Урок 6. Определённый интеграл

ВИДЕО УРОК

Для того чтобы научиться решать определённые интегралы необходимо

1)  Уметь находить неопределённые интегралы.

2)  Уметь вычислить определённый интеграл.

В общем виде определённый интеграл записывается так:

По сравнению с неопределённым интегралом прибавились пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования обозначается буквой  а.

Верхний предел интегрирования обозначается буквой  b.

Отрезок  [a; b]  называется отрезком интегрирования.

Определённый интеграл – это число. Решить определённый интеграл это значит найти число.

Находится определённый интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Этапы решения определённого интеграла.

1)  Сначала находим первообразную функцию

F(Х)

(неопределённый интеграл). Константа  С  в определённом интеграле не добавляется.

Обозначение

является чисто техническим, и вертикальная палочка не несёт никакого математического смысла. Запись

нужна для подготовки применения формулы Ньютона-Лейбница.

2)  Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию

F(b).

3)  Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию

F(а).

4)  Находим разность (число)

F(b) – F(a).

Определённый интеграл существует не всегда.

ПРИМЕР:

Интеграла

не существует, поскольку отрезок интегрирования  

[–5; –2]  

не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными).

ПРИМЕР:

Интеграла

не существует, поскольку на отрезке интегрирования  [–2; 3]  тангенс терпит бесконечные разрывы в точках

х = –^π/₂,  х = ^π/₂.

Для того чтобы определённый интеграл существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.

Поэтому перед тем, как приступить к решению любого определённого интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования.

Определённый интеграл может быть равен отрицательному числу или нулю.

Нижний предел интегрирования может быть больше верхнего предела интегрирования.

ПРИМЕР:

Интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Свойства определённого интеграла.

1)  В определённом интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак.

ПРИМЕР:

В определённом интеграле

перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на <<привычный>> порядок:

В таком виде интегрировать значительно удобнее.

2)  Свойства линейности.

где   k = const.

Это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

ПРИМЕР:

Вычислить определённый интеграл:

РЕШЕНИЕ:

Выносим константу за знак интеграла:

Интегрируем по таблице с помощью формулы

Используем формулу Ньютона-Лейбница.

Сначала подставляем в  х³  верхний предел, зптем нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

= ²/₃ (2³ – 1³) = ²/₃ (8 – 1) = ²/₃ ∙ 7 = ¹⁴/₃ = 4²/₃.

ПРИМЕР:

Вычислить определённый интеграл:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Вычислить определённый интеграл:

РЕШЕНИЕ:

Используем свойства линейности определённого интеграла.

Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим второй способ решения этого интеграла.

ПРИМЕР:

Вычислить определённый интеграл:

РЕШЕНИЕ:

Сначала используем правило линейности и проинтегрируем по таблице. Получается одна скобка с отчёркиванием пределов.

В первообразную функцию сначала подставим  4, затем  –2. А затем найдём разность.

Перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку и убедиться, что первообразная функция найдена правильно.
Так, применительно к рассматриваемому примеру, перед тем, как в первообразную функцию

подставлять верхний и нижний пределы, необходимо проверить правильно или нет, найден неопределённый интеграл. Дифференцируем:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределённый интеграл найден верно.

ПРИМЕР:

Вычислить определённый интеграл:

РЕШЕНИЕ:

Задания к уроку 6

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Предел функции
• Урок 2. Определение производной функции
• Урок 3. Дифференцирование функции
• Урок 4. Первообразная функция
• Урок 5. Неопределённый интеграл
• Урок 7. Применение производной при исследовании функций
• Урок 8. Применение определённого интеграла для решения геометрических задач