Урок 16. Площа многокутника

пятница, 29 марта 2019 г.

Урок 16. Площа многокутника

ВІДЕОУРОК

Площа багатокутника – це величина, що має такі властивості:

– площа кожного багатокутника виражається додатним числом;

– рівні багатокутники мають рівні площі;

– площа багатокутника, складеного з кількох частин, дорівнює сумі площ усіх цих частин;

– за одиницю площі приймається площа одиничного квадрата.

Одиничний квадрат – це квадрат, сторона якого дорівнює одиниці довжини. Дві фігури з рівними площами називають рівновеликими. Дві рівні фігури завжди рівновеликі, але не кожні рівновеликі фігури рівні.

Відношення площ подібних багатокутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін (квадрату коефіцієнта подібності).
ЗАДАЧА:

Сторони двох подібних правильних багатокутників відносяться як 6 : 5, а різниця їх площ дорівнює 77 см². Знайти площу меншого з цих багатокутників.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо сторону меншого багатокутника через 5х см, тоді сторона більшого – 6х см, де х – деяке число. Тоді:

ВІДПОВІДЬ: 175 см²

Формула Піка.

N – кількість внутрішніх точок,

G – кількість перетинів вузлів сітки на границях фігури.

ПРИКЛАД:

Обчислити площу фігури за допомогою палетки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося формулою:

S = N + ¹/₂G – 1.

Порахуємо кількість внутрішніх точок N, воно дорівнюватиме 15.

Порахуємо кількість внутрішніх точок перетинів вузлів сітки на межах фігури G, воно дорівнюватиме 9.

Підставимо ці значення у формулу і знайдемо площу фігури.

S = 15 + ⁹/₂ – 1 = 18,5 кв. од.

ЗАДАЧА:

Обчислити площу фігури за допомогою палетки.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося формулою:

S = N + ¹/₂G – 1.

Порахуємо кількість внутрішніх точок N, воно дорівнюватиме 5.

Порахуємо кількість внутрішніх точок перетинів вузлів сітки на межах фігури G, воно дорівнюватиме 10.

Підставимо ці значення у формулу і знайдемо площу фігури.

S = 5 + ¹⁰/₂ – 1 = 9 кв. од.

ЗАДАЧА:

Обчислити площу фігури за допомогою палетки.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося формулою:

S = N + ¹/₂G – 1.

Порахуємо кількість внутрішніх точок N, воно дорівнюватиме 4.

Порахуємо кількість внутрішніх точок перетинів вузлів сітки на межах фігури G, воно дорівнюватиме 12.

Підставимо ці значення у формулу і знайдемо площу фігури.

S = 4 + ¹²/₂ – 1 = 9 кв. од.

ЗАДАЧА:

Обчислити площу фігури за допомогою палетки.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося формулою:

S = N + ¹/₂G – 1.

Порахуємо кількість внутрішніх точок N, воно дорівнюватиме 9.

Порахуємо кількість внутрішніх точок перетинів вузлів сітки на межах фігури G, воно дорівнюватиме 4.

Підставимо ці значення у формулу і знайдемо площу фігури.

S = 9 + ⁴/₂ – 1 = 10 кв. од.

Площа чотирикутника.

Площа чотирикутника, вписаного в коло.

Площа чотирикутника, описаного навколо коло.

p – півпериметр,

r – радіус вписаного кола.

Площа чотирикутника з перпендикулярними діагоналями (дельтоїда) дорівнює пів добутку діагоналей.

ЗАДАЧА:

Площа трикутника АВС дорівнює 18 см². На стороні АВ позначили точки К і D так, що

АК = КD = DВ,

а на стороні АС – точки F і Е так, що

АF = FЕ = ЕС.

Знайдіть площу чотирикутника DЕFК.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Трикутники АВС, АDЕ і АКF подібні за спільним кутом і пропорційними сторонами, які утворюють цей кут.

Нехай АК = х, тоді

АD = 2х, АВ = 3х.

За властивість площ подібних трикутників одержимо:

S_∆AKF : S_∆ABC = AK² : AB²,

S_∆AKF : 18 = x² : (3x)²,

S_DEFK = S_∆ADE – S_∆AKF =

= 8 – 2 = 6 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 6 см²

ЗАДАЧА:

У трикутнику АВС медіана АК перетинає медіану ВL у точці L. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо площа чотирикутника КСDL дорівнює 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Проведемо третю медіану СМ. Три медіани розбивають трикутник на шість рівновеликих трикутників, тоді

S_∆CDL = ¹/₂ S_KCDL = ⁵/₂,

S_∆ABC = 6∙ S_∆CDL = 15.

ВІДПОВІДЬ: 15

Площа правильного шестикутника.

Правильний шестикутник складається з 6 правильних трикутників.

де а – сторона шестикутника.

ЗАДАЧА:

Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник зі стороною √͞͞͞͞͞3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для будь-якого багатокутника, в який можна вписати коло, вірна така формула:

S = p∙ r,

де p – напівпериметр,

r – радіус вписаного кола.

Площа правильного шестикутника зі стороною а дорівнює:

а напівпериметр дорівнює 3а, тоді
r = S : p =

= 4,5√͞͞͞͞͞3 : 3√͞͞͞͞͞3 = 1,5.

ВІДПОВІДЬ: 1,5

ЗАДАЧА:

Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного біля кола, радіус якого дорівнює √͞͞͞͞͞3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для будь-якого багатокутника, в який можна вписати коло, вірно

S = p∙ r,

де p – напівперимет,

r – радіус вписаного кола.

Площа правильного шестикутника зі стороною а дорівнює
напівпериметр дорівнює 3а, тоді
а = 2.

ВІДПОВІДЬ: 2

Завдання до уроку 16

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 29 марта 2019 г.