Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків

среда, 2 октября 2019 г.

Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків

ВИДЕО УРОК

Графічне рішення лінійних нерівностей.

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

(х – 6)² – (5 – х)² < 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку проведемо прості перетворення – розкриємо дужки повних квадратів і приведемо подібні доданки:

(х – 6)² – (5 – х)² < 3,

(х² – 12х + 36) – (25 – 10х + х²) < 3,

х² – 12х + 36 – 25 + 10х – х² < 3,

– 2х + 11 < 3,

– 2х < 3 – 11,

– 2х < –8,

Далі ділимо обидві частини нерівності на негативне число (–2), при цьому потрібно поміняти знак нерівності на протилежний.

х ˃ ⁸/₂,

х ˃ 4.

Нерівність нестрога, тому 4 не включається в проміжок, і рішенням будуть усі точки, які знаходяться правіше 4, оскільки 5 більше 4, 6 більше 4 і так далі.

ВІДПОВІДЬ:

х ∈ (4; + ∞)

Графічне рішення квадратних нерівностей.

Графіком квадратичної функції

y = ах² + bx + c

являється парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а ˃ 0, і вниз, якщо а < 0. При цьому можливі три випадки:

1) парабола перетинає вісь х (тобто рівняння

ах² + bx + c = 0

має два різні корені);

2) парабола має вершину на осі х (тобто рівняння

ах² + bx + c = 0

має один корінь);

3) парабола не перетинає вісь х (тобто рівняння

ах² + bx + c = 0

не має коренів).

Разом можливі шість положень параболи, що служить графіком функції

у = ах² + bx + c

відносно осі х, – вони представлені на малюнку.

Спираючись на ці графічні ілюстрації, можна вирішувати квадратні нерівності.

Квадратною нерівністю називають нерівності виду

ax² + bx + c ˃ 0,

де замість знаку ˃ може бути будь-який інший знак нерівності.

Для вирішення квадратної нерівності за допомогою графіку треба:

– визначити напрям гілок параболи по знаку старшого коефіцієнта квадратичної функції;

– знайти корені відповідного квадратного рівняння або встановити, що їх немає;

– побудувати ескіз графіку квадратичної функції, враховуючи точки перетину (чи торкання) з віссю Ох, якщо вони є;

– по графіку визначити проміжки, на яких функція набуває потрібних значень.

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

–х² + 10х – 21 < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку вирішуємо квадратне рівняння:

–х² + 10х –21 = 0

D = b² – 4ac,

D = 100 – 4 × (–1) × (–21)

Потім схемний малюємо параболу, не вираховуючи, де у не знаходиться вершина, адже по суті це не треба, у нас основне – точки перетину параболи з віссю Ох.

Повертаємося до нерівності

–х² + 10х –2 < 0.

і відмічаємо потрібні нам проміжки:

Запишемо тепер відповідь.

ВІДПОВІДЬ:

х ∈ (–∞; 3) ∪ (7; +∞)

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

х² – 2х – 3 ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо параболу

у = х² – 2х – 3.

Вирішити нерівність

х² – 2х – 3 ˃ 0

це означає відповісти на питання, при яких значеннях х ординати точок параболи позитивні.

Помічаємо, що у ˃ 0, тобто графік функції розташований вище за вісь х, при х < –1 і при х ˃ 3. Значить, рішеннями нерівності служать усі точки інтервалів

(–∞; –1) ∪ (3; +∞).

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

х² – 2х – 3 < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо параболу

у = х² – 2х – 3.

Нерівність

х² – 2х – 3 < 0

або у < 0, де

у = х² – 2х – 3,

також можна вирішити за допомогою графіку. Графік розташований нижче осі х, якщо

–1 < х < 3.

Тому рішенням цієї нерівності служать усі точки інтервалу

(–1; 3).

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

х² – 2х – 3 ≥ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо параболу

у = х² – 2х – 3.

Нерівність

х² – 2х – 3 ≥ 0

відрізняється від нерівності

х² – 2х – 3 ˃ 0

тим, що у відповідь потрібно включити і корені рівняння

х² – 2х – 3 = 0

тобто точки

х₁ = –1 и х₂ = 3.

Таким чином, рішеннями цієї нестрогої нерівності є усі точки інтервалів

(–∞; –1] ∪ [3; +∞)

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

х² – 2х – 3 ≤ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо параболу

у = х² – 2х – 3.

Нерівність

х² – 2х – 3 ≤ 0

відрізняється від нерівності

х² – 2х – 3 < 0

тим, що у відповідь потрібно включити і корені рівняння

х² – 2х – 3 = 0,

тобто х₁ = –1 и х₂ = 3,

Отже, рішеннями цієї нестрогої нерівності служать усі точки відрізку

[–1; 3].

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

х² – х – 2 ≥ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Представимо таку нерівність у виді

х² ≥ х + 2.

У одній і тій же системі координат побудуємо графіки функцій

у₁ = х² (парабола) і
у₂ = х + 2 (пряма лінія).

Знайдемо абсциси точок перетину цих графіків. Прирівняємо праві частини функцій і отримаємо рівняння:

х² = х + 2

або

х² – х – 2 = 0.

Корені цього квадратного рівняння

х₁ = –1 і х₂ = 2.

Тому такі графіки перетинаються в двох точках А і В, абсциси яких, відповідно, рівні

х₁ = –1 і х₂ = 2.

Нерівності

х² ≥ х + 2

або

у₁ ≥ у₂

задовольняють ті значення х, при яких значення першої функції більше або дорівнюють значенням другої функції, тобто при яких графік першої функції розташований вище або на рівні другої функції. З малюнка видно, що такими значеннями є усі числа з проміжків

х₁ ≤ –1 і х₂ ≥ 2.

Цей спосіб виявляється кориснішим при рішенні складних нерівностей (кубічних нерівностей, нерівностей з модулем і так далі).

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

–х² + 2х – 1 ≥ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Запишемо нерівність у виді

–(х – 1)² ≥ 0

і побудуємо ескіз графіку функції

у = –(х – 1)².

Гілки цієї параболи спрямовані вниз. Рівняння

–(х – 1)² = 0

має один корінь х = 1.

Тому парабола торкається осі Ох в точці (1; 0). Для вирішення нерівності

–(х – 1)² ≥ 0

потрібно визначити, при яких значеннях х функції у ненегативні.

З малюнка видно, що функція позитивних значень не має. Значення у = 0 виходить тільки при х = 0. Тому ця нерівність

–х² + 2х – 1 ≥ 0

має єдине рішення х = 1.

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

2х² + 5х + 2 ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Рівняння

2х² + 5х + 2 = 0

має два корені:

х₁ = –2, х₂ = –¹/₂.

Парабола, що служить графіком функції

у = 2х² + 5х + 2,

має вигляд, зображений на малюнку.
Нерівність

2х² + 5х + 2 ˃ 0

виконується при тих значеннях х, при яких точки параболи лежать вище за вісь х. Це буде при

х < х₁ або при х ˃ х₂,

тобто при х < –2 або при х ˃ –¹/₂.

Означає рішення нерівності такі:

х < –2, х ˃ –¹/₂.

ВІДПОВІДЬ:

х < –2, х ˃ –¹/₂

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

3х² – 7х – 10 ≤ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Рівняння

3х² – 7х – 10 = 0

має два корені:

х₁ = –1, х₂ = ¹⁰/₃.

Парабола, що служить графіком функції

у = 3х² – 7х – 10, має вигляд, зображений на малюнку.
Нерівність

3х² – 7х – 10 ≤ 0

виконується при тих значеннях х, при яких точки параболи лежать на осі х або нижче її. Це буде при х з проміжку

[х₁; х₂]

Означає безліч рішень нерівності є відрізок

[–1; ¹⁰/₃].

ВІДПОВІДЬ: [–1; ¹⁰/₃]

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

–х² + 4х – 4 ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Рівняння

–х² + 4х – 4 = 0

має один корінь:

х = 2.

Парабола, що служить графіком функції

у = –х² + 4х – 4,

має вигляд, зображений на малюнку.

Нерівність

–х² + 4х – 4 ˃ 0

виконується при тих значеннях х, при яких точки параболи лежать вище за вісь х. Таких точок немає. Значить, нерівність не має рішень.

ВІДПОВІДЬ: рішень немає

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

–3х² + х – 5 < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Рівняння

–3х² + х – 5 = 0

не має дійсних коренів.

Парабола, що служить графіком функції

у = –3х² + х – 5,

має вигляд, зображений на малюнку.

Нерівність

–3х² + х – 5 < 0

виконується при тих значеннях х, при яких точки параболи лежать нижче осі х. Оскільки уся парабола лежить нижче осі х, та нерівність виконується при будь-яких значеннях х.

ВІДПОВІДЬ: –∞ < х < +∞

Графічне рішення нелінійних нерівностей.

ПРИКЛАД:

Вирішіть нерівність графічним способом:

√͞͞͞͞͞x < 6 – х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Будуємо графіки функцій

у = √͞͞͞͞͞x і у = 6 – х.
Графіки перетинаються у точці (4; 2). Значення функції

у = 6 – х

більші від значень функції

у = √͞͞͞͞͞x,

якщо х ∈ (0; 4).

ВІДПОВІДЬ:

х ∈ (0; 4)

Завдання до уроку 10

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 2 октября 2019 г.