Урок 1. Вероятные события

В обыденной жизни, в практической и научной деятельности нередко приходится наблюдать те или иные явления, провести несколько экспериментов. В ходе исследований или эксперимента приходится сталкиваться с некоторыми случайными событиями, то есть такими событиями, которые могут произойти или не произойти.

ПРИМЕР:

Выпадения орла или решки при подкидывании монеты.

Попадание в мишень или промах при выстреле.

Победа спортивной команды во встрече с соперником, поражение или ничейный результат.

Теория вероятностей – это раздел математики, который занимается изучением закономерности случайных событий. Методы теории вероятностей применяются в информатике, физике, астрономии, биологии, медицине и во многих других областях знаний.

В поисках ответа на вопрос; <<как часто наступает то, или иное событие в большой серии происходящих в одинаковых условиях испытаний со случайными исходами ?>>, произошло зарождение теории вероятностей.

ПРИМЕР:

Выполнили такие испытания. Подкидывали  100  раз игральный кубик, на гранях которого имеются очки от одного до шести, и отмечали, какое количество раз на верхней грани кубика выпадет шесть очков. При подкидывании игрального кубика на его верхней грани может выпасть одно, два, три, четыре, пять или шесть очков. Всякое из этих шести событий, или, как говорят, шести исходов испытания, считается случайным. Число  17, которое показывает, сколько раз в этом испытании случилось данное событии, называют частотой этого события, а отношение частоты к общему числу испытаний, равное  ¹⁷/₁₀₀, называют относительной частотой этого события.

Классическое определение вероятности.

Отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие  А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания называют вероятностью события  А  при проведении некоторого испытания. Вероятность события вычисляется по формуле

где  m – число элементарных событий, благоприятствующих событию  А, n – число всех элементарных событий.

Понятие события.

Событие – это одно из главных определений теории вероятностей. Под событием понимают любой факт, который может случиться в последствии опыта или испытания. Опыт, или испытание, подразумевает реализацию определённого комплекса условий.

ПРИМЕР:

– попадание в цель при выстреле из орудия (опыт – произведение выстрела; событие – попадание в цель);

– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт – трёхкратное бросание монеты; событие – выпадение двух гербов);

– возникновение ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт – измерение дальности; событие – ошибка измерения).

События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита

А, В, С  и так далее.

В теории вероятностей различают простые и составные события.

Составным будем называть событие, появление которого зависит от появления других событий, которые будем называть простыми.

ПРИМЕР:

Во время бросания двух кубиков выпало  11  очков. Это событие является составным, потому что она состоит из разных возможностей для двух простых событий:

1)  на первом кубике выпало  5, а на втором – 6  очков;

2)  на первом кубике выпало  6, а на втором – 5  очков.

Операции над событиями.

Наиболее значимым при разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей, является определение суммы и произведения событий.

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Суммой  S  событий  А, В, С, … N,  обозначается

S = A + B + C + … + N.

ПРИМЕР:

Если событие  А  есть попадание в цель при первом выстреле, событие  В – при втором, то событие

С = А + В

есть попадание в цель вообще, безразлично, при каком выстреле – первом, втором или при обоих вместе.

Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Произведение  S  событий 

А, В, С, … N, 

обозначается

S = ABC … N.

ПРИМЕР:

Если событие  А  есть попадание в цель при первом выстреле, событие  В – при втором, то событие

С = АВ

состоит в том, что в цель попали при обоих выстрелах.

Понятие суммы и произведения событий имеет наглядную геометрическую интерпретацию.

Пусть событие  А  состоит в попадании точки в область  А, событие  В – в попадании в область  В, тогда событие  А + В  состоит в попадании точки в область, закрашенную на рисунке

и событие  АВ – в попадании точки в область, закрашенную на рисунке

События, появление одного из которых не исключает возможность появления другого, называются совместными событиями.

ПРИМЕР:

Три стрелка стреляют в мишень. Рассмотрим случайные события:

А – первый стрелок попал в мишень,

В – второй стрелок попал в мишень,

С – третий стрелок попал в мишень.

А, В, С – совместные случайные события.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

р(А + В) = р(А) + (В) – р(А×В).

События, появление одного из которых исключает возможность появления другого, называются несовместными событиями.

События называют попарно несовместимыми в данном испытании, если появление одной из них исключает появление других событий в том же испытании.

ПРИМЕР:

Из ящика с деталями вынимают одну деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События взяли <<стандартную деталь>> и <<взяли нестандартную деталь>> – два попарно несовместимых события.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

р(А + В) = р(А) + р(В).

События, появление одного из которых влияет на появление другого события, называются зависимыми событиями.

Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от того, состоялось или не состоялось другое событие.

ПРИМЕР:

В коробке лежит  80  деталей: 50 стандартных и  30  нестандартных. Из ящика наугад берут одну деталь и не возвращают ее назад. Если вынули стандартную деталь (событие А), то вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) равняется

Если в первом испытании вынута нестандартная деталь, то вероятность  Р(В)  равняется

Следовательно, вероятность появления события  В  зависит от того, состоялось или не состоялось событие  А.

События  А  и  В – зависимые.

Событие  В  называют независимой от события  А, если появление события  А  не  изменяет вероятности появления события  В.

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого:

События, появление одного из которых не влияет на появление другого события, называются независимыми событиями.

Условной вероятностью события  А, зависимого от события  В, называют вероятность, вычисленную для события  А  в предположении, что событие  В  уже состоялась. Обозначают  Р_В(А).

ПРИМЕР:

Пусть в урне есть два белых и один черный шар. Два лица вынимают наугад из урны по одному шару. Рассмотрим события:

А – появление белого шара у первого лица;

В – появление белого шара у второго лица.

Вероятность события  В  до того, пока неизвестно о событии  А, равняется  ²/₃. Если же стало известно, что событие  А  состоялась, то вероятность события  В  будет равняться  ¹/₂. Если же событие  А  не  происходит, то вероятность события  В  (второе лицо взяло белый шар) равняется  ²/₂ = 1. Следовательно, вероятность события  В  зависит от события  А  и  является условной. Условную вероятность события  В  при условии, что событие  А  уже состоялась, вычисляют за формулой

Вероятность события  АВ  (оба лица взяли белые шары) можно вычислить за классическим определением вероятности, учтя, что все возможных вариантов есть три (бб, бч, чб), а способствует наступлению события  АВ  лишь один вариант (бб). Поэтому

следовательно

Из формулы

следует:

Р(АВ) = Р(А) × Р_А(В).

Так как событие  ВА  не отличается от события  АВ  и

Р(ВА) = Р(В) × Р_В(А),

то получим:

Р(А) × Р_А(В) = Р(В) × Р_В(А).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

р(А × В) = р(А) × р(В).

Событие, являющееся обратным по отношению к какому либо событию, называется противоположным событием.

Событие   ̅А  называют противоположным событию  А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие  А. Если  А – некоторое событие, то противоположное ему событие обозначают   ̅А.

ПРИМЕР:

1)  попадание в цель во время выстрелил и промах – противоположные события. Если  А – попадание, то  ̅А – промах;

2)  из ящика с деталями выбирают деталь. Событие  А – выбрали стандартную деталь и  ̅А – выбрали нестандартную деталь. События  А  и  ̅А противоположные.

Вероятность противоположного события равняется единице, минус вероятность этого события, то есть

Р(А) + Р( ̅А) = 1;

Р(А) = 1 – Р( ̅А).

Если вероятность одного из противоположных событий обозначить через  р, а другое – через  q, то

p + q = 1.

Вероятность противоположного события равна единице, минус вероятность этого события.

ПРИМЕР:

Успешному шансу появления четвёрки на игральной кости будет являться  ¹/₆. А противоположностью этого события будет являться шанс, что кость не выпадет, то есть  ⁵/₆.

1 – ¹/₆ = ⁵/₆.

Формула полной вероятности.

Вероятность события  А, которое может произойти одновременно с одним из  n  попарно несовместимых событий

H₁, H₂, … , H_n,

называемых гипотезами, образующих полную группу событий, равна:

Формула Бернулли.

Взаимно независимыми называют такие испытания, в которых вероятность результата каждого из них не зависит от того, какие результаты имеют или будут иметь остальные испытания.

ПРИМЕР:

Несколько последовательных выниманий шаров из урны, в которой содержатся  12  зеленых и  9  синих шаров, являются независимыми испытаниями при условии, что вынутый шар каждый раз возвращают обратно в урну. Если шар не возвращать, то испытания будут зависимыми.

Формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события  А  при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений – сложение и умножение вероятностей – при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Если вероятность  р  наступления события  А  в каждом испытании постоянна, то вероятность  P_k,n  того, что событие  А  наступит ровно  k  раз в  n  независимых испытаниях, равна:

где  q = 1 – p.

ЗАДАЧА:

Найдите вероятность того, что названное случайно трёхцифровое натуральное число будет кратным числу  4  или числу  5.

РЕШЕНИЕ:

Вычислим вероятность по формуле:

где  m – общее количество трёхцифровых чисел. Всех трёхцифровых чисел  900  из них делятся на  4:

делятся на  5:

делятся на  4  и  5 (то есть делятся на  20):

Тогда

р(4 + 5) = р(4) + р(5) – р(4 × 5) =

Вероятность равна  40%.

ОТВЕТ:  40%

ЗАДАЧА:

В коробке лежат  42  карточки, пронумерованных числами от  1  до  42. Какова вероятность того, что номер случайно взятой карточки 

не будет кратным числу  7 ?

РЕШЕНИЕ:

Из  42  чисел кратных  7  будет  6  чисел

(7, 14, 21, 28, 35, 42),

тогда не кратными будут  36  чисел

42 – 6 = 36.

Искомая вероятность

Р(А) = ³⁶/₄₂ = ⁶/₇.

ОТВЕТ:  ⁶/₇.

ЗАДАЧА:

Подкидывают две монеты. Какова вероятность, что выпадет два герба ?

РЕШЕНИЕ:

Всех случаев – 4

(ГГ, ГР, РГ, РР),

благоприятных  – 1 (ГГ).

Поэтому  Р = ¹/₄ = 0,25.

ОТВЕТ:  0,25

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3