У буденному житті, в практичній і науковій
діяльності нерідко доводиться спостерігати ті або інші явища, провести декілька
експериментів. В ході досліджень або експерименту доводиться стикатися з
деякими випадковими подіями, тобто
такими подіями, які можуть статися або не статися.
ПРИКЛАД:
Випадання орла або решки при підкиданні монети.
Попадання
в мішень або промах при пострілі.
Перемога
спортивної команди в зустрічі з суперником, поразка або нічийний результат.
Теорія ймовірностей – це розділ математики, який займається вивченням закономірності випадкових подій. Методи теорії ймовірностей застосовуються в інформатику, фізику, астрономії, біології, медицині і у багатьох інших галузях знань.
У пошуках відповіді на питання; <<як часто настає
те, або інша подія у великій серії випробувань, що відбуваються в однакових
умовах, з випадковими результатами ?>>, сталося зародження теорії
вірогідності.
ПРИКЛАД:
Виконали такі випробування. Підкидали 100 разів гральний кубик, на гранях якого є окуляри від одного до шести, і відмічали, яка кількість разів на верхній грані кубика випаде шість очок. При підкиданні грального кубика на його верхній грані може випасти одно, два, три, чотири, п'ять або шість очок. Всяка з цих шести подій, або, як то кажуть, шести результатів випробування, вважається випадковою. Число 17, яке показує, скільки разів в цьому випробуванні сталося дане події, називають частотою цієї події, а відношення частоти до загального числа випробувань, рівне 17/100, називають відносною частотою цієї події.
Класичне визначення ймовірності.
Відношення числа тих результатів, в результаті яких настає подія А, до загального числа усіх (равновозможных між собою) результатів цього випробування називають ймовірностью події А при проведенні деякого випробування. Ймовірність події обчислюється за формулою
де m – число елементарних подій, що сприяють події А,
n, – число усіх елементарних подій.
Поняття події.
Подія – це одно з головних визначень теорії вірогідності. Під подією розуміють будь-який факт, який може статися надалі досвіду або випробування. Досвід, або випробування, має на увазі реалізацію певного комплексу умов.
ПРИКЛАД:
– попадання в ціль при пострілі зі знаряддя (досвід – добуток пострілу; подія – попадання в ціль);
–
випадання двох гербів при триразовому киданні монети (досвід – триразове кидання монети; подія – випадання двох гербів);
–
виникнення помилки виміру в заданих межах при вимірі дальності до мети (досвід – вимір дальності; подія – помилка виміру).
Події позначаються заголовними буквами латинського алфавіту
А, В, С і так далі.
У теорії ймовірностей розрізняють прості та складені
події.
Складеною називатимемо подію, поява якої залежить від появи інших подій, які називатимемо простими.
ПРИКЛАД:
Під час кидання двох кубиків випало 11 очок. Ця подія є складеною, бо вона складається з різних можливостей для двох простих подій:
1) на першому кубику випало 5,
а на другому – 6 очок;
2) на першому кубику випало 6,
а на другому – 5 очок.
Операції над подіями.
Найбільш значимим при розробці апарату і методики дослідження випадкових подій в теорії ймовірностей, являється визначення суми і твору подій.
Сумою, або об'єднанням, декількох подій називається подія, що полягає в настанні хоч би однієї з цих подій.
Сумою S подій А, В, С, … N, позначається
S = A + B + C + … + N.
ПРИКЛАД:
Якщо подія А є попадання в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія
С = А + В
є попадання в ціль взагалі, байдуже, при якому пострілі – першому, другому або при обох разом.
Добутком, або перетином, декількох подій називається подія, що полягає в спільній появі усіх цих подій.
Добуток S подій
А, В, С, … N,
позначається
S = ABC … N.
ПРИКЛАД:
Якщо подія А є попадання в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія
С = АВ
полягає в тому, що в мету потрапили при обох пострілах.
Поняття суми і добутку подій має наочну геометричну інтерпретацію.
і подія АВ – в попаданні точки в область, зафарбовану на малюнку
Події, поява одного з яких не унеможливлює появу іншого, називаються сумісними подіями.
ПРИКЛАД:
Три стрільці стріляють у мішень. Розглянемо випадкові події: А – перший стрілець влучив у мішень, В – другий стрілець влучив у мішень, С – третій стрілець влучив у мішень. А, В, С – сумісні випадкові полії.
Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій мінус ймовірність їх спільної появи:
р(А + В) = р(А) + (В) – р(А×В).
Події, поява одного з яких унеможливлює появу іншого, називаються несумісними подіями.
Події називають попарно несумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій у тому ж випробуванні.
ПРИКЛАД:
З ящика з деталями виймають одну деталь. Поява стандартної деталі виключає появу нестандартної деталі. Події взяли <<стандартну деталь>> і <<взяли нестандартну деталь>> – дві попарно несумісні події.
Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій:
р(А + В) = р(А) + р(В).
Події, поява одного з яких впливає на появу іншої події, називаються залежними подіями.
Дві події називають залежними, якщо ймовірність
появи однієї з них залежить від того, відбулася чи не відбулася інша подія.
ПРИКЛАД:
У коробці лежить 80 деталей: 50 стандартних і 30 нестандартних. З ящика навмання беруть одну деталь і не повертають її назад. Якщо вийняли стандартну деталь (подія А), то імовірність появи стандартної деталі при другому випробуванні (подія В) дорівнює
Якщо в першому випробуванні вийнята нестандартна деталь, то ймовірність Р(В) дорівнює
Отже, ймовірність появи події В залежить від того, відбулася чи не відбулася подія А.
Події А і В – залежні.
Подію В називають незалежною від події А,
якщо поява події А
не змінює ймовірності появи події
В.
Ймовірність добутку двох залежних подій дорівнює добутку одного з них на умовну ймовірність іншого:
Події, поява одного з яких не впливає на появу іншої події, називаються незалежними подіями.
Умовною імовірністю події А, залежної від події В, називають імовірність, обчислену для події А в припущенні, що подія В вже відбулася. Позначають
РВ(А).
ПРИКЛАД:
Нехай в урні є дві білі й одна чорна кульки. Дві особи виймають навмання з урни по одній кульці. Розглянемо події:
А – поява білої кулі у першої особи;
В
– поява білої кулі у другої особи.
Імовірність події В до того, поки невідомо про подію А, дорівнює 2/3. Якщо ж стало відомо, що подія А відбулася, то ймовірність події В дорівнюватиме 1/2. Якщо ж подія А не відбувається, то ймовірність події В (друга особа взяла білу кульку) дорівнює 2/2 = 1. Отже, ймовірність події В залежіть від події А і є умовною. Умовну ймовірність події В за умови, що подія А вже відбулася, обчисляють за формулою
Імовірність події АВ (обидві особи взяли білі кульки) можна обчислити за класичним означенням імовірності, врахувавши, що все можливих варіантів є три (бб, бч, чб), а сприяє настанню події АВ лише один варіант (бб). Тому
отже
З формули
слідує:
Р(АВ) = Р(А) × РА(В).
Оскільки подія ВА не відрізняється від подій АВ і
Р(ВА) = Р(В) × РВ(А),
то одержимо:
Р(А) × РА(В) = Р(В) × РВ(А).
Ймовірність появи добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірності цих подій:
р(А × В) = р(А) × р(В).
Подія, що є зворотною по відношенню до якого або події, називається протилежною подією.
Подію ̅А називають протилежною до події А, якщо вона відбувається тоді й тільки тоді, коли не відбувається подія А. Якщо А – деяка полія, то протилежну їй подію позначають ̅А.
ПРИКЛАД:
1) влучення в ціль під час вистрілу і промах – протилежні події. Якщо А – влучення, то ̅А – промах;
2) з ящика з деталями вибирають деталь.
Подія А
– вибрали стандартну деталь і ̅А
– вибрали нестандартну деталь. Події А
та – ̅А
протилежні.
Ймовірність протилежної події дорівнює одиниці, мінус ймовірність цієї події, тобто
Р(А) + Р( ̅А) = 1;
Р(А)
= 1 – Р( ̅А).
Якщо ймовірність однієї з протилежних подій позначити через р, а іншої – через q, то
p + q = 1.
ПРИКЛАД:
Успішному шансу появи четвірки на гральній кістці являтиметься 1/6. А протилежністю цієї події буде шанс, що кістка не випаде, тобто
1 – 1/6 = 5/6.
Формула повної ймовірності.
Ймовірність події А, яке може статися одночасно з одним з n попарно несумісних подій
H1, H2, … , Hn,
що називаються гіпотезами, утворюють повну групу подій, рівна:
Формула Бернулли.
Взаємно незалежними називають такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробуван.
ПРИКЛАД:
Кілька послідовних виймань кульок з урни, в якій міститься 12 зелених і 9 синіх кульок є незалежними випробуваннями за умови, що вийняту кульку щоразу повертають назад до урни. Якщо кульку не повертати, то випробування будуть залежними.
Формула в теорії ймовірності, що дозволяє знаходити ймовірність появи події А при незалежних випробуваннях. Формула Бернулли дозволяє позбавитися від великого числа обчислень – складання і множення ймовірності – при досить великій кількості випробувань. Названа на честь видатного швейцарського математика Якоба Бернулли, який вивів цю формулу.
Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна, то ймовірність Pk,n того, що подія А настане рівно k разів в n незалежних випробуваннях, рівна:
де q = 1 – p.
ЗАДАЧА:
Знайдіть
імовірність того, що взяте навмання трицифрове натуральне число буде кратнім
числу 4 або числу
5.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Обчислимо ймовірність за класичною формулою:
де m – загальна кількість трицифрових чисел. Усіх трицифрових чисел 900 з них діляться на 4: діляться на 5: діляться на 4 і 5 (тобто діляться на 20): Тоді
ВІДПОВІДЬ: 40%
ЗАДАЧА:
У
шухляді лежать 42
картки, пронумерованих числами від
1
до 42. Яка ймовірність того, що номер
навмання взятої картки не буде кратним числу
7 ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Із 42 чисел кратними 7 є 6 чисел
(7, 14, 21, 28, 35,
42),
тоді не кратними
42 – 6 = 36.
Шукана ймовірність
Р(А) = 36/42 = 6/7.
ВІДПОВІДЬ: 6/7.
ЗАДАЧА:
Підкидають
дві монети. Яка ймовірність, що випаде два герби ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Усіх випадків – 4
(ГГ, ГР, РГ, РР),
сприятливих – 1 (ГГ).
Тому Р = 1/4 = 0,25.
Завдання до уроку 1
Комментариев нет:
Отправить комментарий