Урок 13. Центр ваги і центр мас

ВИДЕО УРОК

Центр ваги.

Центр тяжкості є у кожного тіла.

ПРИКЛАД:

Візьмемо довгу лінійку і підвісимо її на нитки, обв'язавши петлею так, щоб петлю можна було переміщати по лінійці. Змінюючи положення петлі, доб'ємося, щоб лінійка прийшла в рівновагу, тобто, щоб жодна ні інша її частина не переважує. У цьому випадку говорять, що лінійка підвішена в центрі ваги. Рівновага лінійки можна домогтися також, поклавши її на якусь опору, наприклад пінцет чи палець.

Якщо тіло підвісити в центрі ваги, то воно буде знаходитися в рівновазі.

Що таке центр ваги і як його можна відшукати?

Вагою, або вагою, володіє не тільки тіло в цілому, але і кожна його частина. Очевидно, що загальна вага тіла є сумою ваг всіх складових його частинок. Вага кожної частинки тіла прикладена безпосередньо до самої частці, вага ж всього тіла прикладена до точки, яка називається центром ваги тіла.

Як же визначити місце розташування центру тяжіння в різних тілах ?

ДОСВІД:

Візьмемо шматок картону будь-якій форми і повісимо його на цвях разом з схилом.

На шматок картону, що знаходиться в підвішеному стані, діють дві сили: сила тяжіння, прикладена в центрі ваги картону, і сила, яка утримує картон на цвяху. Так як картон знаходиться в спокої, що діють на нього сили взаємно врівноважуються, тобто вони рівні за величиною і спрямовані по вертикалі в протилежні сторони.

Звідси можна зробити висновок, що точки докладання зусиль – центр ваги і точка підвісу – лежать на одній вертикальній прямій, що відзначається схилом.

Проведемо на шматку картону вертикальну лінію по схилу. Потім підвісимо картон за іншу точку і знову проведемо по схилу вертикальну лінію. Скільки б ми не проводили таким способом ліній, на кожній з них буде перебувати центр ваги, тому вони все перетнуться в одній точці – центрі тяжкості.

Як це перевірити ?
Візьмемо олівець, і вістря його помістимо під знайдений нами центр ваги – картон виявиться в рівновазі.

Можна підвісити шматок картону на нитки, зміцнивши її в центрі тяжкості, – картон теж буде перебувати в рівновазі.

Під час досліду ми кілька разів змінювали становище шматка картону, але центр ваги його залишався в одній і тій же точці.

Отже, при будь-якому положенні тіла центр ваги його знаходиться в одній і тій же точці.

 Центр тяжкості кулі, наприклад, лежить в його геометричному центрі,

У паралелепіпеда він знаходиться в точці перетину діагоналей,

У циліндра – на середині лінії, що з'єднує центри його підстав. 

Іноді центр ваги може знаходитися і поза тілом, наприклад, в кільці він лежить на перетині діаметрів. Це можна перевірити на досвіді, підвісивши кільце за точку перетину ниток, розташованих за діаметрами кільця.

Кільце буде перебувати в рівновазі.

Центр мас.

Вивчаючи рух тіл під дією різних сил, ми не звертали уваги на те, що тіла мають розміри. Визначаючи прискорення тіл, ми вважали їх матеріальними точками.

Таке спрощення вірно, якщо тіло рухається поступально. З'ясуємо, до якої точки тіла повинна бути додана сила для того, щоб його прискорений рух було дійсно поступальним.

ДОСВІД:

Візьмемо широку лінійку. Прикріпимо до її кінця в точці А нитка і потягнемо за цю нитку з деякою силою

в напрямку, перпендикулярному осі лінійки.

Лінійка при цьому повернеться. При такому повороті різні точки лінійки проходять різні шляхи і рухаються з різними швидкостями, тобто їх руху неоднакові і лінійка рухається не поступально.
Змінимо тепер напрямок сили: будемо тягнути лінійку уздовж її довгої сторони вправо.

Тепер лінійка рухається так, що швидкості і переміщення всіх її точок однакові. Лінійка робить поступальний рух.
Якщо сила

не врівноважена іншими силами, тіло рухається з прискоренням. Неважко переконатися в тому, що якщо нитка прикріплена до точки А, то існує тільки одна пряма, уздовж якої повинна бути спрямована сила

щоб вона викликала прискорене поступальний рух лінійки. При дії сили уздовж будь-якої іншої прямої лінійка буде повертатися.
Можна змінити напрямок сили на протилежне, прикріпивши нитку до точки  В.

Рух лінійки знову буде поступальним. Значить, важливо лише положення прямої, уздовж якої діє сила (лінія дії сили). Прикріпимо тепер нитка в який-небудь іншій точці лінійки, наприклад в точці  С.

Будемо знову міняти напрямки натягу нитки (на малюнку деякі напрямки показані прямими, що виходять із точки  С). Знову переконаємося в тому, що лінійка здійснює поступальний рух тільки в тому випадку, якщо сила направлена ​​уздовж деякої певної прямої. На малюнку цей напрям сили показано червоною лінією. При всіх інших напрямках сили, прикладеного до точки  С, лінійка буде неодмінно повертатися. Прикріплюючи нитку до інших точок лінійки, можна переконатися в тому, що в кожній точці є один напрямок сили, при якому лінійка рухається поступально, без поворотів. На малюнку

показано, як повинні бути спрямовані сили, при русі в різних точках лінійки, щоб вона рухалася поступально. Досвід показує, що прямі лінії, уздовж яких діють ці сили, сходяться в одній точці  О.

Подібні досліди з різними тілами призводять нас до важливого висновку про те, що для кожного тіла існує така точка, в якій перетинаються напрямки дії сил, які повідомляють тілу прискорене поступальний рух. Ця точка отримала назву центр мас. Будь-яка ж сила, яка діє вздовж прямої лінії, що не проходить через центр мас, викликає поворот тіла.

Центром мас тіла називають точку перетину прямих, уздовж яких повинні бути спрямовані сили, щоб тіло рухалося поступально.

Під час експерименту з лінійкою легко переконатися в тому, що центр мас збігається з точкою перетину діагоналей. Але це тільки в тому випадку, якщо лінійка однорідна (виготовлена ​​з одного матеріалу), має правильну форму і однакову товщину. Якби, наприклад, вона була виготовлена ​​наполовину з дерева, а наполовину зі сталі, центр мас знаходився б десь в сталевий половині, тобто ближче до тієї частини, яка має велику масу.

Положення центру мас визначається, як показує досвід, тим, як розподілена маса по його об'єму.

Центр мас може виявитися і поза тілом. Ясно, наприклад, що поступальний рух однорідного обруча

Можливо тільки в тому випадку, якщо додані до нього сили спрямовані по радіусах. Лінії дії таких сил сходяться, звичайно, в геометричному центрі обруча. Там і знаходиться його центр мас.

Якщо різні частини обруча виготовлені з різних матеріалів, то центр мас може і не збігатися з геометричним центром обруча. Тоді його потрібно шукати досвідченим шляхом. існують способи обчислення координат центру мас, але вони важкі, а іноді обчислення і неможливо.

Але навіщо потрібно знати положення центру мас? справа в тому, що якщо тіло рухається поступально під дією однієї сили або декількох сил, то це означає, що ця сила або рівнодіюча всіх сил проходить через центр мас тіла.

Центр мас тіла в цьому випадку рухається так, як ніби в ньому зосереджена вся маса тіла і до нього докладено всіх зусиль, що діють на тіло. Тому, коли ми бачимо, що тіло рухається з прискоренням поступально, то це означає, що рівнодіюча сил, прикладених до тіла, проходить через його центр мас, як ніби в центрі мас зосереджена вся маса тіла, а прискорення тіла - це прискорення центру мас.

Окремим випадком поступального руху є рух тіла під дією сили тяжіння, якщо, звичайно, воно не було приведено в обертання до початку падіння. Але сила тяжіння діє на всі точки тіла. І якщо під дією всіх цих сил тіло рухається поступально, то це означає, що їх рівнодіюча при будь-якому положенні тіла проходить через його центр мас. Тому центр мас часто називають центром ваги тіла.

ЗАДАЧА:

У циліндричний стакан наливають воду. При якому положенні рівня води в склянці центр ваги склянки з водою займає найнижча положення ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Припустимо, що центр ваги склянки розташований так, як показано на малюнку.

Це означає, що верхня частина склянки важить стільки ж, скільки нижня. Почнемо додавати воду в стакан. Спочатку рівень води в склянці малий – тобто ми збільшуємо вагу нижньої частини склянки. Якщо нижня частина стає << впливовішим >>, отже, центр ваги системи зміщується вниз. Він буде розташований десь між центром ваги води і центром тяжіння порожнього стакана. Можливе місце розташування центру тяжіння системи показано рудої лінією.

Потім наллємо води рівно по рівень центру ваги порожнього стакана.

Центр ваги системи розташований десь між центром ваги води і центром тяжіння порожнього стакана, тому що поки ми обважнювали тільки нижню частину склянки. І обважнювали її до межі: якщо наливати воду далі, то вага цієї води вже буде збільшувати вагу верхньої половини склянки.
Знову додамо води. Тепер утяжеляется вже верхня частина, отже, центр ваги зміщується вище.

Нарешті, видно, що подальше поповнення кількості води буде << зрушувати >> центр ваги все вище і вище.

Але як і раніше центр ваги системи розташований між центром ваги води і склянки.

ВІДПОВІДЬ:

Центр тяжкості склянки з водою займає одне з можливих наинизших положень, поки рівень води не зрівняється з центром тяжкості порожнього стакана.