Урок 32. Осьова і центральна симетрії

среда, 7 августа 2019 г.

Урок 32. Осьова і центральна симетрії

ВІДЕОУРОК
Симетрія – слово грецького походження. Воно означає співмірність, наявність певного порядку, закономірності в розташуванні частин.

Люди з давніх часів використали симетрію в малюнках, орнаментах, предметах побуту, в архітектурі, мистецтві, будівництві.

Симетрія широко поширена і в природі, де не було втручання людської руки. Її можна спостерігати у формі листя і кольорів рослин, в розташуванні різних органів тварин, у формі кристалічних тіл, в пурхаючому метелику, загадковій сніжинці, морській зірці.

Симетрія в геометрії – властивість геометричних фігур.

Розглянемо дві симетрії на площині відносно точки і прямої.

ОСЬОВА СИМЕТРІЯ

Дві точки, що лежать на одному перпендикулярі до цієї площини (чи прямій) по різні сторони і на однаковій відстані від неї, називаються симетричними відносно цієї площини (чи прямій). Фігура (плоска або просторова) симетрична відносно прямої (осі симетрії) або площини (площини симетрії), якщо її точки попарно мають вказану властивість.

Осьова симетрія – це симетрія відносно проведеної прямої (осі).

Дві точки А і В симетричні відносно прямої а (осі симетрії), якщо ця пряма проходить через середину відрізку АВ і перпендикулярна до нього.

Кожна точка прямої а симетрична самій собі.

ПРИКЛАД:

АО = ОВ, АВ ⊥ а.

Точка А симетрична сама собі.

Фігура симетрична відносно прямої – якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка відносно прямої також належить цій фігурі.

Пряма – вісь симетрії фігури, а фігура має осьову симетрію.

Фігури, симетричні відносно прямої, рівні.

Іноді у фігур декілька осей симетрії.

Фігури, що мають осьову симетрію.

ПРИКЛАД:

Нерозгорнений кут має одну вісь симетрії – пряму, на якій розташована бісектриса кута.

Рівнобедрений трикутник має одну вісь симетрії.

Рівносторонній трикутник має три осі симетрії.

Квадрат має чотири осі симетрії.

Прямокутник має дві осі симетрії.

Ромб має дві осі симетрії.

Коло має нескінченно багато осей симетрії – будь-яка пряма, що проходить через центр, є віссю симетрії.

Прикладом фігур, у яких немає жодної осі симетрії, є паралелограм і трикутник, усі сторони якого різні.

Алгоритм побудови фігури, симетричної відносно деякої прямої.

ПРИКЛАД:

Побудуємо трикутник А₁В₁С₁, симетричний трикутнику АВС відносно червоної прямої лінії (вісь симетрії).

Для цього проведемо з вершини трикутника АВС прямі, перпендикулярні осі симетрії, і продовжимо їх далі на іншій стороні осі.

Виміримо відстань від вершин трикутника до точок, що вийшли, на прямій і відкладемо з іншого боку прямої такі ж відстані.

З'єднаємо точки, що вийшли, відрізками і отримаємо трикутник А₁В₁С₁, симетричний цьому трикутнику АВС.

ЗАДАЧА:

Даний відрізок АВ. Побудувати його симетрію відносно прямої l, що не перетинає цей відрізок.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зображуватимемо схематично умову завдання.

Оскільки осьова симетрія є рухом, то відрізок АВ відобразиться на рівний йому відрізок А'В'.

Для його побудови зробимо наступне: проведемо через точки А і В прямі m і n перпендикулярно прямий l. Нехай

m ∩ l = Х, n ∩ l = Y.

Далі проведемо відрізки

А'Х = АХ и В'Y = ВY.

ЗАДАЧА:

Побудувати симетричний трикутник для цього трикутника відносно якої-небудь його сторони.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай нам даний трикутник АВС. Будуватимемо його симетрію

відносно сторони ВС.

Сторона ВС при осьовій симетрії перейде в саму себе (виходить з визначення). Точка А перейде в точку А₁ таким чином:

АА₁ ⊥ ВС, АН = НА₁.

Трикутник АВС перейде в трикутник А₁ВС.

ЦЕНТРАЛЬНА СИМЕТРІЯ

Симетрію відносно точки називають центральною симетрією.

Дві точки А і В симетричні відносно точки О, якщо Про – середина відрізку АВ. Точка Про називається центром симетрії.

Точка О симетрична самій собі.

Фігура симетрична відносно точки (центр симетрії), якщо її точки попарно лежать на прямих, що проходять через центр симетрії, по різні сторони і на рівних відстанях від нього.

Фігура симетрична відносно точки, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка відносно цієї точки також належить цій фігурі.

Ця точка – центр симетрії фігури, а фігура має центральну симетрію.

Фігури, симетричні відносно деякої точки, рівні.

Фігури, що мають центр симетрії.

ПРИКЛАД:

Коло, центр кола є її центром симетрії.

Паралелограм, його центром симетрії є точка перетину діагоналей.

Пряма має нескінченно багато центрів симетрії, оскільки будь-яка точка прямої є її центром симетрії.

Прикладом фігури, що не має центру симетрії, являється трикутник.

Алгоритм побудови центральносиметричних фігур.

ПРИКЛАД:

Побудуємо трикутник А₁В₁С₁, симетричний трикутнику АВС відносно центру (точки) О.

Для цього з'єднаємо точки А, В, С з центром О і продовжимо ці відрізки.

Виміримо відрізки АО, ВО, СО і відкладемо з іншого боку від точки О рівні їм відрізки

АО = ОА₁, ВО = ОВ₁, СО = ОС₁.

З'єднаємо точки, що вийшли, відрізками і отримаємо трикутник А₁В₁С₁, симетричний цьому трикутнику АВС.

ЗАДАЧА:

Даний відрізок АВ. Побудувати його симетрію відносно точки С, що лежить на прямій l.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зображуватимемо схематично умову завдання.

Оскільки центральна симетрія є рухом, то відрізок АВ відобразиться на рівний йому відрізок А''В''.

Для його побудови зробимо наступне: проведемо прямі АС і ВС. Далі проведемо відрізки

А''С = АС и В''С = ВС.

ЗАДАЧА:

Побудувати симетричний трикутник для цього трикутника відносно якої-небудь його вершини.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай нам даний трикутник АВС. Будуватимемо його симетрію відносно вершини А.

Вершина А при центральній симетрії перейде в саму себе (виходить з визначення). Точка В перейде в точку В₁ таким чином ВА = АВ₁, а точка С перейде в точку С₁ таким чином СА = АС₁. Трикутник АВС перейде в трикутник АВ₁С₁.

Деякі повороти й осьові симетрії на координатній площині.

Нехай на площині дано прямокутну систему координат хОу. Ознайомимося з координатним записом деяких переміщень.

1) При осьовій симетрії відносно осі Оу точка Р(х, у) відображається на точку Р'

з координатами:

х' = –х,

у' = у.

2) При осьовій симетрії відносно осі Ох точка Р(х, у) відображається на точку Р'

з координатами:

х' = х,

у' = –у.

3) При повороті на 90° навколо початку координат вісь Ох переходить у вісь Оу так, що додатний напрям переходить у додатний, а вісь Оу відображається на вісь Ох так, що додатний напрям переходить у від’ємний. Тому Р(х, у) відображається на точку Р'