ВИДЕО УРОК
Правила сложения и
умножения в комбинаторике называют основными правилами комбинаторики.
Правило сложения (правило
<<ИЛИ>>).
Если некоторый объект
А можно выбрать
m способами, а объект В
– другими n способами, причём выборы объектов А и В несовместимы, то выбор “А или В” можно выполнить m
+ n способами.
Или:
Если два действия
А и В взаимно исключают друг друга, причём
действие А можно выполнить m способами, а В
– n способами, то
выполнить одно любое из этих действий (либо А,
либо В) можно
m
+ n способами.
Другими словами:
Если в условии
задачи звучит “ИЛИ”,
то выбираем. правило сложения
Закон сложения
используется тогда, когда нужно выбрать только один элемент.
Кортеж – конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.
ЗАДАЧА:
Ученик должен выполнить практическую работу по
математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он
может выбрать одну тему для практической работы ?
РЕШЕНИЕ:
По правилу суммы
получим:
17 + 13 = 30.
ОТВЕТ: 30 вариантов.
ЗАДАЧА:
Идя на соревнования, спортсмен одевает либо майку, либо
футболку.Сколько вариантов выбора майки или футболки у него имеется, если его
мама постирала 3 майки и
4 футболки.
РЕШЕНИЕ:
Пользуемся
правилом сложения.
Допустим, что в
шкафу на одной полке лежит 3 майки, а на другой – 4 футболки. Произвольно
с какой-нибудь полки берём только одну вещь. С первой полки взять одну вещь
можно только тремя разными способами, а с другой – четырьмя способами. Тогда
взять одну какую-либо из названных вещей можно
3 + 4 = 7
разными
способами.
ОТВЕТ: 7 вариантов.
ЗАДАЧА:
Пусть в одном ящике есть
m шариков, а во втором ящике – n
шариков. Сколькими способами можно вытащить один шарик из одного из этих ящиков
?
РЕШЕНИЕ:
Очевидно, что ОДИН шарик можно достать
m + n
способами.
ОТВЕТ: m + n
Правило умножения (правило
<<И>>).
Этот метод решения
комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные
варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.
Если некоторый объект
А можно выбрать
m способами, и после каждого такого выбора
другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) n способами, то пары объектов А и В можно выбрать
m × n способами.
Или:
Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно
выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k–го
действия, которое можно выполнить nk способами, то
все k действий вместе могут быть выполнены:
N = n1 × n2 ×…× nk
Правило умножения
формулируют также в другой форме:
Если при составлении комбинации из двух элементов
вида (a,
b) первый элемент можно выбрать n способами, а затем второй – m способами, то различных комбинаций вида (a,
b) можно выбрать
m × n способами.
Другими словами:
Если в условии
задачи звучит “И”,
то выбираем правило умножения
ЗАДАЧА:
Цех по изготовлению головных уборов начал выпуск трёх
новых моделей, для которых был закуплен фетр четырёх цветов. Сколько видов
разных шляп может изготовить цех ?
РЕШЕНИЕ:
Для каждой из трёх моделей можно использовать каждый из
четырёх цветов.По правилу умножения количество разных видов будет:
3 × 4
= 12.
Для иллюстрации можно
составить таблицу:ОТВЕТ: 12.
ЗАДАЧА:
Переплётчик должен переплести 12 различных книг в красный, зелёный и
коричневые переплёты. Сколькими способами он может это сделать ?
РЕШЕНИЕ:
Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения
возможно
12 × 3 = 36
вариантов переплёта.
ОТВЕТ: 36.
ЗАДАЧА:
В магазине
<<Всё для чая>>
есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и
блюдца можно купить ?
РЕШЕНИЕ:
Чашку мы можем выбрать
6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку
и блюдце, то это можно
сделать
6 × 4 = 24
способами (по правилу
произведения).
ОТВЕТ: 24.
ЗАДАЧА:
Сколько чисел можно составить из цифр
0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7,
8, 9,
если число должно быть двузначным ?
РЕШЕНИЕ:
Можно составить 90 чисел – первую
цифру числа можем выбрать 9 способами, так
как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается:
9 ∙ 10 = 90.
ОТВЕТ: 90
ЗАДАЧА:
Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр
0, 3, 5,
7, 8, 9 ?
Цифры в записи чисел не повторяются.
РЕШЕНИЕ:
На первом месте должна стоять запись любой из цифр
3, 5, 7,
8, 9 – всего
5 способов.
На втором – снова какая-нибудь из 5 (среди них может уже быть цифра 0).
На третьем любая из
4,
что остались после записи первых двух цифр числа.
Всего
5 ∙ 5 ∙ 4 = 100
разных способов трёхзначных чисел.
ОТВЕТ: 100
ЗАДАЧА:
Прямого сообщения между городами А и В нет. Турист может
попасть из А в В либо через город С,
либо через город D. Из А в С есть два различных пути, а из А до D – три. Из С до В можно попасть
тремя разными дорогами, а из D до В –
двумя. Сколько разных вариантов выбора пути из
А до В есть
у туриста ?
РЕШЕНИЕ:
Делаем графический рисунок:
Если идти из А в В через С, то путь можно выбрать2 ∙ 3 = 6
способами.
Если идти из А в В через D, то для выбора пути есть
3 ∙ 2 = 6
способов.
Тогда разных вариантов выбора пути всего
6 + 6 = 12.
Можно не выполняя ни одного правила, определить
количество вариантов выбора пути просто, проведя карандашом по линиям.
ОТВЕТ: 12
Комментариев нет:
Отправить комментарий