ВИДЕО УРОК
Визначення похідної базується на понятті границі.
Поняття зростання, убування, максимуму, мінімуму функції.
Уявіть, що нас чекає подорож в місто, до якого можна добратися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо тільки прямі магістралі. Проте прямолінійні напрями теж бувають різними. До міста можна добратися по рівному автобану. Або по горбистому шосе – вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна – увесь час під уклон. Екстремалі виберуть маршрут через ущелину з крутим обривом і прямовисним підйомом.
Але які б не були переваги, бажано знати місцевість або, щонайменше, мати
в розпорядженні її топографічну карту. А якщо така інформація відсутня ? Адже
можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті наштовхнутися на
гірськолижний спуск. Не факт, що навігатор і навіть супутниковий знімок дадуть
достовірні дані. Тому непогано б формалізувати рельєф шляху засобами
математики.
Розглянемо деяку дорогу
y = f(x)
(вигляд збоку)
Які особливості у цього графіку ?
На
інтервалах
(–∞; a), (b, +∞)
функція
зростає, тобто кожне наступне її значення більше за попереднє. Графік йде від
низу до верху (забираємося на гірку). А на інтервалі
(a,b)
функція
убуває – кожне наступне значення менше за попереднє, і графік йде зверху вниз
(спускаємося по схилу).
Також звернете увагу на особливі точки. У точці х = а ми досягаємо максимуму, тобто існує така
ділянка шляху, на якому значення f(а) буде найбільшим (високим). У точці ж х = b досягається мінімум, і існує така її
околиця, в якій значення f(b) найменше (низьке).
На
проміжках
(–∞; a), (b, +∞)функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі, – на інтервалі (–∞; a) графік злітає вгору набагато крутіше, ніж на інтервалі (b: +∞). Чи не можна виміряти крутизну дороги за допомогою математичного інструментарію ?
Швидкість зміни
функції.
Візьмемо деяке значення ∆х (читається <<дельта ікс>>), яке назвемо приростом
аргументу, і почнемо його <<приміряти>> до різних точок нашого
шляху:
Розглянемо отриманий дріб.
Нехай спочатку ми знаходимося на висоті 20 метрів (у лівій чорною иочке). Здолавши
відстань ∆х = 10 метрів (ліва червона
лінія), ми виявимося на висоті 60 метрів. Тоді
приріст функції складе
∆у1 = 60 – 20 = 40 (м)
(зелена лінія) і:∆у1 = 60 – 20 = 40 (м)
2) Тепер пройдемо ту ж саму відстань ∆х від найправішої чорної точки. Тут під'їм пологіший, тому приріст ∆у3 (малинова лінія) відносно невеликий, і відношення
Умовно кажучи,
∆х = 10 м, ∆у3 = 5 м
і швидкість зростання функції складає
тобто, тут на кожен метр шляху доводиться в середньому підлога
метра підйому.
∆х = 10 м, ∆у3 = 5 м
і швидкість зростання функції складає
3) Подивимося на верхню чорну точку, розташовану на осі ординат. Припустимо, що це відмітка 50 м. Знову долаємо відстань ∆х = 10 м, внаслідок чого виявляємося нижче – на рівні 30 м. Оскільки здійснений рух зверху вниз, той підсумковий приріст функції (висоти) буде негативним:
∆у2 = 30 – 50 = –20 (м)
(коричневий відрізок на кресленні). І в даному
випадку йдеться про швидкість убування функції:
Яке значення <<вимірювального еталону>> ∆х краще всього використати ? Абсолютно зрозуміло, 10 м – це дуже грубо. На них запросто уміщатиметься добра дюжина купини. Таким чином, при десятиметровому ми не отримаємо зрозумілої характеристики подібних ділянок шляху за допомогою відношення
Більше того, справедливі наступні факти:
– для будь-якої точки підйомів
конкретно вкаже зростання функції в кожній точці цих інтервалів.
Аналогічно, для будь-якої точки схилу
(a, b) існує значення
∆х, яке повністю уміщатиметься на цьому схилі. Отже, відповідний приріст
висоти ∆у однозначно негативно, і
нерівність
(–∞; a), (b,
+∞)
можна підібрати значення ∆х (хай і дуже мале), яке
уміщається у межах того або іншого підйому. А це означає, що відповідний
приріст висоти ∆у буде гарантовано позитивним, і
нерівність
Особливо цікавий випадок, коли швидкість зміни функції дорівнює нулю:
Похідна функція в точці.
Розглянемо функцію y = f (x) (синій графік), яка визначена і безперервна на деякому інтервалі, довільну точку х0, що належить цьому інтервалу, і відповідне значення f(x).
f(х0 + ∆х).
приріст
аргументу ∆х спричинив приріст функції
∆у = f(х0 + ∆х) – f(х0)
(малиновий
відрізок).
В даному випадку ∆у
˃ 0, оскільки як приклад вибраний проміжок, на якому функція зростає.
На малюнку проведена січна KL (коричнева пряма) і прямокутний трикутник KLN. Кут нахилу січної до осі ОХ
позначений через α і відмічений коричневою дугою в
двох місцях. Цей кут однозначно визначається приростами ∆х і ∆y. Розглянемо прямокутний трикутник KLN і
кут α = ∠ LKN. Тангенс цього кута дорівнює відношенню катета, що проти лежить, до
прилеглого катета:
Геометричний
сенс похідної.
Якщо
узяти лінійку і поєднати її ребро з прямою
LN, і, згідно з визначенням похідної
повільно рухати
лінійку вліво до точки х0, зменшуючи тим самим приріст ∆х, то ми побачимо, що приріст функції
∆y = LN теж зменшується: точка N буде нескінченно близько
наближатися до точки K по горизонталі (червоному відрізку), і
точка L – нескінченно близько наближатися до тієї ж
точки До, але вже по графіку
функції
y = f (x) (синьої лінії).
і здійснимо в обох її частинах, так званий граничний перехід.
При нескінченному зменшенні ∆х і знаходження границі
кут
нахилу α січної
KL прагне до кута
нахилу φ дотичної
У результаті:
Похідна функції в точці х0 чисельно дорівнює тангенсу кута
нахилу дотичної до графіку функції в цій точці:
Тангенс
кута нахилу дотичної – це її кутовий коефіцієнт:
Він показує, як і правостороння границя, зростання функції
в точці x0.
Поняття похідної функції.
Візьмемо формулу похідної в точці
і замінимо в ній x0 на х:
Для функції y
= f(x) згідно із законом
ставиться у відповідності інша функція у' = f ' (x), яка
називається похідною функцією (чи просто похідною).
2) Якщо f ' (x0) < 0, то функція y = f(x) убуває в точці x0. І існує інтервал, що містить точку x0, на якому функція y = f(x) убуває, і її графік йде <<зверху вниз>>.
3) Якшо f ' (x0) = 0, те нескінченне близько біля точки x0 функція
Терміни, що тлумачать механічний сенс похідної.
Розглянемо закон зміни координати тіла x(t), залежною від часу t, і функцію швидкості руху цього тіла v(t). Функція v(t) характеризує швидкість зміни координати тіла, тому являється першій похідної функції x(t) за часом:
Якби в природі не існувало поняття <<рух
тіла>>, те не існувало б і похідного поняття <<швидкість
тіла>>.
Прискорення тіла а(t) – це швидкість зміни швидкості, тому:
Якби
в природі не існувало початкових понять <<рух тіла>> і
<<швидкість руху тіла>>, те не існувало б і похідного поняття
<<прискорення тіла >>
Це <<рівна
дорога>>, тобто функція і не
зростає і не убуває в кожній точці. Ні вгору і не вниз.
Тут немає
невизначеності: нуль, що ділиться на
нескінченно мале число ∆х, дорівнює нулю.
Оскільки в якості точки x0 можна узяти будь-кого
<<ікс>>, те проведемо заміну
x0 = х і
отримаємо:
ПРИКЛАД:
Оскільки
в якості можна узяти будь-яке
значення х, то
буде
незмінним.
ВІДПОВІДЬ: –2
Оскільки
в якості x0 можна розглянути будь-яку точку х області определнения функції
На
інтервалі (–∞, 0) похідна
негативна:
В результаті
січна KL
прагне зайняти положення дотичної
y =
kx + b
до графіку
функції
y
= f(x)
у точці х0. Шукана дотична зображена зеленим кольором.
Таким чином, ми отримали строге визначення дотичної до графіку функції.
Дотична до
графіку функції в точці – це граничне положення січної в цій точці.
Розглянемо формулу тангенса кута нахилу січної
y =
kx + b
(останній
двічі відмічений зеленими дугами).
Аналогічне твердження справедливо і для тангенсів цих кутів:
tg φ = k.
Для визначення похідної геометричним шляхом, необхідно:
– в точці визначення похідної провести дотичну;
–
написати рівняння цієї дотичної, де коефіцієнт при невідомому і буде похідною.
ПРИКЛАД:
Для дотичної
у = –х + 7/4,
похідна рівна –1.
Для дотичної
у = 2,
похідна рівна 0.
Для дотичної
у = 2х + 1,
похідна рівна 2.
Для дотичної
у = 4х – 2,
похідна рівна
4.
Розглянемо
рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
отже, існування похідної в точці x0 тісно пов'язане з існуванням границі
у цій точці.
y – y0
= k(x – x0).
Враховуючи
отриману рівність
f ' (x0) = tg φ = k,
перепишемо
рівняння в наступному виді:
y – y0
= f ' (x0)(x – x0).
Існування
похідної в точці і безперервність функції.
За визначенням
У
визначенні похідної найважливішим є той факт, що приріст аргументу ∆х задається і в інший бік.
Зображуйте
координатні осі, приблизно такий же графік функції
y = f(x)
і
точки x0, f(x0).
Відкладіть
на кресленні невеликий відрізок ∆х зліва від точки x0. При цьому точка
x0 +
∆х
розташується
лівіше за точку x0, а точка
f(x0 +
∆х)
– нижче
точки f(x0). Тепер
проведіть січну графіка функції
y
= f(x)
і почніть подумки зменшувати приріст ∆х управо до точки x0. В результаті ця січна прагнутиме зайняти положення тієї ж
самої <<зеленої>> дотичної.
Приріст з лівого боку здійснюється <<проти осі абсцис>> і
тому негативно: ∆х < 0. Відповідний приріст ∆у теж менше нуля, і тому лівобічна межа буде
позитивною.
Праві і ліві границі кінцеві і співпадають, що говорить про
існування загальної границі, похідної і єдиної дотичної.
Таким
чином, існування похідної в точці геометрично дуже зручно асоціювати з
існуванням загальної дотичної в цій точці.
Поняття похідної функції.
Візьмемо формулу похідної в точці
Похідна у' = f ' (x) характеризує швидкість зміни функції y = f(x).
Розглянемо
деяку точку x0 області
визначення функції
y
= f(x).
Функція
безперервна в цій точці. Тоді:
1) Якщо f ' (x0) ˃ 0, то функція y = f(x) зростає
в точці x0. І, очевидно існує інтервал (нехай
навіть дуже малий), що містить точку x0, на якому функція y = f(x) росте,
і її графік йде <<від низу до верху>>.
2) Якщо f ' (x0) < 0, то функція y = f(x) убуває в точці x0. І існує інтервал, що містить точку x0, на якому функція y = f(x) убуває, і її графік йде <<зверху вниз>>.
3) Якшо f ' (x0) = 0, те нескінченне близько біля точки x0 функція
y = f(x)
зберігає
свою швидкість постійною. Так буває у функції константи і в критичних точках
функції, зокрема в точках мінімуму і максимуму.
Що
розуміється під словом <<похідна>> ?
Функція у' = f ' (x) пішла від функції y = f(x).
Терміни, що тлумачать механічний сенс похідної.
Розглянемо закон зміни координати тіла x(t), залежною від часу t, і функцію швидкості руху цього тіла v(t). Функція v(t) характеризує швидкість зміни координати тіла, тому являється першій похідної функції x(t) за часом:
ПРИКЛАД:
Використовуючи визначення похідної,
довести, що похідна константи дорівнює нулю.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Функція константа має вигляд
f(x) = С,
і графічно – це
сімейство прямих, паралельних осі абсцис.
Зображуватимемо графік функції
f(x) = 2.
Покажемо
аналітично, що похідна функції-константи дорівнює нулю.
Розглянемо довільне значення x0,
в якому
f(x0) = С.
Надамо аргументу приріст:
x0 + ∆х.
Функція увесь час постійна, тому
f(x0 + ∆х)
= С
і приріст функції
∆у = f(x0 + ∆х)
– f(x0) = С
– С = 0.
За визначенням похідної в точці:
Знайти похідну функції:
f(x) = –2х
– 1.
за визначенням.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Розглянемо довільне значення x0,
в якому
f(x0) = –2x0 – 1.
Задамо аргументу приріст ∆х і вичислимо
відповідне значення функції:
f(x0 +
∆х) = –2(x0 + ∆х)
– 1
= –2x0 – 2∆х – 1.
Вичислимо приріст функції:
∆у = f(x0 +
∆х) – f(x0) =
–2x0 – 2∆х – 1 – (–2x0 –
1) =
–2x0 – 2∆х – 1 + 2x0 +
1 = –2∆х.
За визначенням похідної в точці:
f '(x) = –2.
Про що говорить знайдена
похідна ?
По-перше, для будь-кого <<ікс>> вона
негативна, тобто функція
f(x) = –2х
– 1
убуває на усій області
визначення.
По-друге, це убування постійне, тобто <<нахил
гірки скрізь однаковий>> – в якій би точці ми не знаходилися, граничне
відношення
Використовуючи
цей же алгоритм, можна вирішити завдання в загальному вигляді і довести, що
похідна лінійної функції
f(x) = kх
+ b
дорівнює
її кутовому коефіцієнту
f '(x) =
k.
ПРИКЛАД:
Знайти
похідну функції:
f(x) = х2
+ 2
за
визначенням.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Розглянемо
довільну точку x0 і відповідне значення
f(x0) = (x0)2 + 2.
Задамо
приріст ∆х і вичислимо значення функції в точці
x0 +
∆х.
f(x0 +
∆х) = (x0 + ∆х)2 + 2 =
(x0)2 + 2x0∆х + (∆х)2 + 2.
Знайдемо
приріст функції:
∆у = f(x0 +
∆х) – f(x0) =
(x0)2 + 2x0∆х + (∆х)2 + 2 – ((x0)2 + 2)
= (x0)2 + 2x0∆х + (∆х)2 + 2 – (x0)2 – 2
= 2x0∆х + (∆х)2.
За визначенням похідної в точці:
f(x) = х2
+ 2,
те
проведемо заміну x0 = х і отримаємо
f '(x) = 2х.
Початкова
функція
f(x) = х2
+ 2
і її
похідна
f '(x) = 2х.
– це
дві абсолютно різні функції, проте між ними існує чіткий і прозорий зв'язок.
f '(x) < 0
(червона лінія) що говорить про убування функції
f(x) на цьому інтервалі. Гілка параболи йде зверху
вниз.
А на
інтервалі (0, +∞) похідна позитивна:
f '(x) ˃ 0
(зелена лінія) значить,
функція f(x) росте на цьому інтервалі, і її графік
йде від низу до верху.
При х = 0 похідна дорівнює нулю:
f '(0) = 2 ∙ 0 = 0.
Знайдене
значення показує, що швидкість зміни функції
f(x) = х2
+ 2
у точці х = 0 дорівнює нулю
(функція
не росте в ній і не убуває). В даному
випадку тут мінімум функції.
Усе
це можна затверджувати навіть не знаючи, що таке парабола і як виглядає графік
функції
f(x) = х2
+ 2.
Значення
похідної в точці виражає собою деяку міру швидкості зміни функції в цій точці.
Знайдемо декілька значень похідної.
f '(–0,5) = 2 ∙ (–0,5) = –1,
f '(0) = 2 ∙ 0 = 0,
f '(1) = 2 ∙ 1 = 2,
f '(2) = 2 ∙ 2 = 4,
Таким
чином, в точці х = – 0,5 функція
f(x) = х2
+ 2
убуває,
в точці х = 0 зберігає швидкість постійною, а
в точках
х = 1, х = 2
–
росте. Причому
f '(2) ˃ f '(1).
тому
можна сказати (не дивлячись на малюнок), що
в околиці точки х = 2 графік
функції
f(x) = х2
+ 2
йде
вгору крутіше, ніж поблизу точки х = 1.
Завдання до уроку 2
Інші уроки:
Комментариев нет:
Отправить комментарий