Урок 6. Визначений інтеграл

воскресенье, 3 мая 2020 г.

Урок 6. Визначений інтеграл

ВИДЕО УРОК

Для того, щоб навчитися вирішувати визначені інтеграли необхідно

1) Уміти знаходити невизначені інтеграли.

2) Уміти вичислити визначений інтеграл.

У загальному вигляді визначений інтеграл записується так:

В порівнянні з невизначеним інтегралом додалися межі інтегрування.

Нижня межа інтегрування позначається буквою а.

Верхня межа інтегрування позначається буквою b.

Відрізок [a; b] називається відрізком інтеграції.

Визначений інтеграл – це число. Вирішити визначений інтеграл це означає знайти число.

Знаходиться визначений інтеграл за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

Етапи рішення визначеного інтеграла.

1) Спочатку знаходимо первісну функцію

F(Х)

(невизначений інтеграл). Константа С в визначеному інтегралі не додається.

Позначення

є чисто технічним, і вертикальна паличка не несе ніякого математичного сенсу. Запис

потрібна для підготовки застосування формули Ньютона-Лейбніца.

2) Підставляємо значення верхньої межі в первісну функцію

F(b).

3) Підставляємо значення нижньої межі в первісну функцію

F(а).

4) Знаходимо різницю (число)

F(b) – F(a).

Визначений інтеграл існує не завжди.

ПРИКЛАД:

Інтеграла

не існує, оскільки відрізок інтегрування

[–5; –2]

не входить в область визначення підінтегральної функції (значення під квадратним коренем не можуть бути негативними).

ПРИКЛАД:

Інтеграла

не існує, оскільки на відрізку інтегрування

[–2; 3]

тангенс терпить нескінченні розриви в точках

х = –^π/₂, х = ^π/₂.

Для того щоб визначений інтеграл існував, досить щоб підінтегральна функція була неперервною на відрізку інтегрування.

Тому перед тим, як приступити до вирішення будь-якого визначеного інтеграла, потрібно переконатися в тому, що підінтегральна функція неперервна на відрізку інтегрування.

Визначений інтеграл може бути дорівнює негативному числу або нулю.

Нижня межа інтегрування може бути більше верхньої межі інтегрування.

ПРИКЛАД:

Інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца.

Властивості визначеного інтеграла.

1) У визначеному інтегралі можна переставити верхню і нижню межу, змінивши при цьому знак.

ПРИКЛАД:

У визначеному

інтеграліперед інтеграцією доцільно поміняти межі інтегрування на << звичний >> порядок:

У такому вигляді інтегрувати значно зручніше.

2) Властивості лінійності.

де k = const.

Це справедливо не тільки для двох, але і для будь-якої кількості функцій.

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виносимо константу за знак інтеграла:

Інтегруємо по таблиці за допомогою формули

Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца.

Спочатку підставляємо в х³ верхня межа, потім нижню межу. Проводимо подальші обчислення і отримуємо остаточну відповідь.

= ²/₃ (2³ – 1³) = ²/₃ (8 – 1) = ²/₃ ∙ 7 = ¹⁴/₃ = 4²/₃.

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуємо властивості лінійності визначеного інтеграла.

Для кожного з трьох доданків застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца.

Розглянемо другий спосіб вирішення цього інтеграла.

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку використовуємо правило лінійності і інтегруємо по таблиці. Виходить одна дужка з виділенням меж.

У первісну функцію спочатку підставимо 4, потім –2. А потім знайдемо різницю.

Перед тим, як використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, корисно провести перевірку і переконатися, що первісна функція знайдена правильно.
Так, стосовно до розглянутого прикладу, перед тим, як в первісну функцію