Урок 41. Рівняння з модулем

Щоб вирішити рівняння, що містить змінну під знаком модуля, треба звільнитися від знака модуля, використовуючи його визначення:

На практиці це робиться так:

1)  знаходять критичні точки, тобто значення змінної, при яких вирази, що стоять під знаком модуля, звертаються в нуль;

2)  розбивають область допустимих значень змінної на проміжки, на кожному з яких вирази, що стоять під знаком модуля, зберігають знак;

3)  на кожному з знайдених проміжків вирішують рівняння без знака модуля.

Сукупність (об'єднання) рішень зазначених проміжків і становить всі рішення розглянутого рівняння.

ПРИКЛАД:

Вирішіть рівняння:

|х  + 3| = 2х – 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Критична точка знаходиться після рішення рівняння

х + 3 = 0,  х = –3.

1)  При  х < –3  отримуємо рівняння

–х – 3 = 2х – 1,

звідки  х = –²/₃.

Але знайдене значення не входить в даний проміжок.

2)  При  х ≥ 3  отримуємо рівняння

х + 3 = 2х – 1,

Звідки  х = 4. Знайдене значення входить в даний проміжок.

ВІДПОВІДЬ:  4

ПРИКЛАД:

Вирішіть рівняння:

|х  + 2| + |х  + 3| = х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо критичні точки:

х + 2 = 0  або  х + 3 = 0,

х = –2  або  х = –3.

Вирішуємо задачу на кожному проміжку:

1)   х < –3, –х – 2 – х – 3 = х,  –3х = 5,

х = –⁵/₃  (не входить в даний проміжок).

2)  –3 ≤ х < –2, –х – 2 + х + 3 = х, 

х = 1 (не входить в даний проміжок).

3)  х ≤ –2, х + 2 + х + 3 = х, 

х = –5 (не входить в даний проміжок).

ВІДПОВІДЬ:  ∅

ПРИКЛАД:

Вирішіть рівняння:

|х  + 5| – |х  – 3| = 8.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо критичні точки:

х + 5 = 0  або  х – 3 = 0,

х = –5  або  х = 3.

Вирішуємо задачу на кожному проміжку:

1)   х < –5, –х – 5 –(–х + 3) = 8, –х – 5 + х – 3 = 8,

–8 = 8, неправдиво. На даному проміжку рішень немає.

2)  –5 ≤ х < 3, х + 5 –(–х + 3) = 8,   х + 5 + х – 3 = 8,

2х = 6, х = 3  (не входить в даний проміжок).

3)  х ≥ 3, х + 5 –(х – 3) = 8, х + 5 – х + 3 = 8, 

8 = 8  вірно. Рівняння виконується при усіх  х  з даного проміжку.

ВІДПОВІДЬ:  [3; +∞)

Завдання до уроку 41

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3