Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда

понедельник, 2 июля 2018 г.

Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда

ВИДЕОУРОК

Объём наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

где S_осн – площадь основания наклонного параллелепипеда, h – высота наклонного параллелепипеда.

ЗАДАЧА:

Основанием наклонного параллелепипеда является параллелограмм АВСD, у которого АВ = 3 дм, АD = 7 дм и ВD = 6 дм. Диагональное сечение АА₁С₁С перпендикулярно к плоскости основания и его площадь равна 1 м². Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть имеем наклонный параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁, в котором плоскость диагонального сечения АСС₁А₁ перпендикулярна к плоскости основания.

Кроме того, по условию,

АВ = 3 дм, АD = 7 дм, ВD = 6 дм,

За свойством сторон и диагоналей паралелограма

AC² + BD² = 2(AB² + AD²),

откуда:

AC² = 2(9 + 49) – 36 = 80,

AC = 4√͞͞͞͞͞5 (дм).

Проведем высоту A₁N = H параллелепипеда (N∈AC) и найдём её из параллелограмма АСС₁А₁:

S_осн = 2S_∆ABD.

Площадь треугольника ABD найдём по формуле Герона:

p = ¹/₂(3 + 7 + 6) = 8 (дм),

Поэтому

S_осн = 8√͞͞͞͞͞5 (дм³).

V = S_осн × H = 8√͞͞͞͞͞5 × 5√͞͞͞͞͞5

= 200 (дм³) = 0,2 (м³).

ОТВЕТ: 0,2 м³.

ЗАДАЧА:

Площадь боковой грани треугольной призмы равна S, а расстояние от противоположного ребра до этой грани а. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть имеем наклонную треугольную призму АВСА₁В₁С₁, площадь её боковой грани ВСС₁В₁ равна S, а d(AA₁; (BCC₁)) = а. Объём этой призмы обозначим как V. Достроим данную треугольную призму до параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁.

Объём такого параллелепипеда вдвое больше за объём данной призмы, то есть равен 2V. Рассмотрим за основание призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ грань ВСС₁В₁. Тогда її объём равен

2V = S × d(AA₁; (BCC₁)) = S × а.

ОТВЕТ: ¹/₂ S × а.

ЗАДАЧА:

Основанием параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 60°. Одно из рёбер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60° и равно 5. Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Объём параллелепипеда находим по следующей формуле:

V = S_o ∙ H,

где Н – высота параллелепипеда.

Площадь ромба с заданной стороной a и углом α, находим по следующей формуле:

S_o = a² ∙ sin α.

Подставляя известные величины, получаем:

S_o = a² ∙ sin α = 16∙¹/₂∙√͞͞͞͞͞3 = 8√͞͞͞͞͞3.

Угол между ребром АА₁ и гранью основания АВСD – есть угол между этим ребром и проекцией ребра на плоскость основания, которая равна АН, где Н – проекция точки А₁ на АВСD, то есть

∠ А₁АН = 60°.

В прямоугольном треугольнике АА₁Н:

Задания к уроку 6

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 2 июля 2018 г.