Завдання 3. Ірраціональні нерівності

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

або

ВИДЕО УРОК

 1. Знайти середнє арифметичне цілих рішень для нерівності:

 а)  4;     

 б)  2;     

 в)  1;     

 г)  3.

 2. Знайти найменше натуральне рішення нерівності:

 а)  1;     

 б)  4;     

 в)  3;     

 г)  2.

 3. Знайти найменше натуральне рішення нерівності:

 а)  1;     

 б)  4;     

 в)  2;     

 г)  3.

 4. Знайти найменше натуральне рішення нерівності:

 а)  3;     

 б)  1;     

 в)  2;     

 г)  4.

 5. Знайти найбільше ціле негативне рішення нерівності:

 а)  –3;     

 б)  –4;     

 в)  0;     

 г)  –5.

 6. Знайти найбільше ціле негативне рішення нерівності:

 а)  –3;     

 б)  0;     

 в)  –1;     

 г)  –2.

 7. Знайти найменше рішення нерівності:

 а)  1;     

 б)  0;     

 в)  3;     

 г)  2.

 8. Знайти найменше рішення нерівності:

 а)  0;     

 б)  3;     

 в)  2;     

 г)  1.

 9. Знайдіть усі значення змінної, при яких має зміст вираз:

 а)  х ≤ 2;     

 б)  х ≥ –2;     

 в)  х ≤ –2;     

 г)  х ≥ 2.

10. Знайти найбільше рішення нерівності:

 а)  3;     

 б)  5;     

 в)  7;     

 г)  2.

11. Знайти найбільше рішення нерівності:

 а)  3;    

 б)  2;     

 в)  0;     

 г)  1.

12. Знайти суму цілих рішень нерівності:

 а)  2;     

 б)  4;     

 в)  0;     

 г)  5.

Завдання до уроку 12

• Завдання 1 
• Завдання 2

Завдання 2. Ірраціональні нерівності

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

або

ВИДЕО УРОК

 1. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  –7;     

 б)  0;     

 в)  –3;     

 г)  –5.

 2. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  2;     

 б)  –2;     

 в)  1;     

 г)  –1.

 3. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  –3;     

 б)  1;     

 в)  4;     

 г)  –1.

 4. Знайти довжину інтервалу, на якому виконується нерівність:

 а)  17;     

 б)  21;     

 в)  20;     

 г)  25.

 5. Знайти довжину інтервалу, на якому виконується нерівність:

 а)  2,6;     

 б)  2,1;     

 в)  2,8;     

 г)  2,5.

 6. Знайти довжину інтервалу, на якому виконується нерівність:

 а)  1;     

 б)  3;     

 в)  2;     

 г)  4.

 7. Знайти найбільше ціле  х, що задовольняє нерівності:

 а)  10;     

 б)  14;     

 в)  17;     

 г)  18.

 8. Знайти середину інтервалу, на якому виконується нерівність:

 а)  5,6;     

 б)  5,25;     

 в)  5,75;     

 г)  5,33.

 9. Знайти середину інтервалу, на якому виконується нерівність:

 а)  2;     

 б)  1;     

 в)  4;     

 г)  3.

10. Знайти середину інтервалу, на якому виконується нерівність:

 а)  –1;     

 б)  0;     

 в)  1;     

 г)  –2.

11. Знайти середнє арифметичне цілих рішень для нерівності:

 а)  –1,6;    

 б)  –1,2;     

 в)  –1,5;     

 г)  –1,7.

12. Знайти середнє арифметичне цілих рішень для нерівності:

 а)  1,3;     

 б)  1,5;     

 в)  1,8;     

 г)  1,6.

Завдання до уроку 12

• Завдання 1 
• Завдання 3

Завдання 1. Ірраціональні нерівності

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

або

ВИДЕО УРОК

 1. Розв'яжіть нерівність:

 а)  (–∞; 1);       

 б)  розв'язків немає;

 в)  (–∞; +∞);     

 г)  (–∞; 2].

 2. Вирішити нерівність і вказати найменше ціле рішення:

 а)  5;     

 б)  2;     

 в)  3;     

 г)  1.

 3. Вирішити нерівність і вказати найменше ціле рішення:

 а)  –8;     

 б)  –3;     

 в)  0;     

 г)  –6.

 4. Вирішити нерівність і вказати найменше ціле рішення:

 а)  1;     

 б)  0;     

 в)  ∅;     

 г)  3.

 5. Вирішити нерівність і вказати найменше ціле рішення:

 а)  –5;     

 б)  –1;     

 в)  –3;     

 г)  –6.

 6. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  ∅;     

 б)  –1;     

 в)  2;     

 г)  0.

 7. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  3;     

 б)  0;     

 в)  5;     

 г)  ∅.

 8. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  1;     

 б)  –1;     

 в)  3;     

 г)  2.

 9. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  0;     

 б)  3;     

 в)  1;     

 г)  2.

10. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  –1;     

 б)  ∅;     

 в)  1;     

 г)  –2.

11. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  ∅;    

 б)  –5;     

 в)  –2;     

 г)  0.

12. Знайти найменше ціле рішення нерівності:

 а)  –3;     

 б)  –1;     

 в)  –4;     

 г)  ∅.

Завдання до уроку 12

• Завдання 2
• Завдання 3

Урок 2. Визначення похідної функції

ВИДЕО УРОК

Визначення похідної базується на понятті границі.

Поняття зростання, убування, максимуму, мінімуму функції.

Уявіть, що нас чекає подорож в місто, до якого можна добратися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо тільки прямі магістралі. Проте прямолінійні напрями теж бувають різними. До міста можна добратися по рівному автобану. Або по горбистому шосе – вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна – увесь час під уклон. Екстремалі виберуть маршрут через ущелину з крутим обривом і прямовисним підйомом.

Але які б не були переваги, бажано знати місцевість або, щонайменше, мати в розпорядженні її топографічну карту. А якщо така інформація відсутня ? Адже можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті наштовхнутися на гірськолижний спуск. Не факт, що навігатор і навіть супутниковий знімок дадуть достовірні дані. Тому непогано б формалізувати рельєф шляху засобами математики.

Розглянемо деяку дорогу

y = f(x)

(вигляд збоку)

Подорож відбувається зліва направо. Для простоти вважаємо, що функція безперервна на даній ділянці.

Які особливості у цього графіку ?

На інтервалах

(–∞; a), (b, +∞)

функція зростає, тобто кожне наступне її значення більше за попереднє. Графік йде від низу до верху (забираємося на гірку). А на інтервалі

(a,b)

функція убуває – кожне наступне значення менше за попереднє, і графік йде зверху вниз (спускаємося по схилу).

Також звернете увагу на особливі точки. У точці  х = а  ми досягаємо максимуму, тобто існує така ділянка шляху, на якому значення  f(а)   буде найбільшим (високим). У точці ж  х = b  досягається мінімум, і існує така її околиця, в якій значення  f(b)   найменше (низьке).

На проміжках

(–∞; a), (b, +∞)

функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі, – на інтервалі  (–∞; a)  графік злітає вгору набагато крутіше, ніж на інтервалі  (b: +∞). Чи не можна виміряти крутизну дороги за допомогою математичного інструментарію ?

Швидкість зміни функції.

Візьмемо деяке значення  ∆х  (читається <<дельта  ікс>>), яке назвемо приростом аргументу, і почнемо його <<приміряти>> до різних точок нашого шляху:

1) Подивимося на найлівішу точку: минувши відстань  ∆х, ми піднімемося по схилу на висоту  ∆у₁  (зелена лінія). Величина  ∆у₁  називається приростом функції, і в даному випадку цей приріст позитивний (різниця значень по осі  ОY – більше нуля). Складемо відношення

яке і буде мірилом крутизни нашої дороги. Очевидно, що

– це цілком конкретне число, і, оскільки обидва прирости позитивні, то

Позначення  ∆х  є єдиним символом, тобто не можна відривати дельту від ікса і розглядати ці букви окремо.

Розглянемо отриманий дріб.

Нехай спочатку ми знаходимося на висоті  20  метрів (у лівій чорною иочке). Здолавши відстань  ∆х = 10  метрів (ліва червона лінія), ми виявимося на висоті  60  метрів. Тоді приріст функції складе
∆у₁ = 60 – 20 = 40 (м)

(зелена лінія) і:

Таким чином, на кожному метрі цієї ділянки дороги висота збільшується в середньому на  4 м. Іншими словами, побудоване відношення характеризує середню швидкість зміни (в даному випадку зростання) функції. Числові значення даного прикладу відповідає пропорціям креслення лише приблизно. 

2) Тепер пройдемо ту ж саму відстань  ∆х  від найправішої чорної точки. Тут під'їм пологіший, тому приріст  ∆у₃   (малинова лінія) відносно невеликий, і відношення

в порівнянні з попереднім випадком буде дуже скромним.

Умовно кажучи,
∆х = 10 м, ∆у₃ = 5 м
і швидкість зростання функції складає

тобто, тут на кожен метр шляху доводиться в середньому підлога метра підйому.

3) Подивимося на верхню чорну точку, розташовану на осі ординат. Припустимо, що це відмітка  50 м. Знову долаємо відстань  ∆х = 10 м, внаслідок чого виявляємося нижче – на рівні  30 м. Оскільки здійснений рух зверху вниз, той підсумковий приріст функції (висоти) буде негативним:

∆у₂ = 30 – 50 = –20 (м)

(коричневий відрізок на кресленні). І в даному випадку йдеться про швидкість убування функції:

тобто за кожен метр шляху цієї ділянки висота убуває в середньому на  2 м.
Яке значення <<вимірювального еталону>>  ∆х  краще всього використати ? Абсолютно зрозуміло, 10 м – це дуже грубо. На них запросто уміщатиметься добра дюжина купини. Таким чином, при десятиметровому    ми не отримаємо зрозумілої характеристики подібних ділянок шляху за допомогою відношення

З проведеного міркування виходить виведення – чим менше значення  ∆х, тим точніше ми опишемо рельєф дороги.

Більше того, справедливі наступні факти:

– для будь-якої точки підйомів

(–∞; a), (b, +∞)

можна підібрати значення  ∆х  (хай і дуже мале), яке уміщається у межах того або іншого підйому. А це означає, що відповідний приріст висоти  ∆у  буде гарантовано позитивним, і нерівність

конкретно вкаже зростання функції в кожній точці цих інтервалів.

Аналогічно, для будь-якої точки схилу  (a, b)  існує значення  ∆х, яке повністю уміщатиметься на цьому схилі. Отже, відповідний приріст висоти  ∆у  однозначно негативно, і нерівність

конкретно покаже спад функції в кожній точці цього інтервалу.
Особливо цікавий випадок, коли швидкість зміни функції дорівнює нулю:

Нульовий приріст висоти  (∆у = 0) – ознака рівного шляху.

Похідна функція в точці.


Розглянемо функцію  y = f (x)  (синій графік), яка визначена і безперервна на деякому інтервалі, довільну точку  х₀, що належить цьому інтервалу, і відповідне значення   f(x).

Задамо аргументу функції приріст  ∆х  (червоний відрізок) в точці  х₀. Зверніть увагу, що  х₀ + ∆х – це теж цілком певна точка інтервалу (відмічена малиновим кольором). І в цій точці існує своє значення функції

f(х₀ + ∆х).

приріст аргументу  ∆х  спричинив приріст функції

∆у = f(х₀ + ∆х) – f(х₀)

(малиновий відрізок).

В даному випадку  ∆у ˃ 0, оскільки як приклад вибраний проміжок, на якому функція зростає.

На малюнку проведена січна  KL (коричнева пряма) і прямокутний трикутник  KLN. Кут нахилу січної до осі  ОХ  позначений через  α  і відмічений коричневою дугою в двох місцях. Цей кут однозначно визначається приростами  ∆х  і  ∆y. Розглянемо прямокутний трикутник  KLN  і кут  α = ∠ LKN. Тангенс цього кута дорівнює відношенню катета, що проти лежить, до прилеглого катета:

Похідній функції в точці  х₀  називається границя відношення приросту функції  ∆y  до приросту аргументу ∆х, що викликав його, в цій точці при

Пам'ятайте, що приріст аргументу прагне до нуля, але нуля не досягає, іншими словами, величина  ∆х  нескінченно мала, але не дорівнює нулю.

Геометричний сенс похідної.

Якщо узяти лінійку і поєднати її ребро з прямою  LN, і, згідно з визначенням похідної

повільно рухати лінійку вліво до точки  х₀, зменшуючи тим самим приріст  ∆х, то ми побачимо, що приріст функції  ∆y = LN  теж зменшується: точка  N  буде нескінченно близько наближатися до точки  K  по горизонталі (червоному відрізку), і точка  L – нескінченно близько наближатися до тієї ж точки  До, але вже по графіку функції  

y = f (x)  (синьої лінії).

В результаті січна  KL  прагне зайняти положення дотичної

y = kx + b

до графіку функції

y = f(x)

у точці  х₀. Шукана дотична зображена зеленим кольором.

Таким чином, ми отримали строге визначення дотичної до графіку функції.

Дотична до графіку функції в точці – це граничне положення січної в цій точці.

Розглянемо формулу тангенса кута нахилу січної

і здійснимо в обох її частинах, так званий граничний перехід. При нескінченному зменшенні  ∆х  і знаходження границі

кут нахилу  α  січної  KL  прагне до кута нахилу  φ  дотичної

y = kx + b

(останній двічі відмічений зеленими дугами).

Аналогічне твердження справедливо і для тангенсів цих кутів:

У результаті:

Похідна функції в точці  х₀  чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіку функції в цій точці:

Тангенс кута нахилу дотичної – це її кутовий коефіцієнт:

tg φ = k.

Для визначення похідної геометричним шляхом, необхідно:

– в точці визначення похідної провести дотичну;

– написати рівняння цієї дотичної, де коефіцієнт при невідомому і буде похідною.

ПРИКЛАД:

Для дотичної

у = –х + ⁷/₄,

похідна рівна  –1.

Для дотичної

у = 2,

похідна рівна  0.

Для дотичної

у = 2х + 1,

похідна рівна  2.

Для дотичної

у = 4х – 2,

похідна рівна  4.

Розглянемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

y – y₀ = k(x – x₀).

Враховуючи отриману рівність

f ' (x₀) = tg φ = k,

перепишемо рівняння в наступному виді:

y – y₀ = f ' (x₀)(x – x₀).

Існування похідної в точці і безперервність функції.

За визначенням

отже, існування похідної в точці  x₀  тісно пов'язане з існуванням границі

у цій точці.

У визначенні похідної найважливішим є той факт, що приріст аргументу  ∆х  задається і в інший бік.

Зображуйте координатні осі, приблизно такий же графік функції  

y = f(x)  

і точки  x₀,  f(x₀).

Відкладіть на кресленні невеликий відрізок  ∆х  зліва від точки  x₀. При цьому точка 

x₀ + ∆х 

розташується лівіше за точку  x₀, а точка

f(x₀ + ∆х)

– нижче точки  f(x₀). Тепер проведіть січну графіка функції

y = f(x) 

і почніть подумки зменшувати приріст  ∆х  управо до точки  x₀. В результаті ця січна прагнутиме зайняти положення тієї ж самої <<зеленої>> дотичної.

Приріст з лівого боку здійснюється <<проти осі абсцис>> і тому негативно: ∆х < 0. Відповідний приріст  ∆у  теж менше нуля, і тому лівобічна межа буде позитивною.

Він показує, як і правостороння границя, зростання функції в точці  x₀.

Праві і ліві границі кінцеві і співпадають, що говорить про існування загальної границі, похідної і єдиної дотичної.

Таким чином, існування похідної в точці геометрично дуже зручно асоціювати з існуванням загальної дотичної в цій точці.

Поняття похідної функції.

Візьмемо формулу похідної в точці

і замінимо в ній  x₀  на  х:

Для функції  y = f(x)  згідно із законом

ставиться у відповідності інша функція  у' = f ' (x), яка називається похідною функцією (чи просто похідною).

Похідна  у' = f ' (x)  характеризує швидкість зміни функції  y = f(x).

Розглянемо деяку точку  x₀  області визначення функції

y = f(x).

Функція безперервна в цій  точці. Тоді:

1)  Якщо  f ' (x₀) ˃ 0, то функція  y = f(x)  зростає в точці  x₀. І, очевидно існує інтервал (нехай навіть дуже малий), що містить точку  x₀, на якому функція  y = f(x)  росте, і її графік йде <<від низу до верху>>.

2)  Якщо  f ' (x₀) < 0, то функція  y = f(x)  убуває в точці  x₀. І існує інтервал, що містить точку  x₀, на якому функція  y = f(x)  убуває, і її графік йде <<зверху вниз>>.

3)  Якшо  f ' (x₀) = 0, те нескінченне близько біля точки  x₀  функція  

y = f(x)  

зберігає свою швидкість постійною. Так буває у функції константи і в критичних точках функції, зокрема в точках мінімуму і максимуму.

Що розуміється під словом <<похідна>> ?

Функція  у' = f ' (x)  пішла від функції  y = f(x).

Терміни, що тлумачать механічний сенс похідної.

Розглянемо закон зміни координати тіла  x(t), залежною від часу  t, і функцію швидкості руху цього тіла  v(t). Функція  v(t)  характеризує швидкість зміни координати тіла, тому являється першій похідної функції  x(t)  за часом:

Якби в природі не існувало поняття <<рух тіла>>, те не існувало б і похідного поняття <<швидкість тіла>>. Прискорення тіла  а(t) – це швидкість зміни швидкості, тому:

Якби в природі не існувало початкових понять <<рух тіла>> і <<швидкість руху тіла>>, те не існувало б і похідного поняття <<прискорення тіла >>

ПРИКЛАД:

Використовуючи визначення похідної, довести, що похідна константи дорівнює нулю.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Функція константа має вигляд

f(x) = С,

і графічно – це сімейство прямих, паралельних осі абсцис.

Зображуватимемо графік функції

f(x) = 2.

Це <<рівна дорога>>, тобто функція  і не зростає і не убуває в кожній точці. Ні вгору і не вниз.

Покажемо аналітично, що похідна функції-константи дорівнює нулю.

Розглянемо довільне значення  x₀, в якому

f(x₀) = С.

Надамо аргументу приріст:

x₀ + ∆х.

Функція увесь час постійна, тому

f(x₀ + ∆х) = С

і приріст функції

∆у = f(x₀ + ∆х) – f(x₀) = С – С = 0.

За визначенням похідної в точці:

Тут немає невизначеності: нуль, що ділиться на нескінченно мале число  ∆х, дорівнює нулю. Оскільки в якості точки  x₀  можна узяти будь-кого <<ікс>>, те проведемо заміну  x₀ = х  і отримаємо:

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функції:

f(x) = –2х – 1.

за визначенням.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо довільне значення  x₀, в якому

f(x₀) = –2x₀ – 1.

Задамо аргументу приріст  ∆х  і вичислимо відповідне значення функції:

f(x₀ + ∆х) = –2(x₀ + ∆х) – 1

= –2x₀ – 2∆х – 1.

Вичислимо приріст функції:

∆у = f(x₀ + ∆х) – f(x₀) = 

–2x₀ – 2∆х – 1 – (–2x₀ – 1) =

–2x₀ – 2∆х – 1 + 2x₀ + 1 = –2∆х.

За визначенням похідної в точці:

Оскільки в якості    можна узяти будь-яке значення  х, то

f '(x) = –2.

Про що говорить знайдена похідна ?

По-перше, для будь-кого <<ікс>> вона негативна, тобто функція

f(x) = –2х – 1

убуває на усій області визначення.

По-друге, це убування постійне, тобто <<нахил гірки скрізь однаковий>> – в якій би точці ми не знаходилися, граничне відношення

буде незмінним.

ВІДПОВІДЬ:  –2

Використовуючи цей же алгоритм, можна вирішити завдання в загальному вигляді і довести, що похідна лінійної функції

f(x) = kх + b

дорівнює її кутовому коефіцієнту

f '(x) = k.

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функції:

f(x) = х² + 2

за визначенням.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо довільну точку  x₀  і відповідне значення

f(x₀) = (x₀)² + 2.

Задамо приріст  ∆х  і вичислимо значення функції в точці

x₀ + ∆х.

f(x₀ + ∆х) = (x₀ + ∆х)² + 2 =

(x₀)² + 2x₀∆х + (∆х)² + 2.

Знайдемо приріст функції:

∆у = f(x₀ + ∆х) – f(x₀) =

(x₀)² + 2x₀∆х + (∆х)² + 2 – ((x₀)² + 2)

= (x₀)² + 2x₀∆х + (∆х)² + 2 – (x₀)² – 2

= 2x₀∆х + (∆х)².

За визначенням похідної в точці:

Оскільки в якості  x₀  можна розглянути будь-яку точку  х  області определнения функції

f(x) = х² + 2,

те проведемо заміну  x₀ = х   і отримаємо

f '(x) = 2х.

Початкова функція

f(x) = х² + 2

і її похідна

f '(x) = 2х.

– це дві абсолютно різні функції, проте між ними існує чіткий і прозорий зв'язок.

На інтервалі   (–∞, 0)   похідна негативна:

f '(x) < 0

(червона лінія) що говорить про убування функції  f(x)  на цьому інтервалі. Гілка параболи йде зверху вниз.

А на інтервалі  (0, +∞)  похідна позитивна:

f '(x) ˃ 0

(зелена лінія) значить, функція  f(x)  росте на цьому інтервалі, і її графік йде від низу до верху.

При  х = 0  похідна дорівнює нулю:

f '(0) = 2 ∙ 0 = 0.

Знайдене значення показує, що швидкість зміни функції

f(x) = х² + 2

у точці  х = 0  дорівнює нулю (функція не росте в ній і не убуває). В даному випадку тут мінімум функції.

Усе це можна затверджувати навіть не знаючи, що таке парабола і як виглядає графік функції

f(x) = х² + 2.

Значення похідної в точці виражає собою деяку міру швидкості зміни функції в цій точці. Знайдемо декілька значень похідної.

f '(–0,5) = 2 ∙ (–0,5) = –1,

f '(0) = 2 ∙ 0 = 0,

f '(1) = 2 ∙ 1 = 2,

f '(2) = 2 ∙ 2 = 4,

Таким чином, в точці  х = – 0,5  функція

f(x) = х² + 2   

убуває, в точці  х = 0  зберігає швидкість постійною, а в точках 

х = 1, х = 2

– росте. Причому

f '(2) ˃ f '(1).

тому можна сказати (не дивлячись на малюнок), що в околиці точки  х = 2  графік функції

f(x) = х² + 2

йде вгору крутіше, ніж поблизу точки  х = 1.

Завдання до уроку 2

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Границя функції
• Урок 3. Диференціювання функції
• Урок 4. Первісна функція
• Урок 5. Невизначений інтеграл
• Урок 6. Визначений інтеграл
• Урок 7. Застосування похідної до дослідження функцій
• Урок 8. Застосування визначеного інтеграла для вирішення геометричних завдань