четверг, 3 октября 2019 г.

Урок 11. Неравенства с модулем

ВИДЕО УРОК
Чтобы решить неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:
На практике это делается так:

1) находят критические точки, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2) разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие пол знаком модуля, сохраняют знак;
3) на каждом из найденных промежутков решают неравенство без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого неравенства.
Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой

|а|

означает расстояние точки  а  координатной прямой от начала отсчёта  0, а

|а b|

означает расстояние между точками  а  и  b  на координатной прямой.

Рассмотрим неравенство 

|x| < а,

где  а > 0.

Воспользуемся геометрической интерпретацией модуля числа.
Неравенство вида  |x| < а  определяет  координаты тех и только тех точек координатной прямой, которые удалены от начала отсчёта на расстояние, меньше чем  а, то есть 

а < x < а,  х (–а, а).

Если  а ≤ 0, то данное неравенство решений не имеет.

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства.

Если выражения  f(x)  и  g(x)  при любых  х  принимают только неотрицательные значения, то неравенства

f(x) ˃ g(x) и

(f(x))2 ˃ (g(x))2

равносильны.

Применяется эта теорема при решении неравенств с модулем так.

Пусть нужно решить неравенство

| f(x)| ˃ |g(x)|.

Так как при любых  х  из области определения выражений

f(x)  и  g(x)

справедливы соотношения

| f(x)| ≥ 0, |g(x)| ≥ 0,

(| f(x)|)2 = (f (x))2,

(|g(x)|)2 = (g(x))2,

то данное неравенство равносильно неравенству

(f(x))2 ˃ (g(x))2.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|x + 1| < |x – 3|.

РЕШЕНИЕ:

Первый способ.

Так как обе части неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получаем равносильное неравенство:

х2 + 2х + 1 < х2 – 6х + 9.

Это неравенство равносильно неравенству

8х < 8,

откуда  х < 1.

ОТВЕТ:  х < 1

Второй способ.

Решение данного неравенства сводится к нахождению точек  х  числовой прямой, которые расположены ближе к точке  –1, чем к точке  3.
Такими точками являются все точки, лежащие слева от точки  1 – середины отрезка  [–1; 3], то есть точки из промежутка

(–∞; 1).

Третий способ.

Построим графики функций

у = |x + 1|,

у = |x – 3|.
Эти графики пересекаются в точке  (1; 2). При  х < 1  график функции

у = |x + 1|

лежит ниже графика функции

у = |x – 3|,

а при  х ˃ 1 выше. Поэтому множество решений данного неравенства – промежуток  (–∞; 1).

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|x + 4| ≥ 1.

РЕШЕНИЕ:

Критическая точка находится решением уравнения

х + 4 = 0,

откуда 

х = –4.

1) Рассмотрим промежуток  х < –4. На нём исходное неравенство принимает вид 

–х – 4 1.

Решая это неравенство, найдём  х –5.
Так как

х < –4  и  х 5,

То решением исходного неравенства будет промежуток

х 5.

2) Рассмотрим промежуток  х ˃ –4. На нём исходное неравенство имеет вид

x + 4 ≥ 1,

Откуда  x ≥ –3.
Так как

х ˃ –4  и  x ≥ –3,

То решением исходного неравенства будет промежуток

x ≥ –3.
3) Учитывая случаи  1)  и  2), окончательно имеем

х и  x ≥ –3.
ОТВЕТ:

х и  x ≥ –3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|x – 3| < 1.

РЕШЕНИЕ:

Найдём критическую точку

х – 3 = 0, т. ех = 3.

1) Рассмотрим промежуток  х < 3. В этом случае имеем
откуда
Следовательно решением исходного неравенства является промежуток

(2; 3).
2) Рассмотрим промежуток  х 3. В этом случае имеем
или
Следовательно решением исходного неравенства является промежуток

[3; 4).
3) рассмотрим вместе эти промежутки. Решением неравенства будет промежуток

(2; 4).

ОТВЕТ:

2 < x < 4.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|2x – 1| |x – 2| ≥ 4.

РЕШЕНИЕ:

Критическими точками являются

х = 1/2  и  х = 2.

1) Рассмотрим промежуток  х < 1/2. На нём исходное неравенство имеет вид

–2х + 1 – (–х + 2) ≥ 4,

откуда  х ≤ –5. Следовательно, на этом промежутке решением неравенства будет промежуток  х ≤ –5.
2) Рассмотрим промежуток

1/2 х < 2.

на нём исходное неравенство имеет вид

(2х – 1) – (–х + 2) ≥ 4,

откуда  х 7/3. Таким образом, исходное неравенство на этом промежутке не имеет решения.
3) Рассмотрим промежуток  х ˃ 2. На нём исходное неравенство имеет вид

(2х – 1) – (х – 2) ≥ 4,

откуда  х3.

4) Объединение полученных решений

х ≤ –5  и  х ≥ 3

будет решением исходного неравенства.

ОТВЕТ:

< х ≤ –5  и  3 ≤ х < +.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|4x – 5| > 7.

РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств
откуда
ОТВЕТ: 

(–∞; –0,5) (3; +∞)

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|x – 1| < 2.

РЕШЕНИЕ:

Первый способ.

|x – 1| можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками  х  и  1. Значит, нам нужно указать на координатной прямой все точки  х, которые удалены от точки  1 меньше чем на  2 единицы. С помощью координатной прямой
устанавливаем, что множество решений неравенства будет интервал  (–1; 3).

 Второй способ.

Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство

(х – 1)2 < 4.

Решая последнее неравенство, получим:

х2 – 2х – 3 < 0,

откуда находим, что

–1 < х < 3.

Третий способ.

По определению модуля числа,
поэтому данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:
Из первой системы получаем

1 ≤ х < 3.

Из второй системы

–1 < х < 1.

Объединив эти решения, получим промежуток

(–1; 3).

ОТВЕТ:  (–1; 3)

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|2x + 5| ≥ 7.

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем неравенство следующим образом:

|x + 2,5| ≥ 3,5.

Укажем на координатной прямой все такие точки  х, которые удалены от точки  –2,5  на расстояние, большее или равное  3,5. С помощью координатной прямой находим
решения
:

х ≤ –6; х ≥ 1.

ОТВЕТ:  х ≤ –6; х ≥ 1

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

х2 – 6 ˃ |x|.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображены графики чётных функций

у = х2 – 6

у = |x|.
Решив уравнение

х2 – 6 = x,

найдём его положительный корень  х = 3.

График функции

у = х2 – 6

лежит выше графика функции

у = |x|

вне отрезка  [–3; 3]. Поэтому множество решений данного неравенства – совокупность промежутков

х < –3,  и  х ˃ 3.

ОТВЕТ:  х < –3,  х ˃ 3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|х2 – 5x + 2| ˃ 2.

РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

х2 – 5x + 2 ˃ 2,

х2 – 5x + 2 < –2.

Множество решений первого неравенства, равносильного неравенству

х(х – 5) ˃ 0,

представляет собой объединение промежутков

х < 0  и  х ˃ 5.

Множество решений второго неравенства, равносильного неравенству

(х – 1)(х – 4) < 0,

есть интервал

(1; 4)

ОТВЕТ: 

х < 0,  1 < х < 4,  х ˃ 5

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|х2 + x – 6| ˃ 2 – х.

РЕШЕНИЕ:

Первый способ.

Число  х = 2  не является решением данного неравенства, а при  х ˃ 2  неравенство справедливо. Его левая часть неотрицательна при всех  х R, а правая отрицательна.

Если  х < 2, то исходное неравенство равносильно совокупности неравенств:

х2 + x – 6 ˃ 2 – х,

х2 + x – 6 < –2 + х.

Эти неравенства равносильны неравенствам:

(х + 4)(х – 2) ˃ 0,

(х + 2)(х – 2) < 0

соответственно.

Решив систему:
получаем  х < –4.
Аналогично из системы
следует, что

–2 < х < 2.

Итак, множество решений данного неравенства – объединение промежутков

х < –4,  –2 < х < 2,  х ˃ 2.

ОТВЕТ: 

х < –4,  –2 < х < 2,  х ˃ 2

Второй способ.

Построим графики функций:

у =  |х2 + x – 6|,

у = 2 – х.
Эти графики имеют общую точку  А(2; 0). Две другие общие точки получим, найдя отрицательные корни уравнений 

х2 + x – 6 = 2 – х,

6 – х2x = 2 – х.

Такими корнями являются 

х1 = 2  и  х2 = 4.

На графике видно, что график функции

у =  |х2 + x – 6| 

лежит выше графика функции  у = 2 – х, при 

х < –4,  –2 < х < 2,  х ˃ 2.

ОТВЕТ: 

х < –4,  –2 < х < 2,  х ˃ 2

ПРИМЕР:

Решить неравенство:     

|х2x – 3| < 9.

РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно системе неравенств:
которая равносильна следующей системе неравенств:
Множество решений первого неравенства – интервал  (–3, 4), второе неравенство является верным при всех  х R.

ОТВЕТ:  –3 < х < 4

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим два случая:

1)  х ≤ 0,

2)  х ˃ 0.

Первый случай.

Если  х ≤ 0, то 

|x| = –х  и неравенство примет вид:
Это неравенство равносильно следующему:
Отсюда находим:

–6 < х < –2.

Второй случай.

Если  х ˃ 0, то исходное неравенство (при условии  х 5) равносильно неравенству

(х + 6)(х + 2) < 0,

откуда получаем:

2 < х < 5, 5 < х < 6

ОТВЕТ: 

–6 < х < –2, 2 < х < 5, 5 < х < 6

Задания к уроку 11
ДРУГИЕ УРОКИ

    2 комментария:

    1. Спасибо большое! Прекрасные примеры, прекрасные решения!

      ОтветитьУдалить
    2. Спасибо не мне, а старым советским учебникам. Но мне тоже приятно, значит не зря тружусь

      ОтветитьУдалить