Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

воскресенье, 2 июня 2019 г.

Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Пусть (b_n) – геометрическая прогрессия. Выпишем n первых членов этой прогрессии:

b₁; b₂; b₃; …; b_n_-1; b_n.

Обозначим сумму этих членов S_n:

S_n = b₁+ b₂+ b₃+ … + b_n_-1+ b_n.

Если q = 1, то все члены прогрессии равны b₁ и S_n = nb₁.

Рассмотрим случай, когда q ≠ 1.

Умножим обе части равенства

S_n = b₁+ b₂+ b₃+ … + b_n_-1+ b_n

на q:

q S_n = b₁ q+ b₂q + b₃ q+ … + b_n_-1q + b_n q.

Но

b₁ q= b₂, b₂q = b₃, b₃q = b₄, …, b_n_-1q = b_n.

поэтому

q S_n = b₂+ b₃ + b₄+ … + b_n q.

Вычтем почленно из равенства

q S_n = b₂+ b₃ + b₄+ … + b_n q

равенство

S_n = b₁+ b₂+ b₃+ … + b_n_-1+ b_n,

получим:

q S_n – S_n = b_n q – b₁.

S_n (q – 1) = b_n q – b₁

Так как q ≠ 1, то сумма n первых членов геометрической прогрессии

ПРИМЕР:

Найти сумму десяти первых членов геометрической прогрессии (b_n):

1; 2; 4; 8; … .

РЕШЕНИЕ:

Первый член прогрессии 1, а знаменатель 2. Найдём 10-й член этой прогрессии:

b₁₀ = 1 × 2^10-1 = 2⁹.

Теперь воспользуемся формулой

= 2¹⁰ – 1 = 1024 – 1 = 1023.

ОТВЕТ: 1023

Иногда бывает удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, представленной в другом виде. Подставим в формулу

Где q ≠ 1, вместо b_n выражение b₁ qⁿ^-1, получим:

q ≠ 1.

В этой формуле сумма n первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой не равен 1, выражена через первый член, знаменатель прогрессии и число суммируемых членов.

ПРИМЕР:

Сумма трёх последовательных членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 273. Найдите члены геометрической прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим искомые члены геометрической прогрессии через х, xq, xq², тогда

или

Возведём обе две части первого уравнения системы в квадрат, а выражение 1 + q² + q⁴ выразим у виде произведения

(1 – q + q²) (1 + q + q²)

тогда

Из последней системы получим

4q² – 17q + 4 = 0;

q₁ = ¹/₄, q₂ = 4.

Тогда

х₁ = 16, и х₂ = 1.

ОТВЕТ: Искомыми членами геометрической прогрессии будут числа

16; 4; 1 или

1; 4; 16.

ПРИМЕР:

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), если

b₁= 6, b₄= 162.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: 726

ПРИМЕР:

Геометрическая прогрессия (b_n) задана формулой общего члена

b_n = 5 × 3ⁿ^-1.

Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

b_n = 5 × 3ⁿ^-1.

b₁ = 5; b₂ = 15;

q = 15 : 5 = 3.

ОТВЕТ: 605

Бесконечная геометрическая прогрессия.

В прогрессиях

с увеличением номера n модули их членов бесконечно уменьшаются, приближаясь к нулю. Прогрессии такого виду называют бесконечно убывающими.

Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть |q| < 1.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессией (b_n) называют число, до которого стремится сумма её первых n членов при неограниченном увеличении n.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид:

ПРИМЕР:

Найдите сумму членов последовательности

2; 1; ¹/₂; … .

РЕШЕНИЕ:

Данная последовательность будет бесконечной геометрической прогрессией, у которой первый член равен 2, а знаменатель –¹/₂. Тогда сумма членов прогрессии равна: