Урок 13. Центр ваги і центр мас

ВИДЕО УРОК

Центр ваги.

Центр тяжкості є у кожного тіла.

ПРИКЛАД:

Візьмемо довгу лінійку і підвісимо її на нитки, обв'язавши петлею так, щоб петлю можна було переміщати по лінійці. Змінюючи положення петлі, доб'ємося, щоб лінійка прийшла в рівновагу, тобто, щоб жодна ні інша її частина не переважує. У цьому випадку говорять, що лінійка підвішена в центрі ваги. Рівновага лінійки можна домогтися також, поклавши її на якусь опору, наприклад пінцет чи палець.

Якщо тіло підвісити в центрі ваги, то воно буде знаходитися в рівновазі.

Що таке центр ваги і як його можна відшукати?

Вагою, або вагою, володіє не тільки тіло в цілому, але і кожна його частина. Очевидно, що загальна вага тіла є сумою ваг всіх складових його частинок. Вага кожної частинки тіла прикладена безпосередньо до самої частці, вага ж всього тіла прикладена до точки, яка називається центром ваги тіла.

Як же визначити місце розташування центру тяжіння в різних тілах ?

ДОСВІД:

Візьмемо шматок картону будь-якій форми і повісимо його на цвях разом з схилом.

На шматок картону, що знаходиться в підвішеному стані, діють дві сили: сила тяжіння, прикладена в центрі ваги картону, і сила, яка утримує картон на цвяху. Так як картон знаходиться в спокої, що діють на нього сили взаємно врівноважуються, тобто вони рівні за величиною і спрямовані по вертикалі в протилежні сторони.

Звідси можна зробити висновок, що точки докладання зусиль – центр ваги і точка підвісу – лежать на одній вертикальній прямій, що відзначається схилом.

Проведемо на шматку картону вертикальну лінію по схилу. Потім підвісимо картон за іншу точку і знову проведемо по схилу вертикальну лінію. Скільки б ми не проводили таким способом ліній, на кожній з них буде перебувати центр ваги, тому вони все перетнуться в одній точці – центрі тяжкості.

Як це перевірити ?
Візьмемо олівець, і вістря його помістимо під знайдений нами центр ваги – картон виявиться в рівновазі.

Можна підвісити шматок картону на нитки, зміцнивши її в центрі тяжкості, – картон теж буде перебувати в рівновазі.

Під час досліду ми кілька разів змінювали становище шматка картону, але центр ваги його залишався в одній і тій же точці.

Отже, при будь-якому положенні тіла центр ваги його знаходиться в одній і тій же точці.

 Центр тяжкості кулі, наприклад, лежить в його геометричному центрі,

У паралелепіпеда він знаходиться в точці перетину діагоналей,

У циліндра – на середині лінії, що з'єднує центри його підстав. 

Іноді центр ваги може знаходитися і поза тілом, наприклад, в кільці він лежить на перетині діаметрів. Це можна перевірити на досвіді, підвісивши кільце за точку перетину ниток, розташованих за діаметрами кільця.

Кільце буде перебувати в рівновазі.

Центр мас.

Вивчаючи рух тіл під дією різних сил, ми не звертали уваги на те, що тіла мають розміри. Визначаючи прискорення тіл, ми вважали їх матеріальними точками.

Таке спрощення вірно, якщо тіло рухається поступально. З'ясуємо, до якої точки тіла повинна бути додана сила для того, щоб його прискорений рух було дійсно поступальним.

ДОСВІД:

Візьмемо широку лінійку. Прикріпимо до її кінця в точці А нитка і потягнемо за цю нитку з деякою силою

в напрямку, перпендикулярному осі лінійки.

Лінійка при цьому повернеться. При такому повороті різні точки лінійки проходять різні шляхи і рухаються з різними швидкостями, тобто їх руху неоднакові і лінійка рухається не поступально.
Змінимо тепер напрямок сили: будемо тягнути лінійку уздовж її довгої сторони вправо.

Тепер лінійка рухається так, що швидкості і переміщення всіх її точок однакові. Лінійка робить поступальний рух.
Якщо сила

не врівноважена іншими силами, тіло рухається з прискоренням. Неважко переконатися в тому, що якщо нитка прикріплена до точки А, то існує тільки одна пряма, уздовж якої повинна бути спрямована сила

щоб вона викликала прискорене поступальний рух лінійки. При дії сили уздовж будь-якої іншої прямої лінійка буде повертатися.
Можна змінити напрямок сили на протилежне, прикріпивши нитку до точки  В.

Рух лінійки знову буде поступальним. Значить, важливо лише положення прямої, уздовж якої діє сила (лінія дії сили). Прикріпимо тепер нитка в який-небудь іншій точці лінійки, наприклад в точці  С.

Будемо знову міняти напрямки натягу нитки (на малюнку деякі напрямки показані прямими, що виходять із точки  С). Знову переконаємося в тому, що лінійка здійснює поступальний рух тільки в тому випадку, якщо сила направлена ​​уздовж деякої певної прямої. На малюнку цей напрям сили показано червоною лінією. При всіх інших напрямках сили, прикладеного до точки  С, лінійка буде неодмінно повертатися. Прикріплюючи нитку до інших точок лінійки, можна переконатися в тому, що в кожній точці є один напрямок сили, при якому лінійка рухається поступально, без поворотів. На малюнку

показано, як повинні бути спрямовані сили, при русі в різних точках лінійки, щоб вона рухалася поступально. Досвід показує, що прямі лінії, уздовж яких діють ці сили, сходяться в одній точці  О.

Подібні досліди з різними тілами призводять нас до важливого висновку про те, що для кожного тіла існує така точка, в якій перетинаються напрямки дії сил, які повідомляють тілу прискорене поступальний рух. Ця точка отримала назву центр мас. Будь-яка ж сила, яка діє вздовж прямої лінії, що не проходить через центр мас, викликає поворот тіла.

Центром мас тіла називають точку перетину прямих, уздовж яких повинні бути спрямовані сили, щоб тіло рухалося поступально.

Під час експерименту з лінійкою легко переконатися в тому, що центр мас збігається з точкою перетину діагоналей. Але це тільки в тому випадку, якщо лінійка однорідна (виготовлена ​​з одного матеріалу), має правильну форму і однакову товщину. Якби, наприклад, вона була виготовлена ​​наполовину з дерева, а наполовину зі сталі, центр мас знаходився б десь в сталевий половині, тобто ближче до тієї частини, яка має велику масу.

Положення центру мас визначається, як показує досвід, тим, як розподілена маса по його об'єму.

Центр мас може виявитися і поза тілом. Ясно, наприклад, що поступальний рух однорідного обруча

Можливо тільки в тому випадку, якщо додані до нього сили спрямовані по радіусах. Лінії дії таких сил сходяться, звичайно, в геометричному центрі обруча. Там і знаходиться його центр мас.

Якщо різні частини обруча виготовлені з різних матеріалів, то центр мас може і не збігатися з геометричним центром обруча. Тоді його потрібно шукати досвідченим шляхом. існують способи обчислення координат центру мас, але вони важкі, а іноді обчислення і неможливо.

Але навіщо потрібно знати положення центру мас? справа в тому, що якщо тіло рухається поступально під дією однієї сили або декількох сил, то це означає, що ця сила або рівнодіюча всіх сил проходить через центр мас тіла.

Центр мас тіла в цьому випадку рухається так, як ніби в ньому зосереджена вся маса тіла і до нього докладено всіх зусиль, що діють на тіло. Тому, коли ми бачимо, що тіло рухається з прискоренням поступально, то це означає, що рівнодіюча сил, прикладених до тіла, проходить через його центр мас, як ніби в центрі мас зосереджена вся маса тіла, а прискорення тіла - це прискорення центру мас.

Окремим випадком поступального руху є рух тіла під дією сили тяжіння, якщо, звичайно, воно не було приведено в обертання до початку падіння. Але сила тяжіння діє на всі точки тіла. І якщо під дією всіх цих сил тіло рухається поступально, то це означає, що їх рівнодіюча при будь-якому положенні тіла проходить через його центр мас. Тому центр мас часто називають центром ваги тіла.

ЗАДАЧА:

У циліндричний стакан наливають воду. При якому положенні рівня води в склянці центр ваги склянки з водою займає найнижча положення ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Припустимо, що центр ваги склянки розташований так, як показано на малюнку.

Це означає, що верхня частина склянки важить стільки ж, скільки нижня. Почнемо додавати воду в стакан. Спочатку рівень води в склянці малий – тобто ми збільшуємо вагу нижньої частини склянки. Якщо нижня частина стає << впливовішим >>, отже, центр ваги системи зміщується вниз. Він буде розташований десь між центром ваги води і центром тяжіння порожнього стакана. Можливе місце розташування центру тяжіння системи показано рудої лінією.

Потім наллємо води рівно по рівень центру ваги порожнього стакана.

Центр ваги системи розташований десь між центром ваги води і центром тяжіння порожнього стакана, тому що поки ми обважнювали тільки нижню частину склянки. І обважнювали її до межі: якщо наливати воду далі, то вага цієї води вже буде збільшувати вагу верхньої половини склянки.
Знову додамо води. Тепер утяжеляется вже верхня частина, отже, центр ваги зміщується вище.

Нарешті, видно, що подальше поповнення кількості води буде << зрушувати >> центр ваги все вище і вище.

Але як і раніше центр ваги системи розташований між центром ваги води і склянки.

ВІДПОВІДЬ:

Центр тяжкості склянки з водою займає одне з можливих наинизших положень, поки рівень води не зрівняється з центром тяжкості порожнього стакана.

Урок 13. Центр тяжести и центр масс

ВИДЕО УРОК

Центр тяжести.

Центр тяжести имеется у каждого тела.

ПРИМЕР:

Возьмём длинную линейку и подвесим её на нити, обвязав петлёй так, чтобы петлю можно было перемещать по линейке. Меняя положение петли, добьёмся, чтобы линейка пришла в равновесие, то есть, чтобы ни одна ни другая её часть не перевешивала. В этом случае говорят, что линейка подвешена в центре тяжести. Равновесие линейки можно добиться также, положив её на какую-нибудь опору, например карандаш или палец.

Если тело подвесить в центре тяжести, то оно будет находиться в равновесии.

Что такое центр тяжести и как его можно отыскать ?

Тяжестью, или весом, обладает не только тело в целом, но и каждая его часть. Очевидно, что общий вес тела является суммой весов всех составляющих его частиц. Вес каждой частицы тела приложен непосредственно к самой частице, вес же всего тела приложен к точке, которая называется центром тяжести тела.

Как же найти положение центра тяжести в различных телах ?

ОПЫТ:

Возьмём кусок картона, какой угодно формы, и повесим его на гвоздь вместе с отвесом.

На кусок картона, находящийся в подвешенном состоянии, действуют две силы: сила тяжести, приложенная в центре тяжести картона, и сила, которая удерживает картон на гвозде. Так как картон находится в покое, действующие на него силы взаимно уравновешиваются, то есть они равны по величине и направлены по вертикали в противоположные стороны.

Отсюда можно сделать заключение, что точки приложения сил – центр тяжести и точка подвеса – лежат на одной вертикальной прямой, отмечаемой отвесом.

Проведём на куске картона вертикальную линию по отвесу. Затем подвесим картон за другую точку и снова проведём по отвесу вертикальную линию. Сколько бы мы ни проводили таким способом линий, на каждой из них будет находиться центр тяжести, поэтому они все пересекутся в одной точке – центре тяжести.

Как это проверить ?
Возьмём карандаш, и остриё его поместим под найденный нами центр тяжести – картон окажется в равновесии.

Можно подвесить кусок картона на нити, укрепив её вцентре тяжести, – картон тоже будет находиться в равновесии.

Во время опыта мы несколько раз меняли положение куска картона, но центр тяжести его оставался в одной и той же точке.

Следовательно, при любом положении тела центр тяжести его находится в одной и той же точке.

Центр тяжести шара, например, лежит в его геометрическом центре,

У параллелепипеда он находится в точке пересечения диагоналей,

У цилиндра – на середине линии, соединяющей центры его оснований.

Иногда центр тяжести может находиться и вне тела, например, в кольце он лежит на пересечении диаметров. Это можно проверить на опыте, подвесив кольцо за точку пересечения нитей, расположенных по диаметрам кольца.

Кольцо будет находиться в равновесии.

Центр масс.

Изучая движение тел под действием различных сил, мы не обращали внимания на то, что тела имеют размеры. Определяя ускорение тел, мы считали их материальными точками.

Такое упрощение верно, если тело движется поступательно. Выясним, к какой точке тела должна быть приложена сила для того, чтобы его ускоренное движение было действительно поступательным.

ОПЫТ:

Возьмём широкую линейку. Прикрепим к её концу в точке  А  нить и потянем за эту нить с некоторой силой

в направлении, перпендикулярном оси линейки.

Линейка при этом повернётся. При таком повороте разные точки линейки проходят различные пути и движутся с различными скоростями, то есть их движения неодинаковы и линйка движется не поступательно.
Изменим теперь направление силы: будем тянуть линейку вдоль её длинной стороны вправо.

Теперь линейка движется так, что скорости и перемещения всех её точек одинаковы. Линейка совершает поступательное движение. Если сила

не уравновешена другими силами, тело движется с ускорением. Нетрудно убедиться в том, что если нить прикреплена к точке  А, то существует только одна прямая, вдоль которой должна быть направлена сила

чтобы она вызвала ускоренное поступательное движение линейки. При действии силы вдоль любой другой прямой линейка будет поворачиваться.
Можно изменить направление силы на противоположное, прикрепив нить к точке  В.

Движение линейки опять будет поступательным. Значит, важно лишь положение прямой, вдоль которой действует сила (линия действия силы). Прикрепим теперь нить в какой-нибудь другой точке линейки, например в точке  С.

Будем опять менять направления натяжения нити (на рисунке некоторые направления показаны прямыми, исходящими из точки  С). Снова убедимся в том, что линейка совершает поступательное движение только в том случае, если сила направлена вдоль некоторой определённой прямой. На рисунке это направление силы показано красной линией. При всех других направлениях силы, приложенной к точке  С, линейка будет непременно поворачиваться. Прикрепляя нить к другим точкам линейки, можно убедиться в том, что в каждой точке есть одно направление силы, при котором линейка движется поступательно, без поворотов. На рисунке

показано, как должны быть направлены силы, при движении в разных точках линейки, чтобы она двигалась поступательно. Опыт показывает, что прямые линии, вдоль которых действуют эти силы, сходятся в одной точке  О.

Подобные опыты с разными телами приводят нас к важному выводу о том, что для каждого тела существует такая точка, в которой пересекаются направления действия сил, сообщающих телу ускоренное поступательное движение. Эта точка получила название центр масс. Всякая же сила, которая действует вдоль прямой линии, не проходящей через центр масс, вызывает поворот тела.

Центром масс тела называют точку пересечения прямых, вдоль которых должны быть направлены силы, чтобы тело двигалось поступательно.

В опыте с линейкой легко убедиться в том, что центр масс совпадает с точкой пересечения диагоналей. Но это только в том случае, если линейка однородна (изготовлена из одного материала), имеет правильную форму и одинаковую толщину. Если бы, например, она была изготовлена наполовину из дерева, а наполовину из стали, центр масс находился бы где-то в стальной половине, то есть ближе к той части, которая имеет большую массу.

Положение центра масс определяется, как показывает опыт, тем, как распределена масса по его объёму.

Центр масс может оказаться и вне тела. Ясно, например, что поступательное движение однородного обруча

Возможно только в том случае, если приложенные к нему силы направлены по радиусам. Линии действия таких сил сходятся, конечно, в геометрическом центре обруча. Там и находится его центр масс.

Если различные части обруча изготовлены из разных материалов, то центр масс может и не совпадать с геометрическим центром обруча. Тогда его нужно искать опытным путём. Существуют способы вычисления координат центра масс, но они трудны, а иногда вычисление и невозможно.

Но зачем нужно знать положение центра масс ? дело в том, что если тело движется поступательно под действием одной силы или нескольких сил, то это значит, что эта сила или равнодействующая всех сил проходит через центр масс тела.

Центр масс тела в этом случае движется так, как будто в нём сосредоточена вся масса тела и к нему приложены все силы, действующие на тело. Поэтому, когда мы видим, что тело движется с ускорением поступательно, то это значит, что равнодействующая сил, приложенных к телу, проходит через его центр масс, как будто в центре масс сосредоточена вся масса тела, а ускорение тела – это ускорение центра масс.

Частным случаем поступательного движения является движение тела под действием силы тяжести, если, конечно, оно не было приведено во вращение до начала падения. Но сила тяжести действует на все точки тела. И если под действием всех этих сил тело движется поступательно, то это значит, что их равнодействующая при любом положении тела проходит через его центр масс. Поэтому центр масс часто называют центром тяжести тела.

ЗАДАЧА:

В цилиндрический стакан наливают воду. При каком положении уровня воды в стакане центр тяжести стакана с водой занимает наинизшее положение ?

РЕШЕНИЕ:

Предположим, что центр тяжести стакана расположен так, как показано на рисунке.

Это значит, что верхняя часть стакана весит столько же, сколько нижняя. Начнём добавлять воду в стакан. Сначала уровень воды в стакане мал – то есть мы увеличиваем вес нижней части стакана. Если нижняя часть становится <<влиятельнее>>, следовательно, центр тяжести системы смещается вниз. Он будет расположен где-то между центром тяжести воды и центром тяжести пустого стакана. Возможное место расположения центра тяжести системы показано рыжей линией.

Затем нальём воды ровно по уровень центра тяжести пустого стакана.

Центр тяжести системы расположен где-то между центром тяжести воды и центром тяжести пустого стакана, потому что пока мы утяжелили только нижнюю часть стакана. И утяжелили её до предела: если наливать воду дальше, то вес этой воды уже будет увеличивать вес верхней половины стакана.
Снова прибавим воды. Теперь утяжеляется уже верхняя часть, следовательно, центр тяжести смещается выше.

Наконец, видно, что дальнейшее прибавление количества воды будет <<сдвигать>>центр тяжести всё выше и выше.

Но по-прежнему центр тяжести системы расположен между центром тяжести воды и стакана.

ОТВЕТ:

Центр тяжести стакана с водой занимает одно из возможных наинизших положений, пока уровень воды не сравняется с центром тяжести пустого стакана.

Урок 12. Рух тіла під дією однієї або декількох сил

ВИДЕО УРОК

Рух тіла під дією сили тертя.

Сила тертя ковзання відрізняється від всіх інших сил тим, що вона спрямована в бік, протилежний напрямку відносної швидкості руху тіл, що труться.

Звідси випливає, що прискорення, яке сила тертя повідомляє тілу, який рухається по нерухомій поверхні, спрямоване проти швидкості. А це означає, що дія сили тертя призводить до зменшення абсолютного значення швидкості тіла.

Якщо на тіло, яке ковзає по нерухомій поверхні, ніякі сили, крім сили тертя, не діють, то воно врешті-решт зупиняється.

ПРИКЛАД:

Уявімо собі, що перед рухомим поїздом несподівано з'явилася деяка перешкода і машиніст відключив двигун і включив гальмо. Починаючи з цього моменту на поїзд діє тільки сила тертя, так як сила тяжіння скомпенсирована реакцією рейок, а сила опору повітря мала. Через деякий час  t  поїзд, пройшовши відстань  l – так званий гальмівний шлях, зупиниться. Знайдемо час  t, потрібне для зупинки, і відстань l, яке поїзд пройде за цей час.

Під дією сили тертя

поїзд рухатиметься з прискоренням

Виберемо координатну вісь  Х  так, щоб її позитивний напрямок збігалося з напрямком швидкості руху поїзда.

Так як сила тертя

направлена в протилежному напрямку, її проекція на вісь  Х  негативна:

Негативна і проекція вектора прискорення на вісь  Х, причому

Але прискорення визначається також формулою

де  v₀ – проекція швидкості поїзда до початку гальмування.
Так як нас цікавить час  t  від початку гальмування до зупинки поїзда, то кінцева швидкість v = 0. Отже,

Звідси

А тепер знайдемо гальмівний шлях  l. Для цього скористаємося формулою

Так як  v = 0, то

або

З цієї формули видно, що пройдений до зупинки шлях пропорційний квадрату швидкості. Якщо збільшити швидкість удвічі, то буде потрібно вчетверо більший шлях для зупинки. Це слід мати на увазі машиністам поїздів, водіям машин і взагалі всім, хто управляє транспортними засобами. Про це корисно пам'ятати і перехожим, які перетинають жваву вулицю. Для зупинки рухомих тел потрібен час і простір.

Рух тіла під дією кількох сил.

Порівняно рідко доводиться спостерігати, щоб на тіло діяла тільки одна сила – сила пружності, сила тертя або сила тяжіння. У більшості випадків на тіло діє відразу кілька сил. Поряд з силами пружності і тяжіння на тіло завжди діє і сила тертя. В цьому випадку прискорення визначається рівнодіючої всіх прикладених сил.

Як в таких випадках вирішувати механічні завдання ?

У рівнянні, що виражає другий закон Ньютона,

– це рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, тобто геометрична сума векторів цих сил. Тому, приступаючи до вирішення будь-якої задачі, потрібно спочатку з'ясувати, які сили діють на тіло, які їхні абсолютні значення і напрямки. Потім, зобразивши на кресленні діючі на тіло сили, знайти їх рівнодіючу і, користуючись законами руху Ньютона, вирішити задачу.

Але можна і не робити геометричного додавання векторів сил. Так як проекція суми декількох векторів на якусь вісь дорівнює сумі проекцій цих векторів на ту ж вісь. Це дозволяє замінити геометричне складання векторів алгебраїчним складанням їх проекцій.

ПРИКЛАД:

Розглянемо рух тіла по похилій площині.

Припустимо, що по похилій площині з кутом нахилу α рухається брусок, масою  m. Знайдемо його прискорення.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На рухомий брусок діють три сили:

Сила тяжіння

Сила реакції опори (похилій площині)

перпендикулярна площині. Сила тертя

спрямована уздовж похилій площині проти руху.
Прискорення бруска

за умовою направлено паралельно похилій площині.
За другим законом Ньютона:

Направимо осі координат  X  і  Y  уздовж похилій площині і перпендикулярно до неї, як показано на малюнку.

з рівності

випливає, що проекція вектора

на вісь  X  або  Y  дорівнює сумі проекцій на ці осі векторів

Знайдемо спочатку проекції всіх векторів на вісь  Х. Прискорення бруска направлено вздовж осі  Х, тому

Вектор

паралельний осі  Х, але його напрям протилежно напрямку осі. Тому

∠ ADB = ∠ ECO

(як кути із взаємно перпендикулярними сторонами). Отже,

∠ ADB = α

Вектор

перпендикулярний осі  Х, тому

Тепер, знаючи проекції всіх векторів на вісь  Х, ми можемо записати:

Аналогічне рівняння можна записати і для проекцій всіх векторів на вісь  Y. Проекції векторів

дорівнюють нулю. Вектор

направлений уздовж осі  Y  і

Проекція

вектора

як видно з малюнка,

негативна,

Так як проекція прискорення

бруска на вісь  Y  дорівнює нулю, то дорівнює нулю і сума проекцій на цю вісь всіх сил, що діють на брусок. Тому

Так як сила тертя ковзання пропорційна модулю сили тиску.

отже,

У нашому випадку сила тиску

за абсолютним значенням дорівнює силі реакції опори

Звідси для сили тертя

отримуємо:

Підставивши значення

в рівняння

отримаємо:

Після скорочення на  m  знайдемо цікавить нас прискорення

З цієї формули випливає, що коли коефіцієнт тертя дорівнює нулю (тобто силою тертя можна знехтувати),

Якщо тіло рухається по похилій площині рівномірно, то  ax = 0, тобто

sin α – μ cos α = 0

або

tg α = μ.

Ця формула дозволяє порівняно просто визначити коефіцієнт тертя ковзання на досвіді. Для цього, вимірюючи кут нахилу площини, на якій знаходиться тіло, визначають таке її положення, при якому тіло починає поступово ковзати по площині. Вимірявши кут  α  нахилу площини до горизонту, визначають  μ  за формулою 

tg α = μ.