Урок 32. Осевая и центральная симметрии

понедельник, 5 августа 2019 г.

Урок 32. Осевая и центральная симметрии

ВИДЕОУРОК

Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определённого порядка, закономерности в расположении частей.

Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.

Симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Симметрия в геометрии – свойство геометрических фигур.

Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Ось симметрии.

Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная) симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.

Фигура симметрична относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая – ось симметрии фигуры, а фигура обладает осевой симметрией.

Фигура, обладающая осевой симметрией – это неразвёрнутый угол, который имеет одну ось симметрии – прямую на которой расположена биссектриса угла.

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Две точки А и В симметричны относительно прямой а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему.

Проведем прямую ЕF через середины Е и F сторон АВ и СD прямоугольника АВСD.

Эта прямая делит прямоугольник пополам. Если прямоугольник перегнуть по этой прямой, то обе две половины совпадут. Говорят, что прямоугольник симметричный относительно прямой ЕF, а прямую ЕF называют осью симметрии прямоугольника. У прямоугольника АВСD есть другая ось симметрии – прямая NК.

Вообще, фигуру называют симметричной относительно прямой l, если эта прямая делит фигуру на две части, которые совпадают при перегибании по этой прямой. Прямую l называют осью симметрии этой фигуры.

Две точки А и В, которые совпадают при перегибании плоскости по прямой l, называют симметричными относительно этой прямой. Если точки А и В симметричные относительно прямой l, то:

1) отрезок АВ перпендикулярен прямой l.

2) прямая l делит этот отрезок пополам.

Окружность имеет бесконечное количество осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через центр окружности, будет его осью симметрии.

Ось симметрии имеют изображения многих фигур (предметов), которые часто встречаются в природе и технике.

Каждая точка прямой а симметрична самой себе.

ПРИМЕР:

АО = ОВ, АВ ⊥ а.

Точка А симметрична сама себе.

Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

Прямая – ось симметрии фигуры, а фигура обладает осевой симметрией.

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Иногда у фигур несколько осей симметрии.

Фигуры, обладающие осевой симметрией.

ПРИМЕР:

Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии – прямую, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.

Квадрат имеет четыре оси симметрии.

Прямоугольник имеет две оси симметрии

Ромб имеет две оси симметрии

Окружность имеет бесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр, является осью симметрии.

Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являются параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

ПРИМЕР:

Построим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно красной прямой линии (ось симметрии).

Для этого проведём из вершины треугольника АВС прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.

Измерим расстояние от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.

Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник А₁В₁С₁, симметричный данному треугольнику АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок АВ. Построить его симметрию относительно прямой l, не пересекающий данный отрезок.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как осевая симметрия является движением, то отрезок АВ отобразится на равный ему отрезок А'В'.

Для его построения сделаем следующее: проведём через точки А и В прямые m и n перпендикулярно прямой l. Пусть

m ∩ l = Х, n ∩ l = Y.

Далее проведём отрезки

А'Х = АХ и В'Y = ВY.

ЗАДАЧА:

Построить симметричный треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник АВС. Будем строить его симметрию относительно стороны ВС.

Сторона ВС при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует из определения). Точка А перейдёт в точку А₁ следующим образом:

АА₁ ⊥ ВС, АН = НА₁.

Треугольник АВС перейдёт в треугольник А₁ВС.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Две точки А и В симметричны относительно точки О, если О – середина отрезка АВ. Точка О называется центром симметрии.

Точка О симметрична самой себе.

Фигура симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных расстояниях от него.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигуры, обладающие центром симметрии.

ПРИМЕР:

Окружность, центр окружности является её центром симметрии.

Параллелограмм, его центром симметрии является точка пересечения диагоналей.

Прямая имеет бесконечно много центров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

ПРИМЕР:

Построим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно центра (точки) О.

Для этого соединим точки А,В,С с центром О и продолжим эти отрезки.

Измерим отрезки АО, ВО, СО и отложим с другой стороны от точки О равные им отрезки

АО = ОА₁, ВО = ОВ₁, СО = ОС₁.

Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник

А₁В₁С₁, симметричный данному треугольнику АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок АВ. Построить его симметрию относительно точки С, лежащей на прямой l.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как центральная симметрия является движением, то отрезок АВ отобразится на равный ему отрезок А''В''.

Для его построения сделаем следующее: проведём прямые АС и ВС. Далее проведём отрезки

А''С = АС и В''С = ВС.

ЗАДАЧА:

Построить симметричный треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его вершины.

РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник АВС. Будем строить его симметрию относительно вершины А.

Вершина А при центральной симметрии перейдёт в саму себя (следует из определения). Точка В перейдёт в точку В₁ следующим образом ВА = АВ₁, а точка С перейдёт в точку С₁ следующим образом СА = АС₁. Треугольник АВС перейдёт в треугольник АВ₁С₁.

Некоторые повороты и осевые симметрии на координатной плоскости.

Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат хОу. Ознакомимся с координатной записью некоторых перемещений.

1) При осевой симметрии относительно оси Оу точка Р(х, у) отображается на точку Р'

с координатами:

х' = –х,

у' = у.

2) При осевой симметрии относительно оси Ох точка Р(х, у) отображается на точку Р'

с координатами:

х' = х,

у' = –у.

3) При повороте на 90° вокруг начала координат ось Ох переходит в ось Оу так, что положительное направление переходит в положительное, а ось Оу отображается на ось Ох так, что положительное направление переходит в отрицательное. Поэтому Р(х, у) отображается на точку Р'

с координатами:

х' = –у,

у' = х.

4) При центральной симметрии

каждая из осей координат отображается на себя, но так, что положительное направление оси переходит в отрицательное и наоборот: отрицательное в положительное. Поэтому

Объединим результаты в таблицу

Задания к уроку 32

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 5 августа 2019 г.