится вершинами этого прямоугольника описанная около него окружность.

 а)  30°,120°;      
 б)  15°, 50°;

 в)  80°, 100°;       
 г)  30°, 150°.

 7. В окружность вписан прямоугольник, диагональ которого в два раза больше меньшей его стороны. Найдите величины дуг, на которые делится вершинами этого прямоугольника окружность.

 а)  30°, 150°;      
 б)  60°, 120°;

 в)  45°, 135°;       
 г)  90°, 90°.

 8. Через вершины вписанного в окружность прямоугольника проведены касательные к окружности до пересечения с касательными, проведёнными через соседние вершины. Вычислите его углы, если диагонали прямоугольника образуют угол  32°.

 а)  64°, 116°;      
 б)  35°, 145°;

 в)  32°, 148°;      
 г)  30°, 150°.

 9. Две окружности, радиусы которых равны  

4 см  и  9 см, 

имеют внешнее касание. Найдите расстояние между точками касания данных окружностей с их общею внешней касательной.

 а)  9 см;        
 б)  13 см;      
 в)  16 см;      
 г)  12 см.

10. Из бревна цилиндрической формы диаметром  18 см  необходимо вырезать брус с поперечным сечением в форме прямоугольника, стороны которого относятся как  1 : √͞͞͞͞͞2   (брус такого сечения имеет наибольшую прочность). Определите наибольшие размеры поперечного сечения.

 а)  6√͞͞͞͞͞2  см  и  6√͞͞͞͞͞5  см;     

 б)  6√͞͞͞͞͞3  см  и  6√͞͞͞͞͞6  см;

 в)  2√͞͞͞͞͞3  см  и  3√͞͞͞͞͞6  см;     
 г)  7√͞͞͞͞͞3  см  и  7√͞͞͞͞͞6  см.

11. Две окружности, расстояние между центрами которых равно  17 см, имеют внешнее касание. Найдите радиусы этих окружностей, если расстояние между точками касания окружностей  с их общей внешней касательной равно  15 см.

 а)  4,5 см, 12,5 см;      
 б)  5 см, 12 см;

 в)  5,5 см, 11,5 см;       
 г)  6 см, 11 см.

12. В окружность радиусом  5 см, вписан прямоугольник, периметр которого равен  28 см. Найдите стороны прямоугольника.

 а)  3,5 см, 10,5 см;      
 б)  5 см, 9 см;

 в)  4 см, 10 см;             
 г)  6 см, 8 см.

Задания к уроку 28

• Задание 1 (четырёхугольник)
• Задание 3 (квадрат)