Завдання 1. Визначений інтеграл

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

або

ВИДЕО УРОК

 1. Обчисліть інтеграл:

 а)  0,2;     

 б)  0,8;     

 в)  –0,2;     

 г)  –0,8.

 2. Обчисліть інтеграл:

 а)  15;     

 б)  30;     

 в)  –15;     

 г)  –30.

 3. Обчисліть інтеграл:

 а)  0;     

 б)  1;     

 в)  2;     

 г)  –1.

 4. Обчисліть інтеграл:

 а)  0;     

 б)  4;     

 в)  2;     

 г)  5.

 5. Обчисліть інтеграл:

 а)  ³/₈;     

 б)  –³/₈;     

 в)  ¹⁵/₆₄;     

 г)  –¹⁵/₆₄.

 6. Обчисліть інтеграл:

 а)  ¹/₂;     

 б)  –¹/₂;     

 в)  ¹/₃;     

 г)  –¹/₃.

 7. Обчисліть інтеграл:

 а)  48;     

 б)  16;     

 в)  60;     

 г)  36.

 8. Обчисліть інтеграл:

 а)  е² – 1;     

 б)  2;     

 в)  0;     

 г)  3.

 9. Обчисліть інтеграл:

 а)  0,5;     

 б)  1,5;     

 в)  –0,5;     

 г)  1.

10. Обчисліть інтеграл:

 а)  244;     

 б)  242;     

 в)  80;     

 г)  82.

11. Обчисліть інтеграл:

 а)  –2;    

 б)  0;     

 в)  2;     

 г)  4.

12. Обчисліть інтеграл:

 а)  2;     

 б)  1;     

 в)  4;     

 г)  3.

Завдання до уроку 6

• Завдання 2
• Завдання 3

Урок 6. Визначений інтеграл

ВИДЕО УРОК

Для того, щоб навчитися вирішувати визначені інтеграли необхідно

1)  Уміти знаходити невизначені інтеграли.

2)  Уміти вичислити визначений інтеграл.

У загальному вигляді визначений інтеграл записується так:

В порівнянні з невизначеним інтегралом додалися межі інтегрування.

Нижня межа інтегрування позначається буквою  а.

Верхня межа інтегрування позначається буквою  b.

Відрізок  [a; b]  називається відрізком інтеграції.

Визначений інтеграл – це число. Вирішити визначений інтеграл це означає знайти число.

Знаходиться визначений інтеграл за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

Етапи рішення визначеного інтеграла.

1)  Спочатку знаходимо первісну функцію

F(Х)

(невизначений інтеграл). Константа  С  в визначеному інтегралі не додається.

Позначення

є чисто технічним, і вертикальна паличка не несе ніякого математичного сенсу. Запис

потрібна для підготовки застосування формули Ньютона-Лейбніца.

2)  Підставляємо значення верхньої межі в первісну функцію

F(b).

3)  Підставляємо значення нижньої межі в первісну функцію

F(а).

4)  Знаходимо різницю (число)

F(b) – F(a).

Визначений інтеграл існує не завжди.

ПРИКЛАД:

Інтеграла

не існує, оскільки відрізок інтегрування  

[–5; –2]  

не входить в область визначення підінтегральної функції (значення під квадратним коренем не можуть бути негативними).

ПРИКЛАД:

Інтеграла

не існує, оскільки на відрізку інтегрування  

[–2; 3]  

тангенс терпить нескінченні розриви в точках

х = –^π/₂,  х = ^π/₂.

Для того щоб визначений інтеграл існував, досить щоб підінтегральна функція була неперервною на відрізку інтегрування.

Тому перед тим, як приступити до вирішення будь-якого визначеного інтеграла, потрібно переконатися в тому, що підінтегральна функція неперервна на відрізку інтегрування.

Визначений інтеграл може бути дорівнює негативному числу або нулю.

Нижня межа інтегрування може бути більше верхньої межі інтегрування.

ПРИКЛАД:

Інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца.

Властивості визначеного інтеграла.

1)  У визначеному інтегралі можна переставити верхню і нижню межу, змінивши при цьому знак.

ПРИКЛАД:

У визначеному

інтеграліперед інтеграцією доцільно поміняти межі інтегрування на << звичний >> порядок:

У такому вигляді інтегрувати значно зручніше.

2)  Властивості лінійності.

де   k = const.

Це справедливо не тільки для двох, але і для будь-якої кількості функцій.

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виносимо константу за знак інтеграла:

Інтегруємо по таблиці за допомогою формули

Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца.

Спочатку підставляємо в  х³  верхня межа, потім нижню межу. Проводимо подальші обчислення і отримуємо остаточну відповідь.

= ²/₃ (2³ – 1³) = ²/₃ (8 – 1) = ²/₃ ∙ 7 = ¹⁴/₃ = 4²/₃.

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуємо властивості лінійності визначеного інтеграла.

Для кожного з трьох доданків застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца.

 

Розглянемо другий спосіб вирішення цього інтеграла.

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку використовуємо правило лінійності і інтегруємо по таблиці. Виходить одна дужка з виділенням меж.

У первісну функцію спочатку підставимо  4, потім  –2. А потім знайдемо різницю.

Перед тим, як використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, корисно провести перевірку і переконатися, що первісна функція знайдена правильно.
Так, стосовно до розглянутого прикладу, перед тим, як в первісну функцію

підставляти верхні і нижні межі, необхідно перевірити правильно чи ні, знайдений невизначений інтеграл. Диференціюючи:

Отримана вихідна підінтегральна функція, значить, невизначений інтеграл знайдено вірно.

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Завдання до уроку 6

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Границя функції
• Урок 2. Визначення похідної функції
• Урок 3. Диференціювання функції
• Урок 4. Первісна функція
• Урок 5. Невизначений інтеграл
• Урок 7. Застосування похідної до дослідження функцій
• Урок 8. Застосування визначеного інтеграла для вирішення геометричних завдань