Урок 7. Другий закон Ньютона

ВИДЕО УРОК

З'ясуємо, якою величиною можна виразити силу, або, як то кажуть, яка величина служить мірою сили, що діє на тіло.

Очевидно, що ця величина має бути однаковою для усіх тіл, що прискорюються однією і тією ж силою.

Знайти таку величину можна тільки з досвіду. Досвід повинен полягати в тому, щоб під дією однієї і тієї ж сили (байдуже, який саме) привести в прискорений рух різні тіла і знайти величину, що характеризує прискорюване тіло, яка однакова для усіх тіл.

Для проведення досвіду треба вибрати тіло, яке діє на усі інші тіла з однаковою силою. Таким тілом може служити пружно деформоване тіло, наприклад розтягнута або стисла пружина, в якій діє сила пружності (досвід показує, що інших тіл, що мають таку властивість, в природі немає).

Сила пружності відрізняється від усіх інших сил тією чудовою особливістю, що вона залежить тільки від взаємного розташування частин одного і того ж тіла - розтягнутої пружини, а не взаємодії її з іншими тілами. Тому сила пружності розтягнутої пружини не зміниться, коли до неї буде прикріплено будь-яке тіло. На будь-яке тіло, прикріплене до розтягнутої на певну довжину пружини, діє одна і та ж сила пружності пружини. Тому досвід зводиться до того, щоб тіло, прикріплене до пружини, привести в прискорений рух.

Найзручніше, спостерігати за прискореним рухом тіл по колу, тобто коли вони рухаються з доцентровим прискоренням. Тому скористаємося відцентровою машиною.

ДОСВІД:

Помістимо тіло  М  у вигляді алюмінієвого циліндра з просвердленим по його осі отвором на стержень відцентрової машини.

Прикріпимо до циліндра кінець пружини, а інший її кінець закріпимо на рамі машини в точці  А.

Приведемо машину в обертання. Тоді циліндр  М  почне ковзати по стержню, віддаляючись від точки  А  і розтягуючи тим самим пружину. Не будь пружини, циліндр дійшов би до упору в точці  В. Але внаслідок сили пружності розтягнутої пружини циліндр, віддалившись декілька від осі обертання (на відстані  х), стане рухатися по колу радіусом  r.

Доцентрове прискорення циліндра  М  спрямоване по радіусу до центру. Уздовж радіусу спрямована і вісь пружини. Отже, прискорення циліндра  М  спрямоване уздовж осі пружини так само як і сила пружності. Ясно, що ця сила і повідомляє циліндр доцентрове прискорення.

 Доцентрове прискорення по абсолютному значенню рівне:

де  ω – кутова швидкість обертання машини. Вимірявши кутову швидкість  ω  і радіус  r, знайдемо модуль прискорення

Замінимо тепер алюмінієвий циліндр таким самим по розмірах сталевим циліндром, масою в три рази більшої. Приведемо машину знову в обертання і підберемо таку швидкість цього обертання, щоб розтягування пружини було таким же, яким воно було при обертанні циліндра з алюмінію. Тоді і сила, що діє на сталевий циліндр, буде такою ж.

Досвід показує, що в цьому випадку кутова швидкість обертання машини буде в  √͞͞͞͞͞3  раз менше. Це означає, що прискорення сталевого циліндра в  3  рази менше, ніж алюмінієвого. Спрямовано це прискорення як і раніше уздовж осі пружини (по радіусу кола до центру). Виходить, що при збільшенні маси тіла втричі, прискорення, що повідомляється тілу однією і тією ж силою, зберігає свій напрям, а по абсолютному значенню зменшується в  3  рази.

Звідси витікає, що добуток маси тіла на його прискорення для обох тіл одно і те ж.

Можна провести цей досвід з множиною інших тіл найрізноманітніших мас. Він покаже, що при одному і тому ж розтягуванні пружини, тобто при одній і тій же силі, твір маси тіла на його прискорення для усіх тіл одно і те ж.

Ми знайшли величину, однакову для різних тіл, на які діє одна і та ж сила. Значить, твір маси тіла на його прискорення виражає силу, що діє на тіло.

Якщо позначити силу, що діє на тіло, через

прискорення тіла через

а його масу через  m, то можна написати:

Але, можливо, це вірно тільки для сили пружності розтягнутої пружини і до інших сил не відноситься ? Щоб відповісти на це питання, проведемо ще один досвід.

ДОСВІД:

Візьмемо ту ж пружину, але розташуємо її вертикально, закріпивши верхній кінець нерухомо.

До нижнього кінця пружини підвісимо вантаж відомої маси  m.

Ми побачимо, що пружина розтягнеться, а вантаж знаходитиметься у спокої (після декількох коливань).
На вантаж тепер діють одночасно дві сили: сила тяжіння з боку Землі і сила пружності з боку розтягнутої пружини. Не будь пружини, вантаж під впливом Землі падав би вільно вниз з прискоренням

спрямованим по вертикалі вниз. Але прискорення вантажу дорівнює нулю. Це означає, що розтягнута пружина сама по собі теж повідомила б вантажу прискорення

(спрямоване вертикально вгору). Значить, сила тяжіння

і сила пружності

що діють на вантаж, рівні по абсолютному значенню і протилежні по напряму:

Але сила пружності, що діє на тіло, як ми тільки що з'ясували, дорівнює добутку маси на прискорення, яке вона його повідомляє, тобто

Значить, сила тяжіння

рівна

буде рівна:

Так ми встановили, що сила тяжіння теж дорівнює твору маси тіла на прискорення, що повідомляється йому цією силою.

Досліди, подібні до розглянутих вище, і багато інших дозволили Ньютону

сформулювати один з найважливіших законів механіки – 
другий закон Ньютона.

Сила, що діє на тіло, дорівнює твору маси тіла на те, що повідомляється цією силою прискорення.

Математично другий закон Ньютона виражається формулою

У усіх дослідах швидкості і прискорення вимірювалися відносно інерціальної системи відліку. Отже, другий закон Ньютона справедливий тільки в інерціальних системах відліку.

З другого закону Ньютона виходить, що сили, що діють на тіло, визначають його прискорення, тобто зміну швидкості, а не саму швидкість руху тіла. Тому напрям прискорення завжди співпадає з напрямом діючої сили. Напрям же швидкості, а отже, і переміщення може і не співпадати з напрямом діючої сили. Так, наприклад, сила може бути увесь час спрямована перпендикулярно швидкості руху тіла. В цьому випадку рух відбувається по кола, а прискорення, так само як і сила, спрямовано по радіусу, поведеному від тіла, що рухається, до центру. Так рухалося тіло під дією сили пружності у відцентровій машині.

Якщо тіло взаємодіє не з одним, а з декількома тілами, то на нього діє не одна, а декілька сил, причому сили <<не заважають>> один одному повідомляти тіло, на яке вони діють, своє прискорення. Тому прискорення, яке повідомляє тілу усі сили, що спільно діють на нього, буде таке ж, яке повідомляла б йому одна сила, рівна сумі усіх цих сил. Оскільки сила – величина векторна, то під сумою усіх сил потрібно розуміти векторну суму. Така сума називається рівнодійною усіх прикладених до тіла сил. І у формулі

що виражає другий закон Ньютона, під

треба розуміти рівнодійну усіх сил, що діють на тіло.

ПРИКЛАД:

На гойдалках, відомих під назвою <<велетенські кроки>>, на людину діють одночасно дві сили:

сила

– з боку Землі, спрямована вниз, і сила

– з боку каната, спрямована уздовж каната. Під дією двох сил <<пасажир>> рухається по колу навколо стовпа, до якого прикріплений канат. Значить, прискорення спрямоване до центру колу, а не уздовж сили

З малюнка видно, що до центру кола спрямована і сила

яка дорівнює геометричній сумі сил

<<Пасажир>>, отже, рухається так, як нібито на нього діють не дві сили:

а всього одна – їх рівнодійна

Векторна сума сил, що діють на тіло, може бути рівна і нулю. Тоді прискорення тіла теж дорівнюватиме нулю, і тіло або покоїтиметься, або рухатиметься прямолінійно і рівномірно.

ПРИКЛАД:

У підвішеній на шнурі кульці компенсація тіл полягає в тому, що сили, з якими на кульку діють шнур і Земля, протилежні по напряму і рівні по абсолютному значенню

тому їх рівнодійна дорівнює нулю.

На малюнку

Показаний випадок, коли нулю дорівнює рівнодійна, тобто векторна сума, не двох, а трьох сил:

що діють на тіло (ліхтар).

Користуючись поняттям сили, можна дати інше формулювання першого закону Ньютона.

Існують системи відліку, відносно яких тіло рухається прямолінійно і рівномірно або знаходиться у спокої, якщо рівнодійна усіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю.

З формули

що виражає другий закон Ньютона, видно, в яких одиницях вимірюється сила.

Сила, дорівнює одиниці, якщо, діючи на тіло, маса якого дорівнює одиниці, вона повідомить йому прискорення, рівне одиниці.

У СІ за одиницю сили береться сила, яка тілу масою  1 кг  повідомляє прискорення  1 м/cек². Цю одиницю називають ньютоном (скорочено: Н):

У системі СГС за одиницю сили береться сила, в  10⁵  разів менша ньютона. Вона повідомляє тіло масою  1 г  прискорення  1 см/сек². Цю одиницю сили називають диною.

1 Н = 10⁵ дин.

ПРИКЛАД:

Сила тяжіння, що діє на тіло масою  1 кг, поблизу поверхні Землі рівна:

F = 1 кг × 9,8 м/сек² =

9,8 Н = 9,8 × 10⁵ дин.

ЗАДАЧА:

До кінців нитки, перекинутої через укріплений нерухомий блок, підвішені вантажі масами  m₁ = 95 г  і  m₂ = 105 г. Важчий вантаж спочатку піднятий у верхнє положення, а потім відпущений. Визначити, на якій відстані від верхнього положення знаходитиметься важкий вантаж через  t = 2 сек ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Звільнений вантаж масою  m₂  прийде в рівноприскорений рух; одночасно з ним прийде в рівноприскорений рух вантаж масою  m₁. Вантажі почали рух із стану спокою, тому шлях, пройдений вантажем (одним – вгору, а іншим – вниз), визначається по формулі шляху рівноприскореного руху без початкової швидкості, тобто по формулі:

Прискорення  а, за другим законом Ньютона, рівно

де  F – сила, рівна різниці вагів гир, тобто

F = P₂ – P₁ = (m₂ – m₁)g,

а  m = m₂ + m₁ – маса системи, що рухається, тоді

Шукана відстань:

 

ВІДПОВІДЬ:  h = 0,98 м

Якщо при рішенні подібних завдань в чисельник і знаменник або в праву і ліву частині рівності входять в якості множників величини одного найменування в одному і тому ж ступені, то їх можна не переводити в ту систему одиниць, в якій вирішується завдання, а брати у будь-кому, але однакових одиницях, оскільки їх найменування взаємно скоротився.