Урок 9. Площа трапеції

ВІДЕОУРОК

Нехай  ABCD – дана трапеція. Діагональ трапеції  АС  розбиває її на два трикутники:  АВС  і  СDА. Отже, площа трапеції дорівнює сумі площ цих трикутників.

Площа трикутника  АВС  дорівнює 

¹/₂ × АВ × СЕ,

а площа трикутника  АСD  дорівнює

¹/₂ × DС × АF.

Висоти  СЕ  і  АF  цих трикутників дорівнюють відстані між паралельними прямими  АВ  і  СD. Ця відстань називається висотою трапеції.

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту.

Або добутку середньої лінії на висоту:

де

середня лінія.

ЗАДАЧА:

AВСD  – трапеція

BC = 5 см, AD = 6 см,

DК ⊥ AD, ВК = 4 см.

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу трапеції, зображеної на рисунку.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

НD = 28 – 18 = 10 (см).

СН = НD = 10 (см).

ВІДПОВІДЬ:  230 см²

ЗАДАЧА:

Обчислити площу трапеції, паралельні сторони якої дорівнюють  16 см  і  44 см, а непаралельні – 17 см  і  25 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трапеції  ABCD  проведемо  DE ∥ BC.

AE = AB – CD

= 44 см – 16 см = 28 см; 

DE = BC = 17 см.

Нехай  DF – висота трапеції.

З  ∆ ADE  дістанемо:

ЗАДАЧА:

Діагоналі трапеції перпендикулярні, одна з них дорівнює  48 см, а середня лінія трапеції – 25 см. Знайдіть висоту трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD (ВС ∥ АD) – задана трапеція,

у якої  АС ⊥ ВD  і  ВD = 48 см, середня лінія  КN = 25 см. Проведемо  ВF ⊥ АD. ВF – висота трапеції. Проведемо пряму паралельну  АС  з точки  В  до перетину з  АD. Одержимо відрізок  МВ, при цьому точка  М  належатиме прямій  DА.

МВ = АС, МА = ВС. Тоді 

МD = АD + АМ = АD + ВС =

= 2КN = 50 см.

∠ МВD = ∠ АОD = 90°.

З  ∆ МВD (∠ В = 90°):

Висота  ВF  трапеції буде і висотою трикутника  МВD.

S_∆MBD = ¹/₂ MD ∙ BF = ¹/₂∙ 50∙ BF = 25BF (см²).

S_∆MBD = ¹/₂ MB ∙ BD = ¹/₂∙ 14∙ 48 = 336 (см²).

Одержимо:

25ВF = 336, звідки

BF = ³³⁶/₂₅ = 13,44 (см).

ВІДПОВІДЬ:  13,44 см

ЗАДАЧА:

Основи трапеції дорівнюють  15 см  і  36 см, а бічні сторони – 13 см  і  20 см. Знайдіть площу трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD (ВС ∥ АD) – задана трапеція,

АD = 36 см, ВС = 15 см,

АВ = 13 см, СD = 20 см.

Побудуємо  (ВС ∥ АD), тоді чотирикутник  ВСDК  за означенням паралелограмом. Отже,

ВК = СD = 20 см,

КD = ВС= 15 см,

АК = АD – КD =

= 36 – 15 = 21 (см).

Знайдемо площу трикутника  АВК  за формулою Герона:

де  h – висота трикутника та трапеції.

¹/₂ ∙12∙ h = 126, h = 12 (см).

S_тр. = ¹/₂  (36 + 15) ∙ 12 = 306 (см²).

ВІДПОВІДЬ:  306 см²

Завдання до уроку 9

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання площі
• Урок 2. Площа прямокутника
• Урок 3. Площа квадрата
• Урок 4. Площа трикутника
• Урок 5. Площа прямокутного трикутника
• Урок 6. Площа рівнобедреного трикутника
• Урок 7. Площа паралелограма
• Урок 8. Площа ромба
• Урок 10. Площа рівнобічної трапеції
• Урок 11. Площа прямокутної трапеції
• Урок 12. Площа круга
• Урок 13. Подібність трикутника
• Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників
• Урок 15. Подібність прямокутних трикутників
• Урок 16. Площа багатокутника

Завдання 2. Подібність різносторонніх трикутників

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ПОДІБНІСТЬ РІЗНОСТОРОННІХ ТРИКУТНИКІВ

або

ВІДЕОУРОКОМ

 1. Трикутники  МСD  і  М₁С₁D₁  подібні, їх сторони відповідно дорівнюють  10 см  і  15 см. Чому дорівнює відношення периметра трикутника   М₁С₁D₁  до периметра трикутника  МСD ?

 2. Чи подібні трикутники  MNK  і  M₁N₁K₁, якщо

MN = 7 см, NK = 9 см, MK = 12 см, а 

M₁N₁  = 35 см,  N₁K₁ = 4,5 см, M₁K₁ = 6 см ?

 а)  так;

 б)  ;

 в)  ні;

 г)  .

 3. У трикутник  АВС  вписано ромб  AKPE  так, що кут  А  в них спільний, а вершина  P  належить стороні  ВС. Знайдіть сторону ромба, якщо

АВ = 6 см, АС = 3 см.

 а)  3 см;     

 б)  2 см;     

 в)  4 см;     

 г)  5 см.

 4. Паралельні прямі  АВ  і  СD  перетинають сторони кута  О, зображеного на рисунку,

ОВ = 8 см,

ВD = 6 см,

АС = 12 см.

Знайдіть відрізок  АО.

 а)  4 см;        

 б)  8 см;

 в)  16 см;     

 г)  12 см.

 5. На рисунку зображено трикутники  АВС  і  DEF  такі, що 

∠ А = ∠ D, ∠ C = ∠ F, 

АВ = ¹/₃ DE.

Яка довжина сторони  DF, якщо  АС = 24 см ?

 а)  72 см;

 б)  36 см;

 в)  18 см;

  г)  8 см.

 6. У трикутник  АВС  вписано ромб  СМКD  так, що кут  С  у них спільний, а вершина  К  належить стороні  АВ. Знайдіть сторону  ВС, якщо  АС = 12 см, а сторона ромба дорівнює  4 см.

 а)  12 см;     

 б)  6 см;     

 в)  8 см;     

 г)  4 см.

 7. Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношенні  1 : 4. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 36 см².

  а)  28 см;     

 б)  30 см;      

 в)  30,5 см;     

 г)   32 см.

 8. На сторонах  АВ  і  АС  трикутника  АВС, зображеного на рисунку, позначили точки  М  і  К  так, що 

АМ = ²/₉ АС, АК = ²/₉ АВ.

Знайдіть сторону  ВС, якщо  МК = 18 см.

 а)  4 см;        

 б)  36 см;     

 в)  72 см;     

 г)  81 см.

 9. Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношенні  2 : 7. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює  108 см.

  а)  502 см²;     

 б)  514 см²;     

 в)  504 см²;     

 г)  404 см².

10. На рисунку зображено трикутники  АВС  і  MК  такі, що

∠ A = ∠ M,  ∠ C = ∠ D  і

ВС = ¹/₂ KD.

Яка довжина сторони  MD, якщо  АС = 6 см ?

 а)  3 см;        

 б)  9 см;     

 в)  12 см;     

 г)  18 см.

11. Діагоналі трапеції  ABCD  (AD ∥ BC) перетинаються в точці  О. Знайдіть відношення площ трикутників  AOD  і  BOC, якщо

AO = 8 см, OC = 5 см.

12. Сторони  АВ  і  DЕ  трикутників  АВС  і  СDЕ, зображених на рисунку, паралельні,

DЕ = 2АВ, АЕ =12 см.

Яка довжина відрізка  СЕ ?

 а)  10 см;        

 б)  8 см;     

 в)  6 см;          

 г)  4 см.