Урок 14. Теорема синусів

суббота, 8 июня 2019 г.

Урок 14. Теорема синусів

ВІДЕО УРОК

Теорема синусів дозволяє з обох боків і куту, що лежить проти однієї з них (або з обох боків і двох кутів) обчислити інші елементи трикутника.

У кожному трикутнику відношення сторони до синуса протилежного кута є постійна величина (для даного трикутника), що дорівнює довжині діаметра описаної біля трикутника кола.

Або, іншими словами:

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.
де а, b, с – сторони трикутника А, В, С позначають відповідально

∠ А, ∠ В, ∠ С.

Візьмемо трикутник АВС, довжини сторін якого позначимо літерами а, b, с, а величини протилежних кутів відповідно літерами А, В, С. Опишемо навколо трикутника АВС коло. Нехай R = ОС – радіус кола.

Проведемо діаметр CD = 2R і з'єднаємо вершину з точкою D. Отримаємо трикутник CBD в якому кут В прямий, як вписаний, що спирається на діаметр CD. Кути ∠ BDC і ∠ BAC, як вписані та спираються на ту саму дугу CMB, рівні між собою.

Оскільки CD = 2R і ∠ BDC = ∠ BAC = A, то з прямокутного трикутника CBD маємо:

а = 2R sin A.

Звідси отримуємо:

Подібні ж співвідношення отримаємо і для інших сторін та протилежних їм кутів трикутника, зробивши відповідні побудови:

Поєднуючи ці три рівності, отримаємо:

Доведені співвідношення мають місце й у разі тупокутного трикутника.
Припустимо, що у трикутнику АВС
кут А – тупий. Тоді проводимо діаметр СD і з'єднуємо вершину трикутника АВС з точкою D. З прямокутного трикутника ВСD знаходимо:

BC = CD sin ∠ BDC.

Але кут ВDС у сумі з кутом А становить 180° як протилежні кути опуклого чотирикутника, вписаного в коло, а тому

∠ BDC = 180° – A.

Тому

BC = CD sin ∠ (180° – A),

або

a = 2R sin A.

Звідси маємо ті самі співвідношення.

Ці співвідношення мають місце для прямокутного трикутника.

Ряд рівних відносин може бути записаний і так:

a : b : c = sin A : sin B : sin C.

Теорему синусів можна вивести за допомогою формули, що виражає площу трикутника.

Розглянемо трикутник АВС із сторонами а, b, с і кутами α, β, γ.
Запишемо формули для обчислення площі даного трикутника:

Звідси

Тоді

або

З цих рівностей випливає:

Отже, доведено теорему, яка називається теоремою синусів:

ЗАДАЧА:

Радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, дорівнює 6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АОС, де О – точка перетину бісектрис трикутника АВС, якщо ∠ АВС = 60°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За наслідком з теореми синусів
R₁ – радіус кола, описаного навколо трикутника АОС.

ВІДПОВІДЬ: 6 см.

ЗАДАЧА:

На стороні ВС трикутника АВС позначили точку D. Знайдіть відрізок ВD, якщо

∠ С = 90°,

∠ ВАС = α,

∠ ВАD = β,

АВ = с.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Трикутник АВС – заданий,

∠ В = 90° – α.

∠ ВDА = 180° – β – (90° – α) =

= 90° + α – β.

З ∆ АDВ:

ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Відрізок AD – бісектриса трикутника АВС,

АD = а,

∠ С = 90°,

∠ ВАС = α.

Знайдіть відрізок ВD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВD – бісектриса кута А, тому

∠ САD = ∠ DАВ = ^α/₂.

У ∆ ВСА (∠ С = 90°):

∠ В = 90° – α.

З ∆ АВD:

ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Основа трикутника дорівнює 10 см, один з кутів при основі дорівнює 45°, а кут, що проти лежить основі, дорівнює 60°. Знайдіть сторону, що протилежна куту в 45°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай шукана сторона – х см. Тоді за теоремою синусів маємо:

ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

У трикутнику АВС:

∠ А = 45°,

∠ С = 15°,

ВС = 4√͞͞͞͞͞6.

Знайти АС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Користуючись теоремою про суму кутів трикутника

∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°,

Знайдемо кут В:

∠ В = 180° – 45° – 15° = 120°.

Сторону АС знайдемо за теоремою синусів:

ВІДПОВІДЬ: АС = 12

ЗАДАЧА:

У трикутнику КМN:

∠ K = 80°,

∠ N = 40°,

КN = 6 см.

Знайти радіус кола, описаного біля трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З теореми про суму кутів трикутника знайдемо невідомий кут трикутника:

∠ М = 180° – ∠ К – ∠ N.

Підставляючи значення відомих кутів, отримаємо:

∠ М = 180° – ∠ 80° – ∠ 40°,

∠ М = 60°.

Далі по розширеній теоремі синусів
Виразимо з останньої рівності радіус описаного кола:

Підставляючи значення сторони та кута, отримаємо:

ВІДПОВІДЬ: R = 2√͞͞͞͞͞3 см

ЗАДАЧА:

Гіпотенуза та один із катетів прямокутного трикутника дорівнюють 10 см та 8 см. Знайти кут, який розташований проти даного катета.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У прямокутному трикутнику навпроти гіпотенузи знаходиться кут, що дорівнює 90°. Приймемо невідомий кут за х. Тоді співвідношення сторін трикутника виглядає так:

Отже:

Значить

х ≈ 53,1°.

ВІДПОВІДЬ: х ≈ 53,1°

Завдання до уроку 14

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 8 июня 2019 г.