ВИДЕО УРОК
Знаходження похідних і
знаходження невизначених інтегралів (диференціювання і інтеграція) – це два
взаємно зворотних дії. Як, наприклад, складання і віднімання або множення і
ділення.
У чому складність
вивчення невизначених інтегралів ? Якщо в похідних мають місце строго 5
правил диференціювання, таблиця похідних і досить чіткий алгоритм дій,
то в інтегралах все інакше. Існують десятки способів і прийомів інтеграції. І,
якщо спосіб інтеграції спочатку підібраний невірно, то інтеграл не можна
вирішити.
В першу чергу слід
добре розібратися в простих інтегралах. Подивимося на таблицю інтегралів.
Властивості невизначеного інтеграла.
Будь-який табличний
інтеграл (і взагалі будь-який невизначений інтеграл) має вигляд:
∫ f(x)dx = F(x) + C,
де C = const
Позначення і терміни.
∫ – значок інтеграла.
f(x) – підінтегральна
функція.
dx
– значок диференціала.
f(x)dx
– підінтегральний
вираз.
F(x) – первісна функція.
F(x) + С
–
безліч первісних функцій.
Найважливіше, що у будь-якому невизначеному інтегралі до відповіді приплюсовується константа С.
Вирішити невизначений
інтеграл
F(x) + С,
користуючись деякими правилами, прийомами і таблицею.
–cos x + C
Як і у випадку з похідними, для того, щоб навчитися знаходити інтеграли, не обов'язково бути в курсі, що таке інтеграл, первісна функція з теоретичної точки зору. Досить просто здійснювати перетворення за деякими формальними правилами. Так, у випадку
–cos x + C.
Поки можна прийняти цю і інші формули як даність. Усі користуються електрикою, але мало хто замислюється, як там по дротах бігають електрони.
Оскільки диференціювання і інтеграція – протилежні операції, то для будь-якої первісної, яка знайдена правильно, справедливо наступне:
(F(x) + С)' = F' (x) + 0 = f(x).
Іншими словами, якщо продиференціювати правильну відповідь, то обов'язково повинна вийти початкова підінтегральна функція.
ПРИКЛАД:
Візьмемо табличний інтеграл:
(–cos x + C)' = –(cos x)' + (C)' = –(– sin x) + 0 = sin x.
Вийшла початкова підінтегральна функція.
Тепер стало зрозуміліше, чому до функції F(x) завжди приписується константа С. При диференціюванні константа завжди перетворюється на нуль.
Вирішити невизначений інтеграл - це означає знайти безліч усіх первісних, а не якусь одну функцію.
ПРИКЛАД:
При рішенні інтеграла
∫ sin x dx = –cos x + C.
Виходить нескінченно багато рішень, наприклад
–cos x + 5,
–cos x
– 4/7,
–cos x
+ sin 2,
–cos x
+ е3.
Тому
записують коротко:
∫ sin x dx = –cos x + C.
де С
– const.
Таким чином, будь-який невизначений інтеграл можна легко перевірити у відмінності від похідних.
ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Аналізуючи інтеграл, видно, що є твір двох
функцій і піднесення до степеня цілого вираження. Оскільки немає хороших і
зручних формул для інтеграції твору і частки потрібно спробувати перетворити підінтегральну
функцію в суму.
ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Використовуємо формулу скороченого множення.
ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
У цьому прикладі підінтегральна функція є
дробом. Коли в підінтегральному виразі дріб, то спочатку необхідно спробувати
позбавитися від цього дробу або спростити її. Спочатку ділимо чисельник на
знаменник.
ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Завдання до уроку 5
Інші уроки:
Комментариев нет:
Отправить комментарий